Définition Vecteur, tenseur, spineur, twisteur...

[invite8ef897e4]

Bonjour a tous.

Je me suis dit dernierement qu'il pourrait etre utile de rassembler differentes definitions de concepts mathematiques intervenant en physique. Il serait selon moi profitable a tout le monde que l'on compare les differentes definitions equivalentes entre elles, pour le profane qui n'est pas familier avec ces objets, mais aussi pour celui qui a l'habitude d'utiliser (par exmple) les tenseurs dans un context specifique tel que (par exemple) les calculs de contraintes dans les materiaux sans avoir conscience d'autres applications telle que (par exemple) la relativite generale. Pour l'etudiant qui decouvre la notion de spineur, il est au debut tres difficile de construire une representation mentale de l'objet, beaucoup plus difficile que de manier les symboles. Il existe tout un zoo de differents spineurs, interconnectes, similaires, et cela prend un certain temps avant de retrouver ses petits dans toute cette foule.

Si donc vous utilisez ce genre de "collection de nombres" (les coordonnees d'un vecteur par exmple) qui possedent egalement leur propre interpretation geometrique (plus ou moins) simple (telle qu'une "fleche" dans le cas d'un vecteur) je vous propose de poster ici votre definition et/ou votre interpretation, ainsi eventuellement que le context dans lequel vous utilisez ces objets. Mettre en evidence des liens entre differentes disciplines permet souvent de soulever un lievre.

Qu'en pensez-vous ?

[invitea4b4a777]

Je suis pour, surtout que vu les termes, c'est moi le profane.

[invite9c9b9968]

Je suis pour !

Je propose (au vu de mes très modestes connaissances !) :

1 Le vecteur :

a - Définition mathématique générale :

Un vecteur est élément d'un K-espace vectoriel (E,+, .) , défini par :
* (E,+) est un groupe abélien (ie commutatif), c'est-à-dire + est une loi de composition interne associative ( (x+y)+z = x+ (y+z) ), admettant un élément neutre e (ie pour tout x dans E x+e=e+x = x) noté 0 (ou , souvent le cas en affine ) et telle que tout élément admette un inverse : pour tout x dans E, il existe un unique y noté -x tel que x+y = y+x =0.

* K est un corps commutatif dont . est la loi interne multiplicative

* . est une loi de composition externe sur E : à un élément de K, nommé scalaire, et un élément x de E elle associe l'élément de E.

* (E,+,.) vérifie les axiomes suivants pour x y dans E, dans K :

_

_

_

_ où 1 est le neutre de K pour la loi multiplicative . sur K.

Typiquement, , (le plan réel) , (l'espace réel) et plus généralement sont des espaces vectoriels sur le corps .

On peut envisager de même , , etc.. comme -espaces vectoriels ou comme -espaces vectoriels.

b - Définition pratique en physique :

Souvent les espaces sur lesquels on travaille sont de dimension finie : il existe une famille de vecteurs (x1, x2, .. , xn) qui engendre l'espace, et telle que si est une famille de scalaires tels que alors tous les sont nuls.

Une telle famille est appelée base de l'espace, et la dimension n de l'espace est le cardinal d'une telle base.

On peut alors représenter chaque vecteur de E par ses composantes dans cette base, et donc représenter les vecteurs par une colonne de nombre :



On a alors pour les changements de base, si P est la matrice de passage de (ei) à (ei'), X représentant dans (ei) et X' représentant dans (ei') alors .

Très souvent aussi en physique, la base en question est orthonormée.

2 Le tenseur :

a - Une définition mathématique :

Je travaille ici en espace euclidien E : c'est un espace vectoriel de dimension finie (disons n) muni d'un produit scalaire.

On définit un tenseur d'ordre p sur E comme étant une application p-linéaire de E dans K le corps de base de E (généralement K = ou en physique). Une telle application p-linéaire est aussi appelée forme p-linéaire.

b - En physique :

Lorsque p=0, le tenseur est un scalaire.

Lorsque p=1, le tenseur est un vecteur (ceci car à tout forme linéaire u n peut associer un unique vecteur x tel que pour tout y dans E, on ait u(x)= <x,y> où <,> est un produit scalaire sur E)

On peut donc identifier ce vecteur avec le tenseur (et faire comme précédemment, avec une base)

Lorsque p=2, on peut représenter le tenseur u par une matrice n*n telle que le coefficient (a_ij) soit tel que a_ij = u(xi,xj) où (xi) est une base de E. Mais attention ! Les changements de base ne sont pas les mêmes que dans le cas des applications linéaires, c'est la transposée qui est utilisé et non l'inverse pour la matrice définissant le changement de base : si P est la matrice de passage de (ei) à (ei'), A la matrice représentant u dans (ei) et A' représentant u dans (ei') alors .

En physique, il existe toute sortes de tenseurs. Quelques exemples :

_ le tenseur métrique de Minkowski de la relativité restreinte (tenseur d'ordre 2)


_ le tenseur électromagnétique (tenseur d'ordre 2)


_ le tenseur complètement antisymétrique d'ordre 4 tels que ses éléments non-nuls sont tels que les indices (a,b,c,d) (généralisation de la notation (a_ij) des matrices) correspondent à une permutation de (0,1,2,3) ; si cette permutation est paire, alors l'élément vaut 1, si elle est impaire l'élément vaut -1. Sert en électromagnétisme.

_ Les tenseurs de Riemann et de Ricci en relativité générale (qui permettent de décrire la courbure de l'espace-temps)

_ Les tenseurs de contraintes en mécanique des solides (là je n'y connais strictement rien)

3 Un peu de spineur :

Là c'est bien plus flou, mais il me semble que c'est un tenseur à composantes dans *(alors qu'au dessus, j'ai plus ou moins envisagé seulement le cas de tenseurs réels).

Ainsi un bispineur est un 2-spineur de rang 1 (c'est-à-dire un vecteur à deux composantes complexes).


Bon voilà ça s'arrête là, à compléter donc (surtout pour les spineurs, et il manque les twisteur, je ne sais pas ce que c'est)

Julien

[invite8ef897e4]

Bravo Julien, joli message
c'est un bel effort !

1 le vecteur
C'est un point de vue tres mathematique que tu offres ici, meme dans ta partie "physique". Donc nous ne commencons pas facilement pour le novice !

Pour proposer une version un peu plus simple, un vecteur est essentiellement une "fleche" entre deux points. Le vecteur est donc geometriquement caracterise par une direction (parallele a une certaine droite), une longueur (ou plus generalement une norme, ou un module) et un sens (typiquement, vers le haut ou vers le bas sur une droite).

Comme application physique immediate, je pense au vecteur vitesse. Intuitivement on apprehende assez bien ce concept.

2 Le tenseur
pour la definition mathematique du tenseur, on peut prendre de facon plus generale : un tenseur d'ordre (p,q) (ou de genre (p,q), ou encore p fois contravariant et q fois covariant, cf plus tard ) est une application lineaire de ou est l'espace dual. Tout cela est deja tres technique... L'espace dual est l'ensemble des formes lineaires sur : un element de l'espace dual est une fonction qui prend comme argument un des elements de (un vecteur) et qui lui associe un nombre (i.e. un element du corps de base). Cette association est donc lineaire. Le premier resultat important pour comprendre cet espace dual, c'est que, en dimension finie il est possible d'associer un et un seul element de a tout element de : toute forme lineaire peut s'exprimer comme un produit scalaire avec un vecteur particulier, qui represente "canoniquement" la forme lineaire. Dit autrement, tel que
Cette suite de symbole se lit : "quel que soit v element du dual de E, il existe un unique vecteur V dans E tel que pour tout autre vecteur U, l'image de U par v soit egal au produit scalaire de U et V"

J'arrete ici ma digression technique...

Comment se faire une idee de ce que represente un tenseur ? Bon, prenons les deformations dans le solides : un point dans un solide se trouve deplace a cause de la deformation de ce solide. En premiere approximation, on peut supposer que cette deformation est lineaire. Cette affirmation signifie que, les coordonnees du point deplace sont donnees par des combinaisons linaires des coordonnees du point avant deformation. Par exemple, pour connaitre la nouvelle coordonnee "x", j'ai besoin de trois coefficient qui multiplient chacunes des coordonees "x", "y" et "z" du point de depart. Le nouveau "x" est la somme des trois produits ainsi formes. J'ai besoin de meme de trois coefficients pour calculer la nouvelle coordonee "y", et encore trois autres pour "z". En tout, neuf coefficients. Le tenseur des deformations est donc, en chaque point du solide, un ensemble de 9 coefficients. On peut arranger les calculs sous forme de tableau, et alors on appelle simplement ce tenseur une "matrice". Le matrices sont des tenseurs de rang (1,1).

Quelqu'un a-t-il d'autres propositions pour definir un vecteur ?
Je tiens tout particulierement a discuter des differentes definitions possibles et equivalentes de la notion de tenseur. J'espere aussi d'autres exemples, peut-etre plus elabores, illustrant cette notion de tenseur. Bien evidemment, les spineurs et twisteurs restent encore ouverts

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

pour raison de post croise, j'ai manque le debut des spineurs par Julien. Donc :

3 Le spineur
Tout d'abord, les spineurs sont des objets tres fondamentaux en mathematiques. Il apparaissent naturellement lorsque l'on essaie de classifier les differentes representations de groupes classiques. C'est Cartan qui les a definis dans ce context, au debut du siecle. C'est seulement bien plus tard que les physiciens se sont rendus compte qu'eux aussi avaient besoin des spineurs. Je crois que c'est Dirac qui a retrouve cette notion, sans connaitre les travaux de Cartan, et a introduit les spineurs pour decrire les particules fondamentales.

Et je corrige ma conclusion precedente : la notion de spineur reste encore largmenent inexploree a ce stade de la discussion. Cette notion etant plus difficile, peut-etre est-il preferable de l'introduire plus doucement.

[invite9c9b9968]

Merci humanino, c'est sympa

Au sujet des vecteurs, je reconnais que pour un novice, ma définition du vecteur est bien trop mathématique. je préfère, et de loin, la tienne.

A propos des spineurs, ça m'intéresse pas mal d'avoir la définition à la Cartan. La représentation linéaire des groupes étant un domaine fascinant des maths ...

Physiquement, c'est effectivement Dirac qui a introduit les spineurs en 1930 pour résoudre l'équation suivante en mécanique quantique, où apparaît pour la première fois le concept d'antiparticule : . Les matrices de Pauli décrivant le spin apparaissent naturellement dans la description de Dirac.

[invite7ce6aa19]

J'ai une autre façon de voir ce que sont les objets mathématiques cités tels qu'ils me semblent utilisés dans tous les domaines de la physique.

1- Je part de la définition d'un vecteur tel que définit par les mathématiciens.

2- je défini un tenseur comme un vecteur muni de propriétés spéciales vis a vis des changements de base. On note qu'avec cette définition un tenseur est une notion moins générale qu'un vecteur.

3- quand on classe les tenseurs par leur rang, il s'agit de les classer selon leur comportement par changement de base. On notera que selon ma définition (dans un espace de dimension 3) un tenseur de rang 2 est un vecteur a 9 composantes, un tenseur de rang 1 est un vecteur et un tenseur de rang 0 est un vecteur.

4- En physique les groupes joue un role très important. En MQ un Hamiltonien agit dans un espace de Hilbert. L'hamiltonien commute avec tous éléments d'un groupe (ce qui défini le groupe de l'hamiltonien). On est donc amené a représenter les élements d'un groupe par des matrices dans un espace de Hilbert. Tout ca amène a classer les vecteurs et les opérateurs selon leur comportement vis a vis des opérations de groupes. On introduit ainsi la notion de représentation irréductible, d'opérateurs tensoriels irréductibles etc...

Un exemple: Un tenseur de rang 2 (comme une contrainte mécanique) définit sur l'espace Euclidien.Quand on veut construire un hamiltonien (un scalaire) On effectue des produits scalaires d'opérateurs qui appartiennent aux représentations irréductibles du groupe (par exemple O(3). Dans ce cas la contrainte mécanique vecteur a 9 composantes se décompose selon les représentations irréductibles du groupe.
Cet exemple simple montre qu'un même objet mathématique, la contrainte peut être classé de 2 manières différentes, selon qu'il agit dans l'espace Euclidien ou dans l'espace de Hilbert.

4- Le concept de spineur (bi-spineur) est un vecteur a 4 composantes définit par le groupe de lorentz.

5- J'imagine que le twistor est vecteur de l'espace projectif complexe construit sur Minskowski.

Je serais tenté de dire que que le twistor est a l'espace projectif ce qu'est le bispineur a l'espace Minskowki. Dans les 2 cas il s'agit de bien exploiter l'invariance du cone de lumière dans les transformations de Lorentz. Tout est affaire de représentation

[invite9c9b9968]

Salut Mariposa,

D'un point de vue mathématique, ta définition du tenseur me gène beaucoup ; un vecteur n'a pas de "propriété spéciale" vis-à-vis des changements de base, et peut avoir neuf composantes sans être un tenseur.

Je me doute que tu sais de quoi tu parles, mais je pense que pour quelqu'un qui ne connaît pas trop les définitions exactes derrières les termes vecteurs/tenseurs, cela peut embrouiller les choses.

Julien

[invite7ce6aa19]

Salut Mariposa,

D'un point de vue mathématique, ta définition du tenseur me gène beaucoup ; un vecteur n'a pas de "propriété spéciale" vis-à-vis des changements de base, et peut avoir neuf composantes sans être un tenseur.
Julien

Tout a fait d'accord (problême de dialogue). j'ai bien dit que si un vecteur possède des propriétés spéciales (dans un changement de base) alors on peut introduire la notion de tenseur. Et donc comme tu le dis un vecteur peut avoir 9 composantes sans être pour autant un tenseur. Pour voir si c'est un tenseur il faut effectuer des changements de base et comparer son comportement avec celui de la base.

[invite9c9b9968]

Ok.

Alors dans ce cas je propose que l'on écrive les lois de changements de base spécifiques à chacun des objets donnés.

Julien

[invite7ce6aa19]

Ok.

Alors dans ce cas je propose que l'on écrive les lois de changements de base spécifiques à chacun des objets donnés.

Julien

C'est une très bonne idée. Pour ma part je ne sais pas me servir de latex, donc je ne pourrais que réagir a ce que tu écrits (et d'autres). Pour ce qui est des spineurs ca va être difficile. Quant aux twistors je suis 100% demandeur et j'espère qu'il y aura des interventions de gens qualifiés.

apparté: je part dans une petite heure et je reviens dimanche soir