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Le repère de Frenet




  1. #1
    kron

    Le repère de Frenet

    Bonjour !
    Le bac de physique approche, et une question se profile à l'horizon...
    Dans le cadre des lois de Kepler simplifiées (en assimilant les orbites à des cercles) en Terminale S on a appris ce qu'était un repère de Frenet, mais aucune indication quant à son utilité, ses applications.
    Est-ce que vous pouvez m'aider à éclaircir un peu ?
    Merci d'avance.

    Cordialement,

    Kron

    -----

    Life is music !

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  3. #2
    Alload

    Re : Le repère de Frenet

    Ca sert pour tous les mouvements plans, surtout dans des champs électromagnétiques statiques en terminale en fait et pour des mouvements circulaires.

  4. #3
    kron

    Re : Le repère de Frenet

    Euh... oui merci, mais concrètement ?
    Je m'explique. En cours mon professeur s'est contentée de nous décrire le principe du repère. Et après, rien. Niet. Nichts. Pas même un exo pour nous montrer l'interêt.
    J'aimerais donc savoir dans quelle mesure ce repère nous est utile ? Quand ? Comment ?

    Merci.

    Kron
    Life is music !


  5. #4
    BioBen

    Re : Le repère de Frenet

    http://forums.futura-sciences.com/thread36492.html
    Message 3 deJulien.

    Bah concrêtement ca sert juste à te simplfieir les calculs quand tu te mets dans cette base là poru étudier certains mouvements. C'est pour ca qu'on a inventé les coorodonées polaires, cylindriques, sphériques en plus des cartésiennes : certains types d'exos se resolvent en quelques ligne dans un repère et sont bien plus long dans un autre, mais bon tu arrives toujuours au même résultat t'inquiete.

    Bah ca sert dès que tu as une trajectoire [localement] ciculaire.
    Par exemple si tu veux étudier un manège qui fait un looping bah tu peux determiner plein de trucs et notamment comment faire pour que les passagers ne tombent pas quand ils ont la tête en bas.

  6. #5
    planck

    Re : Le repère de Frenet

    dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, on sait que l'accéleration est centripète: radiale et dirigée vers le centre, et qu'elle a pour valeur v^2/r, avec r rayon de la trajectoire.

    en établissant l'accéleration dans le cas d'une planète (2e loi de newton et force de gravitation) il t'es possible de determiner la vitesse puisque tu dis que l'acceleration vaut v^2/r.

    et tu peux même, par la suite, démontrer la 3e loi de kepler (T^2/a^3=cste)

    voilà ce à quoi sert, en terminale, frénet....

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    baryon

    Re : Le repère de Frenet

    Notre prof nous a expliqué un peu l'intérêt de la base de frenet: au niveau mathématique lorsque tu veux étudier les variation d'une courbe tu remplace cette courbe localement par sa tangente (tu dérive quoi!). Et Frenet lui remplace la courbe localement par un cercle, ce cercle est tangent à la courbe. Et pour beaucoup de situation ça peut te simplifier la vie de trvailler sur ce cercle, y a cas essayer démontrer que les mouvement sont circulaire sans Frenet pour s'en rendre compte.
    Vous allez me corriger si je me trompe, c'est ça qu'on appelle le cercle interpolateur non? (je me rappelle d'un bouqin de math tout à coup qui en parlait, et ça me fait penser à la base de Frenet)
    Le chemin le plus court d'un point à un autre c'est de ne pas y aller.

  9. #7
    baryon

    Re : Le repère de Frenet

    Citation Envoyé par planck
    et tu peux même, par la suite, démontrer la 3e loi de kepler (T^2/a^3=cste)
    Comment tu fais??
    Le chemin le plus court d'un point à un autre c'est de ne pas y aller.

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  11. #8
    BioBen

    Re : Le repère de Frenet

    cercle interpolateur
    Moi j'ai que entendu parler du plan osculateur ...

    Comment tu fais??
    En Terminale si je me rappelle bien faut un peu bidouiller les équations et ca sort assez vite.

  12. #9
    planck

    Re : Le repère de Frenet

    bah c'est assez rapide...

    bon aller c'est parti pour toute la démo depuis le début (ça me fera réviser en plus ) mais rapide quand même

    dans le cas d'une planete, elle est attirée par le soleil (oui, oui...), la force est .
    Ms masse soleil, Mp masse planète
    avec newton, on en déduit l'accéleration (bon d'un point de vue vectoriel, tout s'arrange bien si on fait attention...)

    donc

    le mouvement est circulaire uniforme: supposé circulaire, uniforme car le travail de la seule force considérée (attraction universelle) est toujours perpendiculaire au déplacement, donc d'après le théorème de l'énergie cinétique , donc la variation de la vitesse est nulle (pas de changement de masse )

    donc l'accélération est , et finalement
    donc

    tu as bien appris tes formules de Cm1, tu sais que le périmètre d'un cercle, c'est , donc la vitesse de la planète c'est v = distance/temps, donc ici

    on élève au carré, et on obtient:
    avec d=a (oui, démonstration pour les mouvements circulaires...)
    =cste...

    voilà! vous voyez c'était rapide! et mes premiers pas en LaTex!! (d'où le delta minuscule d'ailleurs... les majuscules, on fait ça comment?!)
    Dernière modification par planck ; 12/06/2005 à 18h15.

  13. #10
    BioBen

    Re : Le repère de Frenet

    Attention tu mélanges un peu toutes les accélrations, un coup elle est nulle ("donc la variation de la vitesse est nulle") et tout de suite après elle vaut v²/d. Attention à bien préciser de quoi tu parles !

  14. #11
    Gwyddon

    Re : Le repère de Frenet

    Le c'est avec \Delta

    Comme le dit Ben, précise bien que v'=0 parce que l'accélération est normale, donc l'accélération tangentielle dans Fresnet est nulle, et justement l'accélération tangentielle c'est
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  15. #12
    planck

    Re : Le repère de Frenet

    écoutez hein, je me comprends!!!

    (bon d'accord, c'est de la mauvaise foi je ferai plus attention la prochaine fois, promis; en même temps, j'avais prévenu que ce serait rapide!)

  16. #13
    baryon

    Re : Le repère de Frenet

    merci planck. En fait je l'avais déjà vu en cours mais je n'ai pensé à démontrer la formule de Kepler, ça me met en forme pour mercredi en tout cas.
    Bonne soirée
    Le chemin le plus court d'un point à un autre c'est de ne pas y aller.

  17. #14
    kron

    Re : Le repère de Frenet

    Waa avec tout ça, ça devient rapidement plus clair.
    Au moins je me ferai pas surprendre mercredi si par hasard ontombe dessus.
    Merci beaucoup !

    Kron
    Life is music !

  18. #15
    adrislas

    Re : Le repère de Frenet

    euh à ce propos, moi, avec ma prof qui se permet de louper 15 cours l'année, j'ai pas vu ce qu'était le repère de Fresnet ( et j'ai réussi à m'en sortir au bac de physique malgré tout ), quelqu'un connaitrait un site où c'est bien expliqué ?

  19. #16
    Sir_Alex

    Re : Le repère de Frenet

    Ma définition du repère de Frenet est la suivante :

    Soit un point mobile M décrivant une trajectoire dans un repère fixe. On appelle repère de Frenet le repère local M,t,n tel que t est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire en M dans le sens du déplacement de M et n le vecteur unitaire tel que (t,n) soit une base orthonormée directe.

  20. #17
    adrislas

    Re : Le repère de Frenet

    merci de ta réponse, j'y réfléchirai plus tard car je sors, mais dis moi, la trajectoire doit-elle être nécessairement circulaire pour parler de repère de Fresnet ?

  21. #18
    zoup1

    Re : Le repère de Frenet

    On peut définir un repère de Frenet pour une trajectoire quelconque. D'ailleurs la définition qu'en donne Sir_Alex ne parle pas de trajectoire circulaire du tout.
    Pour une trajectoire circulaire on préfère parler d'un repère radial et orthoradial qui alors coincide avec le repère de Frenet (ou presque).
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  22. #19
    adrislas

    Re : Le repère de Frenet

    oui oui, j'ai bien vu qu'il ne parlait pas de circulaire, mais c'était pour vérifier, car moi, j'ai aperçu ce mot à propos des lois de Képler. J'ai bien compris la définition, mais je ne vois pas l'intérêt pour les lois de Képler, j'ai cru voir que Planck le montrait, mais il semble qu'il ait fait des fautes. Je verrai tout ça demain

  23. #20
    planck

    Re : Le repère de Frenet

    non, la trajectoire peut être une courbe quelconque.

    seulement, localement, on assimile le petit morceau de trajectoire à un cercle, afin de pouvoir définir un rayon de courbure, qui dans le cas d'un cercle correspond au rayon. et dans la formule de l'accélération normale, c'est non le rayon du cercle, mais ce rayon de courbure qui est utilisé; dans le cas d'un mouvement rectiligne, on pourrait "voir" le centre d'un éventuel cercle à l'infini, donc le rayon de courbure, et l'accélération normale est effectivement nulle.

    en terminale, pour ne pas "compliquer" les choses, on considère uniquement une trajectoire circulaire (le repère de frenet n'est pas unqieument utilisé pour démontrer les lois de kepler!!)

    en espérant avoir été clair et juste....!

  24. #21
    adrislas

    Re : Le repère de Frenet

    d'accord planck, mais je voulais comprendre en quoi l'utilisation de Fresnet simplifie t-elle les choses, ou les fait-elle avancer. Car jusqu'ici, tout ce que je vois, c'est qu'on introduit un repère..

  25. #22
    zoup1

    Re : Le repère de Frenet

    L'utilsation d'un repère de Frenet n'est pas une simplification générale. Lorsque l'on étudie le mouvement d'un objet, on le fait en se plaçant dans un référentiel particulier et en utilisant un repère particulier lié à ce référentiel. Le choix du référentiel et du repère est arbitraire, et la physique de la chose ne dépend bien évidemment de ces choix. Cependant suivant le problème que l'on regarde il sera plus ou moins judicieux de faire tel ou tel choix.

    L'interêt du repère de Frenet est qu'il est lié à la trajectoire et est donc indépendant d'un point particulier du réferentiel que l'on pourrait choisir comme origine.
    Par exemple il permet d'exprimer simplement les vitesses et accélérations d'un objet pour un mouvement circulaire autour d'un point autre que celui qui sert d'origine à un référentiel (c'est vraiment pas terrible comme exemple mais bon)...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  26. #23
    Nautile

    Re : Le repère de Frenet

    Bonjour,
    Dans le repère de frenet la base est mobile c'est ça l'essentiel.
    Cela permet pour un mouvement complexe de parvenir sans trop de difficultés aux vecteurs vitesse et accélération intrinsèque.
    Ensuite tu peux remonter relativement facilement aux composantes radiales et tangentielles de l'accélération.
    Et le tour est joué.
    Pour mieux comprendre un lien:
    http://convergence.chez.tiscali.fr/p.../meca/cine.htm

  27. #24
    Error

    Re : Le repère de Frenet

    Je remonte le topic car j'ai une question.

    Est ce que le vecteur accélération, dans le base de Frenet, à toujours le sens et la direction du vecteur normale de la base (et donc de l'accélération normale) ?

  28. #25
    Gwyddon

    Re : Le repère de Frenet

    Bonsoir,

    Non puisque il peut se décomposer dans la base de Frenet en une accélération tangentielle et une accélération normale

    Cf les mouvements circulaires accélérés.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  29. #26
    Error

    Re : Le repère de Frenet

    Et donc ?

    Quelle autre direct et/ou sens peut avoir le vecteur accélération que ceux du vecteur normal dans la base de Frenet ?

    Car avec ce que j'avais lu, dans la base de Frenet, le vecteur accélération se décompose comme suit :

    ag = agt T + agn N
    Et
    agt = dv/dt, et agn = V²/R

    Or dans dv/dt, v est la valeur de la vitesse et on un vecteur, dont il n'y pas de direction, ou de sens, mais dans V²/R, r est le rayon de courbure et influe donc sur la direction.

    Mais il semblerait que j'ai mal compris ...

    Merci d'expliquer (quoi que bac blanc de physique demain ).

  30. #27
    Gwyddon

    Re : Le repère de Frenet

    Si , donc l'accélération n'est ni suivant T, ni suivant N, mais suivant une combinaison linéaire des deux...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  31. #28
    Loreleye

    Re : Le repère de Frenet

    Salut
    A propos de l'accélération et de la vitesse dans le cas d'un mouvement ciculaire uniforme, comment trouve-t-on la valeur de l'accélération "radiale" V²/r ? Quelle est la démonstration?
    Pour la vitesse, c'est pas trop dur vu que dans mon exo on me donne le rayon de la trajectoire circulaire et la vitesse angulaire (constante), il suffit donc de multiplier les deux!
    Mais, donc, pour l'accélération (qu'on me demande d'exprimer en fonction du vecteur unitaire normal à la trajectoire) je ne suis pas capable de démontrer la formule a(vecteur)=(-V²/r).u(vecteur) [désolée, sais pas écrire en Latex].
    Merci de m'aider un coup! (au fait, pour info, je suis en term et c'est une annale du CG de physique)

  32. #29
    Gwyddon

    Re : Le repère de Frenet

    Salut,

    Connais-tu les coordonnées sphériques ? A partir de ça on peut le démontrer.

    Je suis sûr qu'il y a aussi une autre méthode, mais c'est la seule qui me viennent à l'esprit désolé
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  33. #30
    Loreleye

    Re : Le repère de Frenet

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Connais-tu les coordonnées sphériques ? A partir de ça on peut le démontrer.
    Bof, ça ne me dit rien... C'est comme les coordonnée polaires mais en 3 dimensions en gros? Je vais fouiner dans mes livres de maths.
    La démonstration est-elle simple? Enfin, est-elle censée être connue à mon niveau? Sinon, je plaque juste la formule dans ma réponse sans la justifier, mais je ne trouve pas ça très élégant ...

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