Chute sur la terre, "limite" de pesanteur

[invitef4d87d3d]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question qui me trotte dans la tête depuis quelques jours...
Tout d'abord lorsqu'on parle d'apesanteur, il me semble que la terre n'arrête pas d'exercer sa force de gravité car dans la formule, la force dépend de r mais il n'y a pas de limite. Donc à partir d'une certaine distance c'est bien que la force d'attraction de la terre par rapport à celle du soleil ne sera plus suffisante pour attirer le corps vers elle??

Si cela est juste ma question est la suivante, à partir de quelle distance, si on "lâche" un corps sans vitesse, est-ce que ce corps se mettre à "tomber" sur la terre?

Si on peut déterminer cette distance, est-ce que l'on peut alors aussi déterminer le temps que cet objet mettrait pour tomber de cette distance sur la terre (en intégrant sur la distance R).


Mon raisonnement ne tient peut-être pas la route mais j'espère que vous comprendrez mes questions...

merci!!
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[f6bes]

Bjr à toi et beinvenue sur FUTURA,
Apparemment la gravitation irait à l'infini,
SAUF que les corps célestes capables de "gravitation" ...il y en a beaucoup.
Donc on passe d'un champ de gravitation à un autre plus important qui prédomine.

Le soleil à 150 millions de kms de la terre exerce sur celle çi son champ gravitationnel.
Mais tu n'es guére "attiré" par le soleil malgré cela !!!
C'est la Terre qui prédomine pour toi .
Faut donc voir la "position" des prédominants à différentes distances de la Terre.
La distance entre les différentes planétes (gravité) n'est pas fixe.
A+

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Comme l'a dit F6bes, l'attraction de la terre s'étend à l'infini.
Si la terre était seule dans l'univers un objet abandonné très loin se mettrait à tomber vers la terre. Et si la vitesse initiale par rapport à la terre était nulle, alors l'objet tomerait sur la terre.
On peut effectivement calculer le temps que prendrait l'objet pour tomber d'une distance un peu plus petite que l'infini. Mais le calcul conduit à une intégrale peu sympathique.
Au revoir.

[invite88ef51f0]

Salut,
Ce qu'on appelle l'apesanteur est un état de chute libre, pour lequel la force centrifuge compense la gravitation. Mais la force de gravitation ne s'annule pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb890a5ee]

... Donc à partir d'une certaine distance c'est bien que la force d'attraction de la terre par rapport à celle du soleil ne sera plus suffisante pour attirer le corps vers elle ??

Bonjour Eureka67,

Effectivement si un corps est suffisamment éloigné de la Terre, hors de sa sphère d’influence gravitationnelle, il va tomber sur le Soleil et non plus sur Terre.

La sphère d'influence gravitationnelle de la Terre a un rayon moyen de 926 000 km. Au delà, on passe sous l’influence gravitationnelle du Soleil. En fait, cette sphère d'influence a plutôt une forme de poire ou d'oeuf !?

Tout corps dans l'espace qui n'a pas une vitesse initiale suffisante pour se mettre en orbite va finir par s'écraser sur le corps attractif central avec une trajectoire elliptique dont l’apogée est le point où tu as laché ton objet et dont le foyer est le centre du corps attractif.

La vitesse minimale pour se mettre en orbite circulaire autour de la Terre, appelée première vitesse cosmique, est de 7,8 Km/s en orbite basse. En deça de cette vitesse c'est un vol balistique.

La vitesse minimale pour orbiter autour du Soleil à une distance de 1 UA est d’environ 30 Km/s. C’est heureusement ce que la Terre a eu la bonne idée de faire !

Bintang

[invité576543]

Mais le calcul conduit à une intégrale peu sympathique.

la troisième loi de Képler, non? Distance originale= demi-grand axe, temps de chute = 1/4 de la période, par symétrie, et en négligeant le rayon terrestre.

Non?

Cordialement,

[invité576543]

Tout corps dans l'espace qui n'a pas une vitesse initiale suffisante pour se mettre en orbite va finir par s'écraser sur le corps attractif

Pas exactement. Tout corps va suivre une orbite déterminée par ses point et vitesse initiales. Il s'écrase sur le corps si et seulement si cette orbite intersecte le corps.

central avec une trajectoire elliptique

On peut s'écraser sur le corps avec une trajectoire hyperbolique tout aussi bien.

La vitesse minimale pour orbiter autour du Soleil à une distance de 1 UA est d’environ 30 Km/s.

Pour orbiter "circulairement", oui. Pour d'autres orbites, c'est plus compliqué.

Cordialement,

[invité576543]

Mais tu n'es guére "attiré" par le soleil malgré cela !!!

on peut chiffrer facilement l'accélération solaire que nous subissons, par , avec et , d'où 0.006 m/s²

C'est la Terre qui prédomine pour toi .

Clairement!

Cordialement,

[inviteb890a5ee]

Bonjour Michel,

Oui, je suis bien d'accord avec tes remarques, mon propos était peut etre un peu trop simplificateur.

La forme de la conique et donc le sort de l'objet dépend effectivement des conditions initiales d'injection, distance et vitesse initiale ...

Bintang

[invite80fcb52e]

la troisième loi de Képler, non? Distance originale= demi-grand axe, temps de chute = 1/4 de la période, par symétrie, et en négligeant le rayon terrestre.

Non?

Cordialement,

Je pense pas non.

Si j'ai bien résolu l'intégrale, je trouve que sans vitesse initiale et à la distance de la Terre (1 ua), on mets environ 27 jours pour arriver sur le soleil.

[invité576543]

Je pense pas non.

En réfléchissant un peu mieux, je trouve mon approche effectivement erronée.

Nouvelle tentative, qui ne donne pas le 1/13.5 que tu trouves (par rapport à l'orbite circulaire)

Si on fait tendre l'ellipse vers le cas dégénéré, le Soleil occupe un foyer, c'est à dire une extrémité. Le demi-grand axe est donc la moitié de la distance, et le temps de chute la moitié de la période.

La troisième loi de Képler donne une période en 2^-3/2, d'où le facteur 2^-5/2 de la période circulaire, soit 1/5.65

Où est l'erreur?

Cordialement,

[invitef4d87d3d]

Ok tout d'abord merci à tous pour vos réponses.

Du coup j'ai moi même essayé de trouver la formule pour calculer ce temps pour "tomber" sur la terre.

Au début j'étais parti de la formule h=1/2*g*t^2 où j'ai isolé t pour trouver v=racine(2*g*h)
Ensuite je voulais intégrer sur la distance que vous m'avez donné plus haut (sphère d'influence gravitationnelle).

Mais au fait je me suis rendu compte que g lui-même ne devait plus être considéré comme étant constant sur des distances telles...

Bref je tourne un peu en rond, quelqu'un pourrait-il me donner des pistes de calculs?

Grazie a tutti!

[invite80fcb52e]

En réfléchissant un peu mieux, je trouve mon approche effectivement erronée.

Nouvelle tentative, qui ne donne pas le 1/13.5 que tu trouves (par rapport à l'orbite circulaire)

Si on fait tendre l'ellipse vers le cas dégénéré, le Soleil occupe un foyer, c'est à dire une extrémité. Le demi-grand axe est donc la moitié de la distance, et le temps de chute la moitié de la période.

La troisième loi de Képler donne une période en 2^-3/2, d'où le facteur 2^-5/2 de la période circulaire, soit 1/5.65

Où est l'erreur?

Cordialement,

Cette approche est intéressante!! Elle me paraît pourtant juste...

Alors je sais pas si mon résultat est bon mais voici comment j'ai fait:

Je pars de:



Je multiplie par dr/dt:



J'intègre:



Notons qu'on retrouve la vitesse de chute libre en passant par la conservation de l'énergie.

En prenant la racine on prend la solution "-" (faut regarder avec les vecteurs, là je suis en projeté, ça se voit pas)

Donc:



C'est à dire:

(le "-" vient du fait que quand t augmente r diminue)

En intégrant:

avec r_i et r_f les distances initiale et finale.

Donc:

si r_f << r_i.

Demain je teste le problème numériquement

En plus cette question m'intéressait il y a quelques mois, je voulais calculé le temps que mettrait 2 individus "amoureux" (seuls dans l'univers) à se rencontrer par attraction gravitationnelle...

[invite60be3959]

Je pars de:



...

on peut en effet utiliser cette équation lorsque la masse du corps attracteur est très supérieure à celle du corps attiré, mais si les masses sont du même ordre de grandeur(comme le cas de tes "amoureux") alors là il faut se taper le problème à 2 corps et l'intégrale n'est plus sympathique du tout (problème déjà résolu sur ce forum), comme l'a précisé LPFR.

[invité576543]

si r_f << r_i.

La période pour l'orbite circulaire de rayon r est



D'où le rapport , environ 13.3 ce qui correspond à ton message précédent.

Mon approche avec Képler ne fait pas apparaître de facteur . Bizarre...

A creuser... Ce serait quand même bizarre que la 3ème loi de Képler ne s'applique pas pour les excentricités très élevées?

Cordialement,

[invite6dffde4c]

A creuser... Ce serait quand même bizarre que la 3ème loi de Képler ne s'applique pas pour les excentricités très élevées?

Cordialement,

Bonjour.
Je n'ai vu de démonstrations que pour des orbites circulaires.
Il n'y a pas de contradiction. Les lois de Kepler sont des "lois" expérimentales qui s'appliquent à nos planètes. Et nos planètes ont des orbites avec des "petites" excentricités. La plus grande est celle de Pluton (0,2488), qui n'était pas connu à l'époque. Puis il y a Mercure avec 0,2 et Mars avec 0,09.
Cordialement,

[invite80fcb52e]

Bonjour.
Je n'ai vu de démonstrations que pour des orbites circulaires.
Il n'y a pas de contradiction. Les lois de Kepler sont des "lois" expérimentales qui s'appliquent à nos planètes. Et nos planètes ont des orbites avec des "petites" excentricités. La plus grande est celle de Pluton (0,2488), qui n'était pas connu à l'époque. Puis il y a Mercure avec 0,2 et Mars avec 0,09.
Cordialement,

Non, les lois de Kepler marchent pour les ellipses aussi, et ce ne sont pas des lois expérimentales mais le résultat de la résolution du problème à deux corps!! Tu n'as vu la démonstration que pour des orbites circulaires parce qu'elle est triviale, mais tu peux aussi la voir pour des orbites elliptiques, c'est juste plus compliqué!!

D'ailleurs je viens de résoudre le problème numériquement et je trouve 64 jours et quelques, ce qui confirme la méthode de michel (mmy) car 365/2^5/2 = 64,6 jours.
Les lois de Kepler sont indiscutables lol...

J'aimerais savoir où ma méthode coince... peut-être dans les conditions aux limites, la constante d'intégration je la suppose nulle car v=0 à r infini.

[invite6dffde4c]

Non, les lois de Kepler marchent pour les ellipses aussi, et ce ne sont pas des lois expérimentales mais le résultat de la résolution du problème à deux corps!!

Re.
Non.
Kepler n'a pas énoncé ses lois comme le résultat de la résolution du problème de deux corps. C'est le résultat des ses observations et de ses tâtonnements.

Ce n'est que bien après que Newton à énoncé ses lois et qu'il a démontré les "lois" de Kepler.

J'ai trouvé la démonstration pour des orbites elliptiques.
A+

[invite1acecc80]

Bonsoir,

Re.
Non.
Kepler n'a pas énoncé ses lois comme le résultat de la résolution du problème de deux corps. C'est le résultat des ses observations et de ses tâtonnements.

Ce n'est que bien après que Newton à énoncé ses lois et qu'il a démontré les "lois" de Kepler.

J'ai trouvé la démonstration pour des orbites elliptiques.
A+

Historiquement, je suis d'accord.

J'ai même envie d'aller plus loin en disant que les lois de Kepler se retrouvent seulement avec des lois de conversation ou avec des intégrales premières du mouvement ( moment cinétique total conservé, et si force centrale, projection du moment cinétique total normal au plan de trajectoire conservé).
Au final, on aurait même pas besoin des lois de Newton...

Me tromperais-je?

A plus.

[invite6dffde4c]

Au final, on aurait même pas besoin des lois de Newton...

Me tromperais-je?

Re.
Je ne pense pas que les lois de Kepler permettraient de retrouver les lois de Newton.
Par exemple, la loi des ares est valable pour toute force centrale, même si elle n'est pas proportionnelle à 1/r².
Dan un bouquin d'histoire de la physique, j'ai la démonstration de Newton de la loi des ares. C'est d'une beauté et d'une simplicité newtonienne. La démonstration est purement géométrique. Il n'y a pas une seule équation.
Cordialement,

[invite80fcb52e]

Re.
Non.
Kepler n'a pas énoncé ses lois comme le résultat de la résolution du problème de deux corps. C'est le résultat des ses observations et de ses tâtonnements.

Ce n'est que bien après que Newton à énoncé ses lois et qu'il a démontré les "lois" de Kepler.

J'ai trouvé la démonstration pour des orbites elliptiques.
A+

Je parlais des lois de Kepler, pas de Kepler... Ca n'empèche pas qu'on peut démontrer la 3ème de Kepler de façon analytique pour n'importe quelle orbite (ellipse ou cercle) et que ce n'est pas juste "observationnel" comme ça l'a été pour Kepler!!

[invite6dffde4c]

Je parlais des lois de Kepler, pas de Kepler... Ca n'empèche pas qu'on peut démontrer la 3ème de Kepler de façon analytique pour n'importe quelle orbite (ellipse ou cercle) et que ce n'est pas juste "observationnel" comme ça l'a été pour Kepler!!

Re.
Je pense que l'intérêt des lois de Kepler est qu'elles ont aidé Newton à énoncer les siennes.
Et, dans la mesure où les lois de Kepler sont depuis Newton une conséquence des lois de Newton, les lois de Kepler ne présentent actuellement aucun intérêt, en dehors de l'intérêt historique... et qu'elles sont un bon sujet pour faire faire des calculs aux élèves.
A+

[inviteb890a5ee]

...D'ailleurs je viens de résoudre le problème numériquement et je trouve 64 jours et quelques, ce qui confirme la méthode de michel (mmy) car 365/2^5/2 = 64,6 jours. Les lois de Kepler sont indiscutables lol...

Bonjour,

J'arrive trop tard ! Vous avez déjà résolu le problème.

De mon coté je trouvais bien aussi une valeur de l'ordre de 64 jours et quelques en appliquant Kepler. Il me restait une petite erreur sur la valeur de l'orbite terrestre que je n'arrive pas à expliquer/trouver.



Bintang

[invite1acecc80]

Re

Re.
Je ne pense pas que les lois de Kepler permettraient de retrouver les lois de Newton.
Par exemple, la loi des ares est valable pour toute force centrale, même si elle n'est pas proportionnelle à 1/r².
Dan un bouquin d'histoire de la physique, j'ai la démonstration de Newton de la loi des ares. C'est d'une beauté et d'une simplicité newtonienne. La démonstration est purement géométrique. Il n'y a pas une seule équation.
Cordialement,

Je ne parlais pas des lois de Newton, mais des lois de Kepler.
Je disais juste qu'il n'est guère utile de développer le problème à 2 corps par la dynamique newtonienne. La loi des aires se retrouve par exemple avec des intégrales premières du mouvement (ou des lois de conservations).

A plus.

[invite1acecc80]

Re,

@LPFR,

Par contre je sais qu'avec la lois des aires et le concept de hamiltonien (mécanique analytique), on peut retrouver par une loi de similitude le comportement en puissance de l'énergie potentielle de gravitation...

Par contre, comment a fait Newton, ça je n'en sais strictement rien... le coup de génie peut-être...

A plus.

[invite6dffde4c]

Par contre, comment a fait Newton, ça je n'en sais strictement rien... le coup de génie peut-être...

Re.
Sur le génie de Newton, je pense que nous sommes tous d'accord. Malheureusement on ne connaît strictement rien de sa démarche intellectuelle (peut-être qu'il était tombé sur un bouquin de physique ventant du futur ). Mais Newton connaissait les lois de la chute libre et du mouvement accéléré ainsi que la loi d'inertie par les travaux de Galilée.

Et la loi d'attraction universelle, que nous trouvons raisonnable, posait des problèmes philosophiques insurmontables à Newton, qui n'y croyait pas vraiment, mais la prenait comme une simple "hypothèse de travail". Un "modèle mathématique" comme nous dirions aujourd'hui.
Cordialement,

[invite80fcb52e]

Re


Je ne parlais pas des lois de Newton, mais des lois de Kepler.
Je disais juste qu'il n'est guère utile de développer le problème à 2 corps par la dynamique newtonienne. La loi des aires se retrouve par exemple avec des intégrales premières du mouvement (ou des lois de conservations).

A plus.

Les lois de Kepler découlent des lois de Newton........

....d'ailleurs je viens de trouver mon erreur, et j'ai réussi à retrouver la formule (t=T/2^5/2) en partant donc de l'équation de Newton...
Mon intuition était bonne, la constante d'intégration que j'ai supposée nulle ne l'est pas. Dès que j'ai le temps (faut que je bosse un peu quand même) je mets la démo!!

[invite1acecc80]

Re

Les lois de Kepler découlent des lois de Newton........

....d'ailleurs je viens de trouver mon erreur, et j'ai réussi à retrouver la formule (t=T/2^5/2) en partant donc de l'équation de Newton...
Mon intuition était bonne, la constante d'intégration que j'ai supposée nulle ne l'est pas. Dès que j'ai le temps (faut que je bosse un peu quand même) je mets la démo!!

Les intégrales première du mouvement ou lois de conservation sont bien plus générales que les lois de Newton.
Les lois de Kepler sont des "lois" de conservations...

A plus.

[invite6dffde4c]

Re


Les intégrales première du mouvement ou lois de conservation sont bien plus générales que les lois de Newton.
Les lois de Kepler sont des "lois" de conservations...

A plus.

Re.
Pour les lois de mouvement je suis d'accord. Ce n'est que des maths.
Je ne sais pas des quelle lois de conservation vous parlez.
Si ce sont les lois de conservation des moments de toute sorte, non. Elles se déduisent des lois de Newton. Et la conservation de l'énergie est un postulat, même si pour l'énergie mécanique on peut démontrer pas mal de conservations à partir de la définition d'énergie et des lois de Newton.
Cordialement,

[invite80fcb52e]

Re.
Pour les lois de mouvement je suis d'accord. Ce n'est que des maths.
Je ne sais pas des quelle lois de conservation vous parlez.
Si ce sont les lois de conservation des moments de toute sorte, non. Elles se déduisent des lois de Newton. Et la conservation de l'énergie est un postulat, même si pour l'énergie mécanique on peut démontrer pas mal de conservations à partir de la définition d'énergie et des lois de Newton.
Cordialement,

Conservation du moment angulaire => lois de kepler
L'énergie est une intégrale première du mouvement donc constante, tout comme le moment cinétique. Un postulat, je crois pas?!

Re


Les intégrales première du mouvement ou lois de conservation sont bien plus générales que les lois de Newton.
Les lois de Kepler sont des "lois" de conservations...

A plus.

Beh j'aimerais bien que tu me retrouves les équations de Newton en partant des intégrales premières du mouvement?!?!