Perturbations en Méca Quantique

[invite3e1953b5]

Bonjour à tous

Etant actuellement en plein dans mes révisions d'exams (et donc en panique !), je me sui dit que j'allais faire un ti peu de quantique. Je trouve alors un problème que nous n'avons pas fait en TD mais problème on a jamais rien fait de tel et je ne vois pas trop comment faire ...

Cela concerne donc un système qui possède 2 valeurs propres dégénérés pour son énergie, l'hamiltonien non perturbé est le suivant :

E1 o o o o
o E1 o o o
o o E2 o o
o o o E2 o
o o o o E2

Ce système est soumis à une perturbation extérieure W :

o D E o E
D o o E o
E o o o D
o E o D o
E o D o o

Je voudrais bien étudier les valeurs propres et les vecteurs propres de l'hamiltonien total, je pense que j'y arriverai en diagonalisant W puis en exprimant Ho dans la base des vecteurs propres de W (déjà jusque là c'est bon ??), mais en regardant dans mon bô Cohen, j'ai vu qu'il y avait une astuce. J'en ai compris le principe, on peut étudier la restriction de W au sous espace des vecteurs propres associés à la même valeur propres dégénérée de l'énergie. Je ne vois cependant pas comment appliquer cela, est-ce que ca voudrait dire entre autre que dans ma matrice W les termes E n'ont aucune influence ?

Merci de votre aide ...
-----

[deep_turtle]

Quand les matrices commutent (vérifier que c'est le cas), un théorème te dit que l'on peut diagonaliser les deux matrices dans une même base. Donc tu peux diagonaliser la matrice W en laissant la première diagonale. Or si tu te places dans une base qui melange u1 ou u2 avec u3,u4 ou u5, tu vas dédiagonaliser la première...

Donc toutes les vecteurs de base qui diagonalisent simultanément les deux matrices sont des combinaisons linéaires de u1 et u2, ou de u3,u4 et u5.

Autrement dit tu peux travailler dans le carre 2x2 en haut à gauche t dans le carré 3x3 en bas à droite.

est-ce que ca voudrait dire entre autre que dans ma matrice W les termes E n'ont aucune influence ?

oui... L'exemple que tu à à traiter ici est particulièrement simple, on t'a gâté !!

[Chip]

Quand les matrices commutent (vérifier que c'est le cas), un théorème te dit que l'on peut diagonaliser les deux matrices dans une même base.

Ici visiblement les matrices de H0 et W ne commutent pas, puisque la perturbation W ne laisse pas invariants les sous-espaces de H0 associés aux valeurs propres E1 et E2. Mais ce n'est pas grave puisque dans l'approche perturbative [et dans le cas où des valeurs non perturbées sont dégénérées] on n'a pas besoin de diagonaliser H0 et W dans une même base, mais simplement de diagonaliser W "par bloc", dans les sous-espaces propres de H0 (ce qui est ici très simple).

est-ce que ca voudrait dire entre autre que dans ma matrice W les termes E n'ont aucune influence ?

oui... L'exemple que tu à à traiter ici est particulièrement simple, on t'a gâté !!

Ils ont une influence, mais pas à l'ordre 1 pour l'énergie (et pas à l'ordre 0 pour les vecteurs propres). Si tu calcules la perturbation à l'ordre 2 pour l'énergie (et à l'ordre 1 pour les vecteurs propres) il faudra en tenir compte...

[mariposa]

Bonjour à tous

Etant actuellement en plein dans mes révisions d'exams (et donc en panique !), je me sui dit que j'allais faire un ti peu de quantique. Je trouve alors un problème que nous n'avons pas fait en TD mais problème on a jamais rien fait de tel et je ne vois pas trop comment faire ...

Cela concerne donc un système qui possède 2 valeurs propres dégénérés pour son énergie, l'hamiltonien non perturbé est le suivant :

E1 o o o o
o E1 o o o
o o E2 o o
o o o E2 o
o o o o E2

Ce système est soumis à une perturbation extérieure W :

o D E o E
D o o E o
E o o o D
o E o D o
E o D o o

Je voudrais bien étudier les valeurs propres et les vecteurs propres de l'hamiltonien total, je pense que j'y arriverai en diagonalisant W puis en exprimant Ho dans la base des vecteurs propres de W (déjà jusque là c'est bon ??), mais en regardant dans mon bô Cohen, j'ai vu qu'il y avait une astuce. J'en ai compris le principe, on peut étudier la restriction de W au sous espace des vecteurs propres associés à la même valeur propres dégénérée de l'énergie. Je ne vois cependant pas comment appliquer cela, est-ce que ca voudrait dire entre autre que dans ma matrice W les termes E n'ont aucune influence ?

Merci de votre aide ...

Méthode:

1- En remarquant que ta perturbation agit sur 2 sous-espaces dégénérés tu commences a décomposer ta perturbation W en deux composantes: Une ,W1, qui agit dans les sous-blocs et une ,W2, composante non diagonale par blocs.

2- Tu diagonalises W1 dans la base de Ho tu obtiens a la main les nouveaux vecteurs propres et nouveaux valeurs propres soit la solution de Ho + W1.

3- Tu écrits la matrice de W2 dans la base des vecteurs propres de Ho+W1 que tu viens calculer.

3- Tu diagonalises la matrice de W2 et tu obtiens ce que tu cherches.

Bon courage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[deep_turtle]

Tu as tout à fait raison chip, merci de reprendre mon message, je l'ai écrit avec en tête l'idée que ces matrices commutaient ce qui est complètement crétin...

Donc pepinou tu peux sauter le message #2 et passer directement à la suite !

[Chip]

De rien deep_turtle...

Méthode:

1- En remarquant que ta perturbation agit sur 2 sous-espaces dégénérés tu commences a décomposer ta perturbation W en deux composantes: Une ,W1, qui agit dans les sous-blocs et une ,W2, composante non diagonale par blocs.

2- Tu diagonalises W1 dans la base de Ho tu obtiens a la main les nouveaux vecteurs propres et nouveaux valeurs propres soit la solution de Ho + W1.

3- Tu écrits la matrice de W2 dans la base des vecteurs propres de Ho+W1 que tu viens calculer.

4- Tu diagonalises la matrice de W2 et tu obtiens ce que tu cherches.

Euh... mariposa je ne suis pas d'accord avec ton étape 4, ou alors je n'ai pas compris ce que tu dis.

Après l'étape 2 tu as la correction à l'énergie à l'ordre 1, associée aux "nouveaux" vecteurs propres à l'ordre 0. L'étape 3 servira pour un calcul éventuel à l'ordre 2 en énergie et à l'ordre 1 pour les vecteurs propres (jusque là je suis d'accord). Mais je ne comprends pas ton étape 4 : qu'appelles-tu diagonaliser W2? Pour faire quelque chose de W2, on est obligé de l'écrire dans la base trouvée à l'étape 2 (et on sait que dans cette base W2 n'est pas diagonale puisque H0 et W ne commutent pas) et c'est ce qu'on a fait à l'étape 3... on ne peut plus toucher à cette matrice.

[mariposa]

Euh... mariposa je ne suis pas d'accord avec ton étape 4, ou alors je n'ai pas compris ce que tu dis.

Après l'étape 2 tu as la correction à l'énergie à l'ordre 1, associée aux "nouveaux" vecteurs propres à l'ordre 0. L'étape 3 servira pour un calcul éventuel à l'ordre 2 en énergie et à l'ordre 1 pour les vecteurs propres (jusque là je suis d'accord). Mais je ne comprends pas ton étape 4 : qu'appelles-tu diagonaliser W2? Pour faire quelque chose de W2, on est obligé de l'écrire dans la base trouvée à l'étape 2 (et on sait que dans cette base W2 n'est pas diagonale puisque H0 et W ne commutent pas) et c'est ce qu'on a fait à l'étape 3... on ne peut plus toucher à cette matrice.

Remarque préliminaire:

Dans le langage de la MQ par perturbation de W par rapport à Ho on ne suppose rien sur la taille de la perturbation (malheureusement cela n'est jamais mentionné explicitement dans les livres de MQ). dans le cas où les élements de matrices non diagonaux de la perturbation sont petits devant les différences des énergies des éléments diagonaux alors on peut utiliser la théorie des perturbations.

Dans l'exercice proposé aucune information sur la valeur respective des éléments de matrice est donné il n'est donc pas possible de faire référence a la thèorie des perturbations. La seule information perceptible est celle que tu as remarquée est l'existence de 2 sous-espaces dégénérés.

La philosophie de la méthode est d'essayer si possible de résoudre le problème à la main, c'est pourquoi j'ai partitionné la perturbation en 2. Donc suite à cette étape les valeurs propres sont:

E1+D E1-D E2+D E2 E2+D

les vecteurs propres en fonction de e1 e2 e3 e4 e5 sont:

e1+e2 e1-e2 e3+e5 e4 e3-e5 (vecteurs a normaliser)


maintenant pour déterminer l'action de W2 il faut écrire la matrice de W2 dans la nouvelle base ci-dessus; on a ainsi a diagonaliser W2.

[Chip]

Dans l'exercice proposé aucune information sur la valeur respective des éléments de matrice est donné il n'est donc pas possible de faire référence a la thèorie des perturbations.

Certes... mais l'exercice est sensé porter sur la théorie des perturbations, on peut donc raisonnablement penser que son intérêt est d'entraîner l'étudiant à la mettre en pratique! Il faudrait effectivement en toute rigueur compléter l'énoncé par la précision que tu suggères. Pour ma part j'ai supposé que "petite" perturbation était sous-entendu.

La philosophie de la méthode est d'essayer si possible de résoudre le problème à la main, c'est pourquoi j'ai partitionné la perturbation en 2. Donc suite à cette étape les valeurs propres sont:

E1+D E1-D E2+D E2 E2+D

les vecteurs propres en fonction de e1 e2 e3 e4 e5 sont:

e1+e2 e1-e2 e3+e5 e4 e3-e5 (vecteurs a normaliser)

maintenant pour déterminer l'action de W2 il faut écrire la matrice de W2 dans la nouvelle base ci-dessus; on a ainsi a diagonaliser W2.

Je ne comprends toujours pas ton étape 4 (c'est à dire ta dernière proposition "on a ainsi à diagonaliser WZ")

- si tu écris la matrice de W2 dans la base du dessus, elle ne sera pas diagonale
- si tu cherches une troisième base qui diagonalise W2... tu ne pourras rien faire du résultat.

Je ne comprends donc pas où tu veux en venir...

(remarque : pour appliquer la théorie des perturbations tu n'a pas besoin de ton étape 4, l'étape 3 suffit)

[Chip]

Ah, j'ai l'impression que maintenant je comprends : tu veux diagonaliser le nouvel hamiltonien total, sans tenir compte du fait que W est considéré comme une (petite) perturbation... c'est ça?

Dans ce cas ce n'est pas W2 qu'il faut diagonaliser (ça n'apporterait rien a priori) mais H0+W. Alors d'accord... mais en général c'est extrêmement difficile voire infaisable, d'où l'utilité de la théorie des perturbations dans laquelle on n'a pas besoin de diagonaliser l'hamiltonien total, mais juste de le diagonaliser "par blocs", ce qui est beaucoup plus simple.

[mariposa]

Ah, j'ai l'impression que maintenant je comprends : tu veux diagonaliser le nouvel hamiltonien total, sans tenir compte du fait que W est considéré comme une (petite) perturbation... c'est ça?

Dans ce cas ce n'est pas W2 qu'il faut diagonaliser (ça n'apporterait rien a priori) mais H0+W. Alors d'accord... mais en général c'est extrêmement difficile voire infaisable, d'où l'utilité de la théorie des perturbations dans laquelle on n'a pas besoin de diagonaliser l'hamiltonien total, mais juste de le diagonaliser "par blocs", ce qui est beaucoup plus simple.

J'ai eu un problême technique, mon clavier a été bloqué et je suis allé acheter un nouveau clavier.

Je continue le post précédent. En abscence d'informations sur la taille de la perturbation j'ai partitionner la perturbation en 2 car diagonaliser W1 est trivial. Maintenant pour traiter W2 j'ai 4 cas:

cas1: les éléments non diagonaux sont tous petits devant la différence des éléments diagonaux associés auquel cas je peux me contenter d'un calcul de perturbation au second ordre.
cas2: j'ai du bol, moyennant des permutations lignes colonnes j'ai un système diagonal par blocs auquel cas je réduit la dimension des problèmes ce qui se résoud trivialement.

cas3: les éléments non diagonaux sont tous forts. De là j'ai pas avancé d'un iota ce qui n'est pas grave puisque les calculs précedents n'ont demandé aucune énergie.

cas 4. Certains des éléments non diagonaux sont forts d'autres faibles dans ce cas il suffit de faire des rotations à "45°" dans les sous-espaces où les éléments sont forts et de là on doit se retrouver dans la nouvelle base avec une matrice où les éléments
non diagonaux sont faibles et je suis ramener au cas 1.

Voilà je pense avoir traiter tous les cas de figures en absence d'information sur la "taille" de la perturbation.

Dans la réalité "professionnelle" lorsque l'on a un problème de ce type
il y a souvent des considérations de symmétrie qui simplifie la résolution du problème. le cas le plus répandu est celui où Ho est invariant sous un groupe de transformation G. La perturbation elle abaisse la symétrie à un sous-groupe de G disons H. dans ce cas on choisi une base de Ho qui se transforme comme les représentations irréductibles de H. dans cete base la perturbation W est automatiquement diagonale par blocs.

Plus généralement lorsque l'on a une succession de perturbations qui représentent différents effets physiques où sont présents les problèmes a N corps et la relativité (réecrit en terme de couplage spin-orbite) grace a cette pratique on comprend, décrit et prédit les phénomènes sans aucun calcul autres que ceux associés à la théorie de la représentation des groupes (moyennant quelques constantes ajustables à l'expérience que l'on appelle éléments de matrices réduits dans ce contexte).

Je profite de cette digression pour dire qu'aujourd'hui le corpus que l'on appelle MQ devrait être couplé à la théorie des groupes. Malheureusement ce n'est pas le cas même pour les livres récents qui couplent MQ et physique atomique, aberrant!!!!!!!!

[invite143758ee]

grace a cette pratique on comprend, décrit et prédit les phénomènes sans aucun calcul autres que ceux associés à la théorie de la représentation des groupes (moyennant quelques constantes ajustables à l'expérience que l'on appelle éléments de matrices réduits dans ce contexte).

à un moment dans ma" jeunesse" , on nous a fait un cours de théorie des groupes , à un moment donné faut bien calculé, et souvent ça devient vite lourd, quand on doit faire des
représentions mécanique vibratoire, de translation..(j'ai un peu oublié les noms pardon...) et quand on a juste une représentation régulière d'un groupe de symétrie à des tonnes d'éléments, puis faut trouver les sous-espaces invariant, la représentation irréductible,etc...c'est bien la théorie des groupes, mais je ne pense pas que ça fait l'unanimité dans l'enseignement de la MQ,
bien sûr si on a des tables des caractères déjà préparé, et des groupes déjà connu, alors effectivement c'est facile et c'est bien la théorie des groupes, mais ça ne donne que l'allure des spectres,
mais pas les valeurs numériques, enfin je ne crois pas. Alors faut retourner à la MQ avec des approximations pour tronquer l'espace dans lequel on travaille et diagonaliser des matrices en laissant tourner pendant une semaine les ordis du labos pour avoir les valeurs numériques des énergies, enfin, c'est ce que j'ai vu également dans le milieu professionnel où j'avais effectué un stage.

Je connais deux prof qui sont ouvertement opposé, l'un préconise une approche totalement groupiste de la MQ, et au final, les élèves ne savent pas c'est quoi l'atome d'hélium, ou au contraire l'approche cohen -tannoudji mais à la fin, ils pèchent peu être un peu en math, et c'est le conflit entre ces deux personnes.

J'ai également regardé si les groupes en général (quantique, de lie) apportent une réèlle avancée pédagogique , ce que j'en retiens c'est qu'à un moment ou à un autre, il faut calculer, ça peut faire des polynômes à 127 termes et bien d'autres choses très moches dans des domaines très fort conceptuellement.

voilà mon avis de jeune étudiant naïf

[mariposa]

A propos de la théorie de la représentation des groupes.

1- C'est justement quand les problèmes sont compliqués que la théorie des groupes montrent sa puissance. Elle permet de traiter des systèmes où il y a N corps (N petit) couplés a des modes de vibration avec couplage spin orbite et spin-spin avec des perturbations externes (champ de contraintes, champ électrique etc..) Les problèmes sont inextricables sans théorie des groupes.
On peut comprendre non seulement la structure électronique mais aussi les intensités respectives des raies en émission comme en absorbtion. Contrairement a ce que tu dis il y a peu de calculs et seulement quelques paramêtres ajustables dont le contenu physique est nul.

2- En physique du solide la théorie des transitions de phase et le concept de paramêtres d'ordre (Landau) qui en découle repose entièrement sur la théorie des groupes: pas de physique de solide sans théorie des groupes. il faudrait une sacrée dose d'ignorance pour prétendre le contraire.
Un récent livre (oxford 2004) sur le problème a N corps de Xia-Gang Wen (intitulé: Quantum Field Théory of Many-Body systems) considère qu'avec la théorie de Landau la physique du solide classique est achevée. Sa démarche consiste a faire remarquer que pour la première fois avec la découverte de l'effet Hall quantique fractionnaire on ne peut expliquer ce phénomène avec la théorie de Landau. Il faut faire intervenir un concept d'ordre topologique. Bref pour comprendre ce livre remarquable il faut bien connaitre la théorie des groupes et sa signification physique.

3- On pourrait la même chose en physique nucléaire, en particules élémentaires maus là ce n'est pas ma tasse de thé.

4- Ce que tu dis prouve que la théorie des groupes n'est pas pret de rentrer dans les cours d'initiation a la MQ. J'avais fait ce constat il y a 20 ans, apparramment rien n'a évoluer. J'avais fait a plusieurs reprises la remarque aux Cohen-tannoudji (lui et son frère) ils étaient d'accord sur le principe mais je vois que rien ne change.

5- Le bouquin de Cohen c'est gosso-modo de la MQ avec applications de la physique atomique. Sur le fond ce livre est tres proche des Messiah (Dunod 1965) lui-même très proche du livre de A.M Dirac (Gabay 1931). rien de plus normal puisqu'ils ont été formés les uns par les autres. en plus la MQ s'est construite essentiellement sur des résiltats de spectres atomiques.

Aujourd'hui la MQ a un spectre d'application trés large qui dépasse largement la physique atomique et l'interaction ondes-matière.

Selon moi un bon livre se devrait d'introduire les principes de la MQ (version axiomatique allégée) et la théorie des groupes et surtout faire beaucoup d'exercices. Ensuite montrer des applications dans différents domaines (physique atomique, moléculaire, physique nucléaire, particules élémentaires, physique de la matière condensée.
Ce livre devrait cesser de faire croire a l'étudiant que l'on résoud l'équation de scrhodinger. il faut apprendre a créer des modèles face a une situation expérimentale donnée. bref se rapprocher de la pratique des professionelles.

[invite143758ee]

Un récent livre (oxford 2004) sur le problème a N corps de Xia-Gang Wen (intitulé: Quantum Field Théory of Many-Body systems) considère qu'avec la théorie de Landau la physique du solide classique est achevée. Sa démarche consiste a faire remarquer que pour la première fois avec la découverte de l'effet Hall quantique fractionnaire on ne peut expliquer ce phénomène avec la théorie de Landau. Il faut faire intervenir un concept d'ordre topologique. Bref pour comprendre ce livre remarquable il faut bien connaitre la théorie des groupes et sa signification physique.

toujours un plaisir de discuter un peu d'autre chose que d'Einstein...
Oui, la théorie de landau pour les conducteur 1D ne marche, pas cepedant, j'ai un peu regarder la construction de la bosonisation et son utilisation dans la théorie de luttinger, et son utilisation dans des calculs dans des régimes effet hall fractionnaire, bon, on fait des calculs en théorie des champs, mais sans avoir encore besoin de théorie des groupes et de parler d'invariant topologique.
est-ce vraiment une avancée au niveau des calculs (calculs plus simple) ou est-ce plutôt une reconceptualisation un peu comme faire de l'électromag avec des "hodge-star" ?

[invite143758ee]

J'avais fait a plusieurs reprises la remarque aux Cohen-tannoudji (lui et son frère) ils étaient d'accord sur le principe mais je vois que rien ne change.

est-ce qu'ils sont sympa ? je voudrais faire dédicacer mes deux tomes de Mécanique quantique !quand j'irai à paris !

[invite143758ee]

C'est justement quand les problèmes sont compliqués que la théorie des groupes montrent sa puissance. Elle permet de traiter des systèmes où il y a N corps (N petit) couplés a des modes de vibration avec couplage spin orbite et spin-spin avec des perturbations externes (champ de contraintes, champ électrique etc..) Les problèmes sont inextricables sans théorie des groupes.

j'imagine qu'on a tous des expériences différentes à faire part,

Contrairement a ce que tu dis il y a peu de calculs et seulement quelques paramêtres ajustables dont le contenu physique est nul.

bon je dis juste que j'ai un exemple où on considère un liquide spin ferromagnétique, et qu'il faut diagonaliser une matrice pendant une semaine sur un réseau d'ordi , théorie des groupes ou pas, ça fait pas non plus des miracles en tout cas pour le réseau qu'on a considéré , (le problème se rammenait plutôt à de la combinatoire). Et j'imagine que tu as un exemple où le calcul se fait en deux deux avec la théorie des groupes. ok! il faut juste ne pas généraliser à partir d'un exemple, et ne pas dire tout le temps que la réalité, c'est le contraire de ce que je dis ?!

[mariposa]

toujours un plaisir de discuter un peu d'autre chose que d'Einstein...
Oui, la théorie de landau pour les conducteur 1D ne marche, pas cepedant, j'ai un peu regarder la construction de la bosonisation et son utilisation dans la théorie de luttinger, et son utilisation dans des calculs dans des régimes effet hall fractionnaire, bon, on fait des calculs en théorie des champs, mais sans avoir encore besoin de théorie des groupes et de parler d'invariant topologique.
est-ce vraiment une avancée au niveau des calculs (calculs plus simple) ou est-ce plutôt une reconceptualisation un peu comme faire de l'électromag avec des "hodge-star" ?

J'ai commencer a lire ce livre, c'est hard (pour moi) mais passionnant. En fait pour être précis j'ai acheté ce livre parcequ'il y avait un chapitre sur l'effet Hall quantique fractionnaire. L'effet Hall fractionnaire m'intéresse parceque il semble que le concept d'anyon de Wilzek soit pertinent. Donc j'essai de me concentrer sur ce problème et pour çà je dois apprendre des tas de choses en topologie algébrique (qui peuvent servir a comprendre la théorie des cordes). Toutefois si tu veux discuter du contenu de ce livre je serais ravi d'en discuter avec toi.

Théorie des groupes et invariance tpologique:

C'est justement parce que dans l'effet hall quantique fractionnaire la transition de phase ne peut pas s'expliquer en termes de brisure de symmétrie a la Landau qu'il évoque une autre façon de concevoir l'ordre: l'ordre de topologique. Ensuite il généralise en une notion d'ordre quantique (là je n'ai rien compris)

On peut prendre Wen au sérieux (il a travaillé et publié avec Witten!)

[invite143758ee]

Donc j'essai de me concentrer sur ce problème et pour çà je dois apprendre des tas de choses en topologie algébrique (qui peuvent servir a comprendre la théorie des cordes). Toutefois si tu veux discuter du contenu de ce livre je serais ravi d'en discuter avec toi.

n'hésite pas à ouvrir un post pour parler de ce livre !!
l'air de rien tu fais semblant de poser une question qui a un rapport avec ton livre, et après tu embrayes pour nous donner ton avis sur ces méthodes topologiques, l'air de rien

et c'est vrai que la physique du solide est toujours vu comme archaïque au sens où il n'y a pas de relativité générale,etc...tu parles de topologie algébrique,
sinon j'ai découvert des articles sur des modèles d'interaction spin longue distance, et peut-être que les méthodes des groupes quantiques peuvent ammener quelque chose,

Donc j'essai de me concentrer sur ce problème et pour çà je dois apprendre des tas de choses en ........

algèbre!

aïe ça sort du sujet initial !
à+