Bonjour à tous.
Il me semble avoir bien compris le cours, mais lorsque je me retrouve devant une matrice H0 et une matrice de perturbation V, je n'arrive à RIEN faire... Je ne sais pas calcules les énergies de correction, ni les vecteurs propres.
Soient par exemple :
H0 = E1 0 0 ; 0 E2 0 ; 0 0 E3
V = 0 a b ; a 0 0 ; b 0 0.
X Y Z représente une ligne de matrice.
Comment on fait ici ? Merci de votre soutient...
BonjourEnvoyé par julien_4230
On se sert des formules qui donnent les énergies perturbées (au moins au deuxième ordre ici) ainsi que les fonctions perturbées.
Tu dois forcement avoir les formules dans ton cours...
Bonjour,
Il faut savoir que chercher les valeurs propres et les vecteurs propres ce fait mathématiquement à partir des zéros du polynome det(A-la.I) =0
A est la matrice et "la" sont les valeur propres inconnues.
En fait en MQ on évite cela le plus possible.
Chercher les vecteurs propres revient a faire un changement de base. On peut donc dans certains cas trouver la solution par quelques changement de bases simples.
Au vu de tes coéfficients je te suggère d'essayer de commencer par représenter H° + V dans la base suivante:
x = 1/ra2 (X + Y)
y = 1/ra2 (X -Y)
z= Z
Avec un peu de chance tu auras une matrice diagonalisée par blocs.
Remarque 1:
Si tu avais préciser qu'elle était l'origine de cette matrice on pourrait au premier coup d'oeil voir les véritables symétries cachées.
remarque 2:
Il est interdit d'utiliser un calcul de perturbations car tes niveaux non perturbés sont dégénérés.
1-?? c'est pas ce qu'il écrit... : E1, E2 et E3
2- On ne peut pas perturber des niveaux dégénérés ??
Milles excuses j'avais (très) mal lu.
Auquel cas cet exercice ne présente aucun intérêt (pour le physicien) puisqu'aucune valeur numérique n'est précisée. Il faut donc résoudre une équation du Troisième degré (passionnant comme exercice)
Si, si, bien sûr. Il faut juste utiliser la méthode (classique) spécifique pour les niveaux dégénérés
Oui, je le sais, je l'utilise...
Vous pourriez peut-être donner une référence à Mariposa qui affirme que c'est "interdit"...
N'importe quel manuel de base de MQ ?
mais sans doute voulait-il dire autre chose...
Si les niveaux sont dégénérés les dénominateurs de chaque terme de perturbation sont infinis? Non?
Plutôt que polémiquer mieux vaudrait étayer ses affirmations par des démonstrations.
Bonsoir,
Ben si on utilise la mauvaise théorie des perturbations (celle qui s'applique dans les cas non dégénéré uniquement) c'est effectivement ce qu'il se passe. Mais dans les cas où l'on s'intéresse à la théorie des perturbations construite pour les systèmes avec dégénérescence il n'y a pas de problèmes. Pour voir tout ça je crois que c'est fais dans le Cohen (tome 2 d'après vieux souvenirs), sinon c'est dans le Le Bellac, et surement dans celui de Claude Aslangul (mais à tout voir ça doit-être traité dans un paquet de bouquins).Si les niveaux sont dégénérés les dénominateurs de chaque terme de perturbation sont infinis? Non?
Tout ça pour dire que ça me fait penser qu'il faudrait que je bosse un peu
Il ne s'agit pas de polémiquer, mais de rectifier des erreurs grossières.
Pour un exposé de la méthode de perturbation pour des niveaux dégénérés, voir Cohen-Tannoudji et al, Messiah, Aslangul, ... Les ouvrages ne manquent pas.
Il ne faut pas confondre manuel de physique et livres de recettes ('physique, cuisine ou autre). Ce qui est important est de comprendre ce que l'on fait.
Tu feras bien de répondre aux objections explicites et argumentées que j'ai écrites. Pour les conseils ne te fatigue pas j'ai enseigné la MQ couplée à la TRG au DEA de Rennes il y a déjà plus de 30 ans.
Pour appliquer un calcul de perturbation il y a des conditions a remplir. En l'occurrence les valeurs de E1, E2, E3 a, b ne sont pas précisées donc il est impossible de savoir si on peut appliquer,ou non un calcul de perturbation.
Par exemple si:
a,b>> |E1-E2|,|E2-E3|
alors le calcul de perturbation est "out"
On s'en doute mais je crois pas que ce soit là que se situe la question.Pour les conseils ne te fatigue pas j'ai enseigné la MQ couplée à la TRG au DEA de Rennes il y a déjà plus de 30 ans.
Nous sommes d'accord (comme je le pense tout le monde ici) cependant comme il est dit dans le premier message il semblerait que le cours ait été compris. (bon après on peut tergiverser sur le fait qu'il ait été réellement compris ou non mais bon je pense que c'est stérile tant qu'il n'y aura pas de détails supplémentaires de la part de l'auteur du fil).Il ne faut pas confondre manuel de physique et livres de recettes ('physique, cuisine ou autre). Ce qui est important est de comprendre ce que l'on fait.
Pour le coup dans le principe c'est vrai mais étant donné qu'il s'agit d'un exercice académique sur le calcul de perturbation il y a une probabilité non négligeable qu'il soit possible de faire un calcul de perturbation.Pour appliquer un calcul de perturbation il y a des conditions a remplir. En l'occurrence les valeurs de E1, E2, E3 a, b ne sont pas précisées donc il est impossible de savoir si on peut appliquer,ou non un calcul de perturbation.
Si tu parle de celle-ci :Tu feras bien de répondre aux objections explicites et argumentées que j'ai écrites.
C'est déjà fait. Il existe une théorie des perturbations de niveaux dégénérés (exposée dans les ouvrages sus-cités) qui évite cet écueil.Si les niveaux sont dégénérés les dénominateurs de chaque terme de perturbation sont infinis? Non?
Bon de toute façon ici il semblerait que ce ne soit pas dégénéré (sinon ce serait noté plutôt E à la place de E1, E2,E3). Ce qui m'attriste car ça m'intéresserait surtout d'avoir un exemple simple dans le cas dégénéré.
Grosse confusion:
Quand un sous-espace vectoriel E est dégénéré (ou quasi-dégénéré), au premier ordre de perturbation il faut diagonaliser la perturbation dans le sous-espace de E.
Autrement dit ce que l'on appelle usuellement premier ordre de perturbation n'est en aucune façon un calcul de perturbation.
Ensuite il faut réécrire la matrice de perturbation dans la nouvelle base engendrée par la rotation dans E.
Si dans cette nouvelle base les éléments non- diagonaux sont tous plus petits que les différences d'éléments non diagonaux alors on peut appliquer le calcul de perturbation à tous les ordres.
Si ce n'est pas le cas alors il faut élargir la dimension de l'espace E et refaire une nouvelle diagonalisation et suivre la méthodologie précédente et ce jusqu'a remplir le critère sur les éléments de matrices.
il est extrêmement dangereux d'appliquer un calcul de perturbation si on ne comprends ce qui se passe. L'idée centrale est qu'un calcul de perturbation est une petite rotation dans un espace de Hilbert (pour la MQ) pour atteindre les directions propres. Si la rotation est trop importante la technique de perturbation standard est inapplicable.
Les auteurs cités, universellement considérés comme de référence, apprécieront que leurs ouvrages soient qualifiés de livres de recettes.Il ne faut pas confondre manuel de physique et livres de recettes ('physique, cuisine ou autre). Ce qui est important est de comprendre ce que l'on fait.
Tu feras bien de répondre aux objections explicites et argumentées que j'ai écrites. Pour les conseils ne te fatigue pas j'ai enseigné la MQ couplée à la TRG au DEA de Rennes il y a déjà plus de 30 ans.
Vous n'avez formulé ni objection, ni argument, juste affirmé péremptoirement (comme d'habitude) qu'il est "interdit" d'utiliser une méthode de perturbation en présence de dégénérescence, ce qui est grossièrement faux, comme le savent les étudiants en M1 des bons établissements.
Quant à vos références en matière d'enseignement, on n'en a que faire sauf à les rejeter en tant qu'argument d'autorité même pas ridicule (et à frémir rétrospectivement en pensant aux étudiants de Rennes).
On ne se fera jamais à ce qu'un contributeur à ce forum, à propos d'une autre question, a appelé votre "morgue" qui, selon Littré, signifie arrogance et prétention.
L'anonymat devrait inciter à plus de retenue quand elle ne vous vient pas spontanément.
PS : essayez de vous mettre à TeX, cela rendra plus immédiatement lisibles les trivialtés algébriques dont vous nous abreuvez et qui n'apprennent rien à personne.
Ce n'est pas le livre qui est une recette en soi, mais le lecteur qui peut le prendre pour une recette. Nuance de taille.
Bien au contraire, j'a expliqué dans quelles conditions on pouvait ou pas effectuer un calcul de perturbation. Par contre je ne vois la moindre esquisse d'argumentation ci-dessus:Vous n'avez formulé ni objection, ni argument, juste affirmé péremptoirement (comme d'habitude) qu'il est "interdit" d'utiliser une méthode de perturbation en présence de dégénérescence, ce qui est grossièrement faux, comme le savent les étudiants en M1 des bons établissements.
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Exercice à résoudre: (par un calcul de perturbation????
Soient 2 niveaux dégénérés E1 = E2 = 0
Soit une perturbation dont les élements de matrices sont:
V12 = V21 = V
V11 = V22 = 0
Au boulot.
Merci de rester courtois les uns envers les autres et d'éviter de faire partir dans le décor des fils qui n'avaient rien fait de mal.
Dans ce cas trivial, point besoin de se mettre "au boulot" : on voit sans calcul que les valeurs propres exactes dépendant linéairement du paramètre de perturbation, la méthode de perturbation au premier ordre pour un niveau dégénéré donne le résultat... exact.....
Exercice à résoudre: (par un calcul de perturbation????
Soient 2 niveaux dégénérés E1 = E2 = 0
Soit une perturbation dont les élements de matrices sont:
V12 = V21 = V
V11 = V22 = 0
Au boulot.
Bonjour,
Étonnant.
Peux-tu écrire explicitement seulement les deux premiers termes du développement de perturbations. Pour y voir plus clair dans ton raisonnement cites Tannoudji dont je possède les livres.
Je rappelle fermement l'affirmation selon laquelle on ne peut pas appliquer la théorie des perturbations n'importe où et en particulier dans la cas de dégénérescence (ou de quasi-dégénérescence). Autrement dit le calcul de perturbation possède un domaine de validité qu'il faut comprendre au risque de faire n'importe quoi. Tous mes éleves savaient çà. Il est vrai qu'ils n'avaient pas suivi le cours de M1 dont tu faisais allusion.
Bonjour,
Pour en revenir au fond du problème.
Tel quel l'exercice est (mal) posé il y a grosso-modo 2 cas:
______________________________ ______________________________ ______________________________ ___________
1- les coefficients |a|, |b| <<|E1-E2| , | E2- E3|
Dans ce cas et dans ce cas seul on peut appliquer la théorie des perturbations.
______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________
2- les coefficients |a|, |b| >> |E1-E2| , | E2- E3|
Dans ce cas on ne peut appliquer la théorie des perturbations. Il faut dans les principes effectuer la diagonalisation abrupte en calculant les zéros du polynome associé.
Néanmoins physiquement on peut faire autrement en exploitant les symétries apparentes ou cachées. Cela veut dire que l'on fait appelle à la TRG qui consiste à effectuer des chaines de diagonalisations par blocs en effectuant uniquement des changements de bases guidées par les brisures successives de symétries.
Dans le cas présent on peut ignorer la TRG en associant une molécule trilinéaire au problème.
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En guise d'exercice:
On prendra E1=E2=E3 (donc en dehors du domaine de perturbation)
et on écrira b= a + c
1- Ecrire la matrice perturbation V = V1 + V2 où V1 dépend de a et V2 dépend de b
On a donc H = H° + V1 + V2 qui consiste a une hiérarchie.
On Va donc résoudre exactement H = H° + V1 et de là faire agir V2 dans la base des vecteurs propres de H1 =H° + V1.
2- Effectuons le changement de base et écrire l'HamiltonienH1 dans cette nouvelle base:
|S> = 1/Rac2(|Y> + |Z>)
|A> = 1/Rac2(|Y> - |Z>)
|X> = |X>
3- Justifier ce changement de base en associant les vecteurs |X>,|Y> et|Z> à une molécule linéaire.
4- Calculer l' élément de matrices <X|H1|A>
On trouve qu'il est nul.
Pourquoi il était inutile de le calculer?
5- Ecrire l'Hamiltonien H1 dans la nouvelle base:
|A>, |H>, |B>
avec |H> =|S> + |B> (a normaliser)
|B> = |S> - |B> ( a normaliser)
L'hamiltonien est diagonal et donc les élements propres sont résolus. Pourquoi?
6- Ecrire l'Hamiltonien de V2 dans la base des vecteurs propres de H1.
A quelles conditions peut-on effectuer un calcul de perturbation?
dans ce cas donner les résultats au premier et deuxième ordre.
Dans le cas contraire calculer les valeurs exactes et vérifier qu'elles contiennent le calcul de perturbation.
Pour fixer les idées on prendra a = 1eV et b balayant un large spectre autour d'un 1eV.
7- Reprenter dans un plan (a,b) les domaines de validité d'un calcul de perturbation.
Je répète que comme les valeurs propres exactes dépendent linéairement du paramètre de perturbation, la méthode perturbative au premier ordre donne le résultat exact.
Que dire de plus ?!
Pour moi cette phrase ne veut rien dire ni mathématiquement, ni physiquement.
Dans une théorie de perturbation au premier ordre sur les énergies, il s'agit tout simplement des variations des éléments de matrices diagonaux. Hors ici ils sont nuls. Donc au premier ordre rien ne se passe.
Au deuxième ordre de perturbation en énergie (et en fait à tous les ordres) tous les éléments de matrices sont infinis!!!!!
Bref la technique de perturbation diverge brutalement à l'ordre 2 et cela s'aggrave à tous les ordres.
Conclusion: Nous sommes frontalement en dehors du domaine de validité du calcul de perturbation, tout simplement.
Faux,
pour un état dégénéré, le premier ordre consiste à exprimer les états sur la base des états dégénérés d'où la diagonalisation et l'importance des éléments hors-diagonaux.
Bonjour,
On voit tout d'abord que les valeurs propres de H0 ne sont pas dégénérées. On peut donc appliquer la méthode des perturbations sans être obligé de diagonaliser V. Les trois vecteurs propres de H0 sont à l'évidence :
(normal on est dans la base canonique).
La méthode des perturbations montre que la correction de l'énergie au 1er ordre est donnée par :
par exemple :
On fait la même chose avec les corrections au 1er ordre des énergies E2 et E3, et tu verras que l'une d'entre elles n'est pas nulle.
La théorie des perturbations stationnaire montre également que la correction aux vecteur propre au 1er ordre est donnée par :
par exemple :
Tu fais de même avec les 2 autres vecteurs et le tour est joué.
Cela non plus ne signifie rien, ni mathématiquement ni physiquement.
Il ne faut pas confondre l'écriture de la représentation de la perturbation dans la base du système non perturbé et le calcul de cette perturbation.
Le simple constat pour une matrice 2*2 que les éléments non-diagonaux soient plus grands que la différence des éléments diagonaux suffit à constater que le développement en perturbation diverge. Cela se voit au premier coup d'oeil.
autrement dit si l'on écrit:
H = H° + V
La première chose à faire c'est de représenter H dans la base des fonctions propres de V (et non de H°) ce qui correspond géométriquement dans l'espace de Hilbert à une "rotation" de 45°.
Dans cette nouvelle base on peut considérer que H° est une perturbation de V et écrire:
H = V + H°
Là on peut enfin appliquer les techniques de perturbation car les éléments non diagonaux sont plus faibles que la différence des éléments diagonaux.
J'ai donné un exercice qui justement permet de faire de la gymnastique sur les situations qui autorisent ou non le calcul de perturbation.
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La physique théorique cherche justement à traiter les problèmes dans un cadre non perturbatif ce qui est beaucoup plus élégant. Les exemples des bonnes transformations unitaires sont par exemple:
Les solutions d'un hamiltonien décrivant le mouvement d'une chaine de N atomes identiques ne peut se faire par perturbation.
Les solutions d'un hamiltonien d'un modèle à 1 électron se promenant sur N sites identiques ne peut se faire par perturbation.
Dans ces 2 cas on a un niveau d'énergie N fois dégénéré avec de forts couplages.
Pour résoudre le problème on note que:
[H, T] = 0
H hamiltonien et T opérateur représentant les translations dans la base de Hilbert.
Comme le groupe des translations est Abélien (les représentations irréductibles sont toutes de dimension 1) les fonctions de propres de H sont donc les fonctions propres de T et le problème est résolu par une transformation unitaire et donc sans calculs.
Faux.
La technique de perturbation ne saurait diverger au second ordre puisqu'elle donne dès le premier la réponse exacte et que le développement s'arrête là, tout simplement.
Bref la technique de perturbation diverge brutalement à l'ordre 2 et cela s'aggrave à tous les ordres.
Conclusion: Nous sommes frontalement en dehors du domaine de validité du calcul de perturbation, tout simplement.
Formellement et dit autrement, à tous les ordres supérieurs, les corrections sont nulles, tout le contraire de divergences.
Conclusion : aucun choc frontal d'aucune sorte...
Il te suffit de lire les formules canoniques de calculs de perturbations que VINCANT présentes ci-dessus (a savoir celles que l'on trouve partout et qui bien-entendu sont justes).
N'importe qui pourra constater, même en cas de forte myopie, que ces formules divergent en présence de dégénérescence. Il suffit de constater que les dénominateurs sont égaux à zéro et donc que les éléments de matrice sont infinis.
Dit autrement les formules de Vincant, cad les calculs de perturbation sont inapplicables dans le cas E1=E2=E3. Ce qui n'a rien d'étonnant.
Bah c'est normal : ce sont les formules pour le cas non-dégénéré
Y a d'autres formules pour le cas dégénéré… Mais ça, je suis sûr que tu le sais, c'est pour ça : je vois pas trop à quoi vous jouez et où vous voulez en venir vous deux là
Bonjour,Bah c'est normal : ce sont les formules pour le cas non-dégénéré
Y a d'autres formules pour le cas dégénéré… Mais ça, je suis sûr que tu le sais, c'est pour ça : je vois pas trop à quoi vous jouez et où vous voulez en venir vous deux là
Au lieu de discuter en l'air ne penses-tu pas qu'il faudrait résoudre le problème que j'ai posé? J'ai structurer la démarche en donnant la méthode. Cela permettrait sur le plan pédagogique de comprendre ou se situe le calcul de perturbation et surtout où il ne se situe pas.
Le calcul de perturbation a un domaine de validité, ce n'est pas une recette universelle, loin de là.
Pour aller chercher les "grandes" idées il est impossible de calculer la structure d'un neutron a partir d'une base de 3 quarks indépendants.
Par contre cela est possible a très hautes énergies parce que la perturbation est faible. C'est pourquoi on peut "identifier" les "partons aux quarks ou plutôt dans un jargon professionnel décrire les partons comme des quarks habillés.
