Mesure de grandeur en MécaQ

[invite7545251678]

Bonjour,

Un postulat de la mécanique quantique stipule que lorsqu'on mesure une grandeur, la valeur obtenue est forcément une valeur propre de l'opérateur associé à cette grandeur.
Logiquement, j'en déduis que la mesure force la particule a être dans un état décrit par une fonction propre.
Cependant, je viens de lire ceci :
"ce postulat n'impose rien sur la fonction d'onde. Peu importe celle-ci, le seul résultat de la mesure de A est une des valeurs propres de l'opérateur associé.
Si n'est pas une fonction propre de l'opérateur que l'on mesure, on obtient une distribution de résultats dont chacun correspond à une valeur propre.
On peut toujours écrire une fonction d'onde comme une combinaison linéaire de fonctions propres de n'importe quel opérateur.
Si on effectue une mesure d'un système décrit par une telle fonction d'onde, le résultat sera une valeur propre d'une des fonctions propres de la combinaison linéaire (on ne sait pas laquelle)."

Cela veut-il dire que n'importe quel état (propre ou pas) de la particule peut être une combinaison linéaire de fonctions propres ?

Dans ce cas, ma déduction logique serait fausse : la mesure ne plonge pas forcément la particule dans un état propre.

D'autre part, comment peut-on obtenir une distribution de résultats alors qu'on ne fait qu'une mesure... ?

Merci pour votre aide.
-----

[invite7545251678]

Je remonte le message. Au cas où...

[invite88ef51f0]

Salut,
La mesure met bien la fonction d'onde dans un état propre de l'opérateur mais c'est un autre postulat qui le dit.

[inviteb836950d]

...Dans ce cas, ma déduction logique serait fausse : la mesure ne plonge pas forcément la particule dans un état propre.

Si...
si tu effectues une nouvelle mesure de l'observable A, tu obtiendras la même valeur propre a_n que lors de la première mesure qui a mis le système dans l'état propre |n>

D'autre part, comment peut-on obtenir une distribution de résultats alors qu'on ne fait qu'une mesure... ?

Heu...
je ne suis pas sûr de bien comprendre.
si tu jettes une fois un dé, tu ne vas pas obtenir une distribution, ça c'est sûr
mais rien ne t'empêche de renouveler la manip...


croisement...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

mais rien ne t'empêche de renouveler la manip...

Renouveler la manip pose problème car la mesure change le système. Il faut plutôt imaginer un grand nombre de systèmes tous préparés dans le même état quantique et sur chacun desquels tu fais la mesure.

[inviteb836950d]

Renouveler la manip pose problème car la mesure change le système. Il faut plutôt imaginer un grand nombre de systèmes tous préparés dans le même état quantique et sur chacun desquels tu fais la mesure.

Oui, c'est plutôt à ça que je pensais.

[invite7545251678]

Merci pour cet éclaircissement.
Mais dans ce cas, je ne comprends pas ce qu'à voulu dire le prof sur cette partie :
"Si psy n'est pas une fonction propre de l'opérateur que l'on mesure, on obtient une distribution de résultats dont chacun correspond à une valeur propre.
On peut toujours écrire une fonction d'onde comme une combinaison linéaire de fonctions propres de n'importe quel opérateur.
Si on effectue une mesure d'un système décrit par une telle fonction d'onde, le résultat sera une valeur propre d'une des fonctions propres de la combinaison linéaire (on ne sait pas laquelle)."

[invite88ef51f0]

Si tu as un espace à deux dimensions et que les états propres sont |1> et |2>, un état quelconque va généralement s'écrire a.|1>+b.|2>. Si tu mesures ça, tu obtiendras ensuite parfois |1>, parfois |2>.

[invite7ce6aa19]

Merci pour cet éclaircissement.
Mais dans ce cas, je ne comprends pas ce qu'à voulu dire le prof sur cette partie :
"Si psy n'est pas une fonction propre de l'opérateur que l'on mesure, on obtient une distribution de résultats dont chacun correspond à une valeur propre.
On peut toujours écrire une fonction d'onde comme une combinaison linéaire de fonctions propres de n'importe quel opérateur.
Si on effectue une mesure d'un système décrit par une telle fonction d'onde, le résultat sera une valeur propre d'une des fonctions propres de la combinaison linéaire (on ne sait pas laquelle)."

Bonjour,


L'état d'un système est représente par un vecteur d'un espace de Hilbert. Soit |Fi> cet état.


bien entendu on peut représenter cet état dans n'importe qu'elle base orthornormées ous la forme:

|Fi> = a.|1> + b.|2>

où a et b dépendent de la base

pour 2 dimensions

supposons que l'on choisisse comme base les vecteurs propres d'un opérateur M associé à la mesure de m

Ona:

M|m1> = m1|m1>

M|m2> = m2|m2>

Dans cette base |Fi> s'écrit:

|Fi> = a.|m1> + b.|m2>


L'axiomatique de la mesure dit que si on effectue une mesure on a 2 résultats possibles:

Soit |Fi> devient |m1> avec une probabilité |a|2 et on relève la valeur m1

Soit |Fi> devient |m2> avec une probabilité |a|2 et on relève la valeur |m2>

Autrement dit la mesure projette |Fi> au hasard sur |m1> ou |m2>


Si le résultat est |m1>, une seconde mesure va donner avec certitude la valeur m1 puisque l'on est dans un vecteur propre de M.

En pratique on est très rarement confronté au problème de la mesure en MQ. on mesure seulement des valeurs moyennes

On a donc:

<m> = m1.P(m1) + m2.P(m2) = m1.|a|2 +m2.|b|2

qui s'écrit encore

<m> = <Fi|M|Fi>

Qui est indépendant de la base de représentations de |Fi>


Remarque: En MQ un objet comme |Fi> représente un ensemble statistique de systèmes identiques et non pas un seul objet. Cela résulte du caractère aléatoire de la mesure.


Ps: curieux croisement avec concoin si on regarde la coïncidence des notations.

[invite7545251678]

Merci bien pour ces explications.
Prenons un exemple (presque) concret pour voir si j'ai bien compris :

Avec mes petites mains, j'ai réussi à attraper un atome d'hydrogène et je veux mesurer l'énergie de son électron (comment ça, c'est pas concret ? )

Si l'électron est dans l'orbitale 1s, donc dans l'état |1s>, je suis sûr de mesurer l'énergie correspondante E1s, valeur propre de l'hamiltonien pour cet état.

Si l'électron est dans l'orbitale 2s, je vais mesurer E2s.

Mais, en fait, d'après ce que je comprends, rien n'empêche l'électron d'être ailleurs que dans ces orbitales.
Il pourrait être par exemple dans un état |Fi> combinaison linéaire de 1s et 2s et avec une énergie intermédiaire entre E1s et E2s.

Quand on va mesurer cette énergie, on va en quelque sorte remettre l'électron, soit dans une OA 1s, soit dans une OA 2s.

Par contre, dans ce raisonnement, ce qui me chiffonne, c'est qu'on nous a toujours dit que l'énergie de l'électron est quantifiée : en fait, ce ne serait pas vrai si on laisse l'électron tranquille.

C'est bien ça ?

[invite88ef51f0]

Il pourrait être par exemple dans un état |Fi> combinaison linéaire de 1s et 2s et avec une énergie intermédiaire entre E1s et E2s.

Non ! Si tu as une combinaison linéaire d'états propres, il n'a pas une énergie intermédiaire. Il n'a même pas d'énergie !
Si tu veux connaître l'énergie de ton système, il faut que tu prennes ton opérateur énergie (l'hamiltonien) et que tu l'appliques et là, paf, ça te donne E1s. Donc tu diras "j'ai mesuré l'énergie, c'est E1s"... et ton voisin te dira "ben non, j'ai fait exactement la même chose et j'ai obtenu E2s".

Parler de l'énergie de ton système sans faire appel à une mesure n'a pas de sens en mécanique quantique.

[invite7ce6aa19]

Merci bien pour ces explications.
Prenons un exemple (presque) concret pour voir si j'ai bien compris :

Avec mes petites mains, j'ai réussi à attraper un atome d'hydrogène et je veux mesurer l'énergie de son électron (comment ça, c'est pas concret ? )

Si l'électron est dans l'orbitale 1s, donc dans l'état |1s>, je suis sûr de mesurer l'énergie correspondante E1s, valeur propre de l'hamiltonien pour cet état.

Si l'électron est dans l'orbitale 2s, je vais mesurer E2s.

En fait on ne mesure pas l'énergie d'un électron mais une différence d'énergie E1s - E2s. En plus il faut savoir que les principes de la MQ ne définissent pas ce qu'est un appareil de mesure.

Mais, en fait, d'après ce que je comprends, rien n'empêche l'électron d'être ailleurs que dans ces orbitales.
Il pourrait être par exemple dans un état |Fi> combinaison linéaire de 1s et 2s et avec une énergie intermédiaire entre E1s et E2s.

Dans les principes c'est çà. L'énergie n'est pas définie et une mesure d'énergie donnerait E1s ou E2s

Quand on va mesurer cette énergie, on va en quelque sorte remettre l'électron, soit dans une OA 1s, soit dans une OA 2s.

Oui

Par contre, dans ce raisonnement, ce qui me chiffonne, c'est qu'on nous a toujours dit que l'énergie de l'électron est quantifiée : en fait, ce ne serait pas vrai si on laisse l'électron tranquille.

C'est bien ça ?

Un système "isolé" est dans un état propre de l'hamiltonien H et a donc une énergie quantifiée. Réciproquement si le système est en interaction et que son hamiltonien dépend du temps alors son énergie est indéterminée

[invite7545251678]

En fait on ne mesure pas l'énergie d'un électron mais une différence d'énergie E1s - E2s. En plus il faut savoir que les principes de la MQ ne définissent pas ce qu'est un appareil de mesure.

Mince, là ça se complique...

Un système "isolé" est dans un état propre de l'hamiltonien H et a donc une énergie quantifiée. Réciproquement si le système est en interaction et que son hamiltonien dépend du temps alors son énergie est indéterminée

Le système en question dans mon exemple, c'est bien l'électron ? dans ce cas, son hamiltonien dépend du temps, et ne devrait pas avoir une énergie quantifiée, non ?

..........

[invite7545251678]

Parler de l'énergie de ton système sans faire appel à une mesure n'a pas de sens en mécanique quantique.

on vit une drôle d'époque