l'origine du spin

[mariposa]

C'est un peu comme ça que je vois ça. L'inclusion du spin est essentielle à la construction de l'équation de Dirac. Dit autrement, on construit l'équation de Dirac (la meilleure description de l'électron) en lui applicant certains principes de symétries, dont ceux qui sont responsables du spin. Donc, sans le spin -> pas de relativité, mais sans relativité <- spin possible. On a un "si", mais pas un "si et seulement si".

Simon

Comme je l'ai expliqué dans mon dernier post (d'ailleurs très mal rédigé) l'invariance de rotation du Lagrangien où les variables sont des fonctions entraine la conservation d'un moment cinétique qui est composé de 2 termes: le 1ier est un moment cinétique classique, le 2ième un moment "cinétique dans l'espace des fonctions, c'est le SPIN.

Ceci est valable avec ou sans relativité.

Remarque: dans une physique a 1 dimension il n'y a plus de rotation possible donc pas de spin mais par contre la relativité tiend toujours.

Avec une petite nuance. dans une physique a 1 dimension spatiale tu as encore de la relativité mais pas de spin car pas de moment angulaire.
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[Lévesque]

Avec une petite nuance. dans une physique a 1 dimension spatiale tu as encore de la relativité mais pas de spin car pas de moment angulaire.

Je suis d'accord. Mais est-ce qu'il est possible de décrire complètement les comportements d'objets de la nature dans un espace à une dimension?

Je dois avouer que j'utilise (peut-être à tort) le mot "relativité" en relation avec l'espace à 3+1D de Minkowski.

Bien sur, on peut trouver les transformations de Lorentz dans des cas idéalisés à 1+1D, puis généraliser à 3+1D. Mais quand on traite la nature, on inclut un objet de la nature (dans cet espace). Et traiter cet objet par la relativité implique de prendre en considération toutes ses caractéristiques (donc inclure toutes les dimensions). Sinon, (par exemple) décrire un électron dans une seule dimension spatiale empècherait d'imaginer l'expérience de Stern-Gerlach. Cette théorie n'est pas, à mon sens, réaliste. Si on appelle "théorie de la relativité" cette théorie réaliste qui englobe le plus de phénomènes physiques observables (dans un espace à 3+1D), alors je ne vois pas comment la construire sans spin. C'est là mon point. (Désolé de ne pas avoir précisé plus tôt ce que j'entendais par relativité, je n'avais pas conscience qu'un problème pouvait provenir de là.)

Simon

[Lévesque]

Oui, c'est vrai. Il y a toutefois quelques nuances entre le cas de la Relativité Galiléenne et celui de la Relativité Restreinte. Cela tient au rôle différent joué par le groupe des rotations SO(3) suivant qu'il est sous-groupe du groupe de Galilée ou sous-groupe du groupe de Poincaré.

Pouvez-vous préciser la différence du rôle du groupe SO(3) suivant qu'il est sous-groupe du groupe de Galilée ou sous-groupe du groupe de Poincaré? Et cela en relation avec le spin? [Selon moi, l'un s'aplique à un objet satisfaisant l'équation de Schrôdinger, l'autre s'applique à un objet satisfaisant l'équation de Dirac. Mais le Rôle du groupe SO(3) sur chacun de ces objets me semble le même...]

J'ai l'impression (peut-être à tort) que c'est le sous-groupe SO(3) qui est responsable de l'invariance (du lagrangien) et donc de l'apparition de la propriété de spin (avec les représentations de SU(2) pour le spin demi-entier). Je ne comprends par la différence qu'il puisse y avoir si ce sous-groupe (disons associé au spin) fait partit d'un quelconque plus grand groupe (mes connaissances en théorie des groupes sont limités).

Dans le second cas, les boosts ne forment pas, à eux seuls, un sous-groupe du groupe de Poincaré. Par contre, réunis avec les rotations, les boosts Lorentziens (transformations de Lorentz dites propres) engendrent le groupe de Lorentz SO(1,3). SO(1,3) est bien, quant-à lui, un sous-groupe à 6 paramètres du groupe de Poincaré réduit SE(1,3)

Peut-être, mais le groupe SO(3) est un sous-groupe du groupe de Lorentz et donc du groupe de Poincaré. Donc, si une équation est invariante sous le groupe de Poincaré, elle est invariante sous le groupe de Lorentz et est invariante sous le groupe des rotations (et on rend compte de tous les espaces d'états associés aux rotations spatiales grâce aux représentations de SO(3) ET de SU(2)). Un Lagrangien invariant sous le groupe des rotations implique le spin. Si les boosts (transformations de Lorentz spécial ? propre ?) ne forment pas un groupe, c'est évidemment parce que deux transformations de Lorentz spéciales impliquent nécessairement une rotation (qui n'est pas une transformation de Lorentz -> relation de fermeture), on a qu'à regarder les relations de commutations des générateurs du groupe de Lorentz. Pour satisfaire la relation de fermeture, on doit inclure le groupe des rotations.

La discussion ne porte pas sur la topologie de l'espace-temps, mais sur la topologie du groupe des rotations SO(3) (et encore, uniquement dans le cas quantique où le spin peut être demi entier).

À mon sens, la topologie consiste à étudier les propriétés invariantes des espaces et des fonctions suite à une transformation. À mon sens, on ne dit pas "topologie d'un groupe", mais "topologies d'un espace" (on d'une fonction). Peut-être que je me trompe, clarifiez mes idées si c'est le cas.

Vous faisiez référence à mon paragraphe:

Les symétries responsables du spin sont, me semble-t-il, autant présente en relativité (restreinte) qu'en classique (relativité galiléenne). Les même topologies de l'espace, me semble-til, se retrouve dans les deux cas.

Il est évident (pour moi et j'espère pour d'autres) si on lit le paragraphe en entier, que je parle des "topologies de l'espace associées au spin" (le groupe SU(2) pour le spin 1/2). Donc, je crois correct (c'est ce qu'il faudrait démontrer) de dire que les topologies (responsables du spin) de l'espace euclidien se retrouvent (et sont identiques) aussi dans l'espace minkowskien.

Il s’agit au contraire de la topologie
* du groupe de Lorentz SO(1,3) intervenant en Relativité Restreinte et de son revêtement universel SL(2,C). Les deux représentations irréductibles inéquivalentes de dimension 2 de SL(2,C) donnent lieu aux bispineurs de Dirac.
* du groupe des rotations SO(3) intervenant en Relativité de Galilée et de son revêtement universel SU(2). La représentation unitaire irréductible de dimension 2 de SO(3) donne lieu aux spineurs

En mon sens, la topologie de l'espace est le groupe de transformations qui le laisse invariant. [La topologie d'un groupe correspondrait à l'ensemble des transformation qu'on ferait subir au groupe pour qu'il reste invariant. C'est ce que vous voulez dire? Si oui, j'aimerais avoir plus de détails sur le type de transformation que vous faites au groupe entier. J'avoue ne pas comprendre ce que vous voulez dire. Selon ma compréhension du cours d'introduction aux particules élémentaires, les objets sont créés avant tout comme des invariants sous certain groupes. Une particule est n'importe quoi qui reste invariant sous l'action d'un groupe. Je suis très ouvert à des précisions sur ce sujet si je fais erreur.]

La topologie de SO(3) est la même que celle du projectif P^3. Le revêtement universel SU(2) de SO(3) est quant à lui homéomorphe à la sphère S^3. J'ai donné une idée de la topologie du projectif P^3 dans un post antérieur, notamment par comparaison avec le projectif P^2 correspondant à la surface de Boy (la surface de Boy est une immersion du projectif P^2 dans l’espace Euclidien 3D). Le projectif P^2 possède la sphère S^2 comme revêtement universel. Quand on fait un tour de la sphère, on fait deux tours de la surface de Boy. Quand on en a fait un demi tour de la sphère, on revient au même point de la surface de Boy (mais sur l’autre face, comme dans le cas du ruban de Möbius).

Je suis désolé. Peut-être par manque de connaissances, je ne vois pas le lien entre mon affirmation que la topologie responsable du spin se retrouve à la fois en relativité galiléenne et en restreinte. La topologie de l'espace euclidien (sauf erreur de ma part) contient SU(2), tout comme la topologie de l'espace minkowskien. Il faudrait savoir si en R. Gal. et en RR, c'est SU(2) et seulement SU(2) qui est responsable du spin (demi-entier). Selon moi, oui, et mon argument tient là dessus. La seule différence entre la R.Gal. et la RR, c'est qu'en RR, on peut trouver un élément du groupe SO(3) (donc SU(2) -> à 1 élément de SO(3) correspond 2 éléments de SU(2)) en applicant deux transformation de Lorentz spécial (une transfo selon x suivi d'une transfo selon y n'est pas équivalent à une transfo suivant une direction dans le plan xy : il faut ajouter une rotation).

********************
Mais d'une façon où d'une autre, si le spin est la conséquence d'une invariance sous un ensemble de transformations, alors il faut que le spin soit la conséquence du même ensemble de transformation (groupe) en R. Gal et en RR, sinon on aurait deux définitions différentes du spin (une en R.Gal et une en RR). Si on avait deux définitions différentes du spin (deux ensembles de transformations), alors il ne pourrait y avoir débat à savoir si le spin provient de l'une ou l'autre des relativités. Puisqu'il y a débat, je considère que le spin a la même définition dans les deux relativités, cad que le spin est la conséquence d'un seul groupe présent (comme sous-groupe) dans les deux relativités.
********************

Ensuite, vous parlez de mécanique quantique et de mécanique classique. Je croyais le débat entre MQ et MQ relativiste...

Vous pouvez utiliser le fait que le spin provient d'une invariance sous SU(2) en MQ pour vérifier ce qu'une invariance sous SU(2) implique en mécanique classique. Vous trouverez probablement de analogies classiques (sphère qui tourne etc...). Mais vous ne réussirez pas à coller les résultats expérimentaux (rapport giromagnétique par exemple). Pour cela, il vous faut la MQ relativiste (et mieux la QFT). Je dis ça seulement pour préciser que le passage au monde classique ne permet pas de vraiment affirmer "ce que fait" l'électron pour qu'on dise de lui qu'il a un spin [1]. En MQ relativiste, c'est "ce qu'est" l'électron qui fait qu'on puisse dire qu'il a un spin (l'électron est d'abord n'importe quel objet invariant sous l'action d'un certain groupe (spineur), puis on réduit les possibilités en l'obligeant à satisfaire l'équation de Dirac (spineur de Dirac)).


En conclusion (discutable), je dirais (1) que les symétries responsables du spin se retrouvent à la fois en relativité galiléenne et en relativité restreinte. Je crois à un faux débat sur l'origine classique/relativiste du spin, car l'origine est plutôt topologique. Elle provient de symétries qui selon moi sont autant présentes en RGal. qu'en RR. Monsieur Chaverondier semble amener un point (que je ne comprends pas très bien, je l'avoue) qui cherche une différence entre le fait que le groupe responsable du spin soit sous-groupe de Galilée ou de Poincaré. Et je dirais (2) que la description classique de "ce que fait l'électron" (moment cinétique non-intrinsèque) pour qu'on dise de lui qu'il a un spin implique des variables cachées (sinon voir [1] et m'aider à comprendre) et qu'en MQ relativiste, c'est "ce qu'est l'électron" (moment cinétique intrinsèque) qui fait qu'on dit de lui qu'il a un spin.


Simon

[1] Un essai (pas trop intuitif) d'une description de "ce que fait" l'électron de la MQ traditionnelle pour dire de lui qu'il a un spin: http://www.arxiv.org/ftp/quant-ph/pa...04/0504068.pdf

[chaverondier]

À mon sens, la topologie consiste à étudier les propriétés invariantes des espaces

Dans l'exemple qui nous occupe (celui des spins) l'espace dont la topologie est l'objet de ce débat est le groupe SO(3) (et non pas l'espace-temps) et les considérations de topologie ne consistent pas en l'étude de grandeurs invariantes par des transformations.

En mon sens, la topologie de l'espace est le groupe de transformations qui le laisse invariant.

Une topologie d'un espace E (quel qu'il soit) ne se définit pas par un groupe de transformations mais par une famille de parties de cet espace (appelées ouverts) qui est fermée pour l'intersection finie et la réunion quelconque et comprend l'ensemble vide et l'ensemble E tout entier.

La notion de groupe de transformations ne sert pas à définir la notion de topologie, mais la notion de géométrie.

Ensuite le groupe de Poincaré ne laisse pas l'espace-temps de Minkowski invariant (les points de l'espace et les événements de l'espace-temps ne restent pas au même endroit sous les actions du groupe qui définit sa géométrie) mais c'est sa métrique qu'il laisse invariante.

Enfin la topologie qui est en jeu dans la présente discussion n'est pas celle de l'espace-temps de Minkowski ou de l'espace-temps de Galilée, mais au contraire la topologie du groupe des rotations SO(3).

Ensuite, vous parlez de mécanique quantique et de mécanique classique. Je croyais le débat entre MQ et MQ relativiste...

Pas si on introduit les considérations de topologie, lesquelles se font jour quand on passe de représentations de SO(3) (cas des moments cinétiques intrinsèques non quantiques) à des représentations de SU(2) (cas des moments cinétiques intrinsèques quantiques), autrement dit passage de représentations unitaires irréductibles de SO(3) à des représentations unitaires irréductibles projectives de SO(3). Voir à ce sujet le cours de Delamotte page 103, note de bas de page n°24, Chapitre VIII les translations et le groupe de Poincaré, § D les représentations massives et de masse nulle de Poincaré, http://sciences.ows.ch/mathematiques...areLorentz.pdf

Bernard Chaverondier
PS : Je n'ai pas répondu tout parce que ça aurait été trop long.

[spi100]

À mon sens, la topologie consiste à étudier les propriétés invariantes des espaces et des fonctions suite à une transformation. À mon sens, on ne dit pas "topologie d'un groupe", mais "topologies d'un espace" (on d'une fonction). Peut-être que je me trompe, clarifiez mes idées si c'est le cas.

Munir un ensemble d'une topologie, c'est donner un sens à l'expression "l'élément x est plus proche de y que z".
Tu peux effectivement munir un groupe d'une topologie. Tu peux aussi munir l'espace sur lequel opère le groupe, d'une topologie. Mais ces deux topologies n'ont pas de rapport entre elles. L'une sert à décrire le groupe, l'autre l'espace sur lequel il opère.

[chaverondier]

À mon sens, la topologie consiste à étudier les propriétés invariantes des espaces et des fonctions suite à une transformation. À mon sens, on ne dit pas "topologie d'un groupe", mais "topologies d'un espace" (on d'une fonction). Peut-être que je me trompe, clarifiez mes idées si c'est le cas.

Munir un ensemble d'une topologie, c'est donner un sens à l'expression "l'élément x est plus proche de y que z". Tu peux effectivement munir un groupe d'une topologie. Tu peux aussi munir l'espace sur lequel opère le groupe, d'une topologie. Mais ces deux topologies n'ont pas de rapport entre elles. L'une sert à décrire le groupe, l'autre l'espace sur lequel il opère.

Pour détailler encore un peu plus ce point, le caractère non simplement connexe du groupe des rotations SO(3) est bien lié à cette notion topologique de proximité des "points" (en faits des rotations) de SO(3).

La rotation d'angle pi-espilon et la rotation d'angle -pi+epsilon autour d'un même axe orienté semblent a priori très éloignées l'une de l'autre. Ces deux rotations sont d'ailleurs représentées par deux vecteurs de norme voisine de pi mais ils pointent dans deux directions opposées. Pourtant, ces deux rotations sont voisines dans la topologie de SO(3) et tendent l'une vers l'autre quand epsilon tend vers zéro.

SO(3) est une boule de vecteurs rotation (une boule de rayon pi) dont on a "recollé" les points diamétralement opposés sur la sphère de rayon pi qui limite cette boule (topologie identique à celle du projectif P^3, une sorte de "boule de Möbius").

En deux tours, on peut "déplier" cette "boule de Möbius" en son revêtement universel : la sphère S^3 (1).

Bernard Chaverondier
(1) S^3 = SO(4)/SO(3) est une sphère à 3 dimensions (au lieu de 2). Elle est homéomorphe à SU(2).

[Lévesque]

Merci pour les explication supplémentaires. J'aurais une autre question.

Dans mon esprit, un élément g d'un groupe est "utilisé" pour appliquer une transformation. Disons que j'ai un vecteur v. Alors, je lui applique une matrice R (matrice constituant la représentation d'un élément du groupe?). J'obtient un vecteur "tourné" v'=Rv.

Dans votre texte (Mr. Chaverondier), vous dites:

SO(3) est une boule de vecteurs rotation (une boule de rayon pi) dont on a "recollé" les points diamétralement opposés sur la sphère de rayon pi qui limite cette boule (topologie identique à celle du projectif P^3, une sorte de "boule de Möbius").

J'avoue ne pas tout comprendre, mais ce qui me perturbe en fait, c'est l'utilisation du mot vecteur. Votre affirmation me donne l'impression que chaque vecteur de la boule (il y en a une infinité) correspond à un élément du groupe. Selon moi, (cad selon ce que j'ai compris des enseignements que j'ai reçu), le vecteur de votre "boule" correspondrait plutôt aux paramètres du groupe (un vecteur -> paramètres d'un élément du groupe...).

Vous voyez ce que je veux dire? Ce que je n'aime pas, c'est que j'ai l'impression (peut-être à tort) qu'un élément g d'un groupe doit "agir" sur un objet (un peut comme une matrice (de rotation) agit sur un vecteur). Pouriez-vous clarifer votre idée sur la relation entre une boule de vecteurs et les éléments d'un groupe?

Bien sur, tout le monde peut contribuer pour m'aider à comprendre, on pourrait peut-être inviter quelques matheux à venir se joindre à la discussion!?

Merci à l'avance pour votre aide,

Simon

[invite143758ee]

il faut voir SO(3) comme un espace isomorphe à un autre, en l'occurence tu prends une rotation à 3d, il te faut un axe de rotation et un angle de rotation, alors pour la boule, le vecteur c'est le vecteur rotation et sa longueur, c'est l'angle de rotation.
donc SO(3) ressemble à une boule de rayon pi avec les précisions qu'à donné Chaverondier.

[Rincevent]

Bien sur, tout le monde peut contribuer pour m'aider à comprendre, on pourrait peut-être inviter quelques matheux à venir se joindre à la discussion!?

si tu invites des matheux à venir de parler de groupes de Lie (car c'est de cela dont il s'agit), tu vas pas t'ennuyer

regarde déjà ça pour quelques détails :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Lie

le principe c'est grossièrement qu'un groupe de Lie est un groupe continu [l'ensemble des éléments du groupe est paramétré par un/des système(s) de coordonnées] ce qui te permet de le voir aussi comme une variété différentiable (un espace courbe) sur lequel on peut définir une notion de distance...

[spi100]

Vous voyez ce que je veux dire? Ce que je n'aime pas, c'est que j'ai l'impression (peut-être à tort) qu'un élément g d'un groupe doit "agir" sur un objet (un peut comme une matrice (de rotation) agit sur un vecteur). Pouriez-vous clarifer votre idée sur la relation entre une boule de vecteurs et les éléments d'un groupe?
Simon

A partir du moment où tu cherches à te donner une représentation visuelle d'un groupe, tu es bien obligé de le représenter dans un espace. Effectivement alors, représenter visuellement un groupe, implique que tu le fais opérer sur un vecteur.
L'idée sous jacente est que pour un groupe continu dépendant d'un ensemble de paramètres, tu diras "très grosso-modo" que deux éléments g(Tn) et g1(T1n) sont voisins si les valeurs de leur paramètres Tn et T1n sont voisines, bien sûr pour le groupe des rotations c'est plus subtile car il faut considérer les valeurs modulo pi. Mais tu sens bien qu' en fait la topologie du groupe est plus ou moins héritée de la topologie de l'espace des paramètres qui servent à caractériser ses élements.

[Floris]

Hé bien, c'est une discussion passionnante. Je voudrais poser une question. Si par exemple, je vaus faire interagire un photon avec un autre. Il me semble savoir que lorsque l'on décrit la fonction d'onde d'une particule, on ajoute un autre terme qui dépend de son spin n'est pas? Ainsi pour faire interagie un phgoton avec un autre, je dois prendre en compte se paramètre n'est pas?

Plus exactement, je veux dire que pour arriver à mes fin, j'ai deux possibilitée, soit faire la méthode habituel c'est à dire de créé une oposition de phase par décalement de la logueurs d'onde (1/2 de la logueurs d'onde), ou alors de me servire du spin sans avoir besoin de faire ce que j'ai fait précédement. En gros, je me sert des propriètèes magnétiques. Sui-je à coté de la plaque?

Merci à vous.
Floris

[Lévesque]

Mais tu sens bien qu' en fait la topologie du groupe est plus ou moins héritée de la topologie de l'espace des paramètres qui servent à caractériser ses élements.

On m'a reproché dans ce fil (je ne nomme personne...) que la topologie n'avait rien à voir avec (disons) l'espace, mais plutôt avec la topologie du groupe SO(3). D'après ce que tu dis, la topologie "du groupe" est héritée des paramètres qui, eux, sont assez directement liés à l'espace.

Quelqu'un pourrait-il clarifier le lien entre topologie du groupe SO(3) et topologie des paramètres de ce groupe (angles d'euler ou équivalents...)? Cela étant fait, j'aimerais bien qu'on m'explique le rapport entre la topologie du groupe et le spin OU entre la topologie des paramètres et le spin OU entre la topologie de l'espace associé au groupe et le spin. Connaissant le lien entre les topologies, seulement un des trois cas est nécessaire pour déduire la suite (de là l'utilisation des "OU").

Je suis désolé de ces questions. J'ai lu quelques bouquins de MQ relativiste et de MQ classique, et je n'avais jamais entendu parlé de topologie. C'est probablement que les auteurs n'ont tout simplement pas mentionné: "cette étape met en lumìère la topologie du groupe" ou quelque chose d'équivalent. J'aimerais clarifier le lien entre topologie et spin. Peut-être qu'il serait plus approprié que je construise ici mathématiquement un spineur, et que vous m'aidiez à identifier dans les étapes ce qui définit la topologie (j'ai déjà pas mal fini, il me resterait à convertir en latex)... j'attends de vos nouvelles!


Simon

[spi100]

On m'a reproché dans ce fil (je ne nomme personne...) que la topologie n'avait rien à voir avec (disons) l'espace, mais plutôt avec la topologie du groupe SO(3). D'après ce que tu dis, la topologie "du groupe" est héritée des paramètres qui, eux, sont assez directement liés à l'espace.

Un exemple simple pour les rotations 2D. Les éléments de ton groupe sont indexés par un réel en 0 et 2PI. Tu peux définir une distance entre R(a1) et R(a2) par |a1 - a2|.

[glevesque]

Salut Lévesque

Quelqu'un pourrait-il clarifier le lien entre topologie du groupe SO(3) et topologie des paramètres de ce groupe

Vous me corrigerer si je suis dans l'érreur. Mais il me semble que la topologie du groupe SO(3) (regroupement statistique) est une description des possible sur l'espace quantique du champs d'énergie qui est associé à l'électron qui est alors observé.

Et la topologie des paramètres de ce groupe est en fait la matrice vectoriels des différents d'état possible (état vibratoire du champs et son orientation). Le spin serait l'orientation dans l'espace du champs qui est en état d'exitation (interaction) par rapport au temps ?

Gilles

[spi100]

Pour représenter une rotation, il faut un vecteur unitaire n et un angle T. Le vecteur n est perpendiculaire au plan de rotation. On peut caractériser une rotation par un nouveau vecteur nT. L'ensemble de tous les vecteurs nT possibles engendrent une boule.

Mais je peux imaginer plein d'autres façon de paramétrer SO(3) (en utilisant les angles d'Euler par exemple).

Il faut bien comprendre qu'un groupe à sa structure interne et que cette structure interne ne dépend pas de l'espace sur lequel il opère.
Je peux considérer par exemple le groupe des permutations circulaires sur 6 boites de conserve ou le groupe des rotations directes de 2pi/6. Il s'agit du même groupe, l'un opère sur des boites de conserve l'autre sur |R^2.

[chaverondier]

On m'a signalé que la topologie n'avait rien à voir avec (disons) l'espace, mais plutôt avec la topologie du groupe SO(3).

Ca dépend de quelle topologie et de quel espace on parle.

* La topologie de l'espace-temps de Minkowski et celle de l'espace-temps de Galilée sont identiques. Leur topologie commune, c'est la topologie des ouverts de R^4 (les ouverts de IR^4 sont des ensembles engendrés par réunion de boules ouvertes de IR^4). La topologie de l’espace-temps n'a pas de rapport avec les considérations de topologie associées à un spin 1/2 entier.

* La topologie impliquée dans la modélisation des spins à caractère typiquement quantique (les spins multiples impairs de 1/2 entiers) est la topologie du groupe des rotations SO(3). Ces considérations topologiques sont associées au passage des représentations unitaires vraies irréductibles de SO(3) (aptes à modéliser des moments cinétiques intrinsèques classiques cad des spins entiers) aux représentations unitaires projectives irréductibles de SO(3) (nécessaires pour modéliser des spins typiquement quantiques, cad des spins multiples impairs de 1/2 entiers). A toute représentation unitaire projective irréductible de dimension finie de SO(3) on peut associer bijectivement une représentation unitaire vraie irréductible de dimension finie de SU(2). C’est possible car le groupe SU(2) est le revêtement universel du groupe SO(3). La notion de revêtement groupe est une notion qui reflète la structure de groupe topologique de SO(3) (SO(3) = SU(2)/Z_2) (1).

Un spin entier est un moment cinétique intrinsèque classique. Il peut prendre place dans un espace de représentation de SO(3). Le cas le plus typique est celui des spins 1. Ils vivent dans un espace vectoriel réel à 3 dimensions. C’est l’espace de représentation des représentations unitaires irréductibles à 3 dimensions de SO(3). Les spins 1 sont donc des vecteurs à 3 composantes réelles (plus exactement des pseudo-vecteurs car, ils sont invariants sous l'action de l'opérateur parité).

Un spin multiple impair de 1/2 est un moment cinétique intrinsèque typiquement quantique. Il ne peut prendre place que dans un espace de représentation de SU(2). Le cas le plus typique est celui des spins ½. Ils vivent dans un espace vectoriel complexe à 2 dimensions et sont normés à 1. C’est l’espace de représentation des représentations unitaires irréductibles à 2 dimensions de SU(2). Les spins 1/2 sont donc des vecteurs unitaires à deux composantes complexes.

D'après ce que tu dis, la topologie "du groupe" est héritée des paramètres qui, eux, sont assez directement liés à l'espace.

Un groupe de Lie G est le plus souvent défini comme suit

* C’est une variété analytique G (2) de dimension finie n, cad un espace qui peut se voir "cartographié" par une famille d'ouverts U_i de IR^n et pour chaque U_i, une application phi_i bijective de U_i dans la variété G (la famille des ph_i(U_i) recouvrant cette variété) avec une propriété de compatibilité entre cartes (U_i, phi_i) que je ne détaille pas (voir la notion d'atlas analytique pour une définition plus rigoureuse et plus détaillée de la notion de variété analytique).

* Cette variété est munie d'une structure de groupe compatible avec sa structure de variété analytique (le produit et l'inversion doivent être des applications analytiques et là non plus je ne détaille pas les définitions pour rester synthétique).

La topologie d'un groupe de Lie est la topologie (la famille des ouverts définissant la notion de « proximité » entre deux éléments du groupe) induite par sa structure de variété analytique (je ne détaille pas non plus).

Quelqu'un pourrait-il clarifier le lien entre topologie du groupe SO(3) et topologie des paramètres de ce groupe ?

Dans le cas de SO(3) on peut établir un homéomorphisme (3) entre SO(3) et une boule de rayon pi dont on a "fusionné" les points diamétralement opposés de la sphère de rayon pi (qui limite cette boule). Ca veut dire que deux points diamétralement opposés de la sphère de rayon pi sont considérés n'en faire qu'un et, quand un ouvert « sort de la boule de rayon pi d'un côté », il doit obligatoirement « rentrer dans la boule de l’autre côté » afin de contenir tous les points diamétralement opposés de la sphère de rayon pi.

En effet, une rotation r d'angle alpha autour d'un axe orienté est définie par le vecteur unitaire u de cet axe orienté et par cet angle. On peut donc associer bijectivement à chaque rotation r d’angle alpha autour de u, un vecteur alpha' u où alpha' est le représentant de l'angle alpha contenu dans l'intervalle ]-pi, pi] (alpha’ égal à alpha modulo 2pi). Cela permet d'identifier toute rotation de SO(3) à un vecteur contenu dans la boule de rayon pi dont on pris la précaution de "recoller" les points diamétralement opposés sur la sphère de rayon pi. Munie de cette topologie la boule de rayon pi possède la topologie du projectif P^3 (une sorte de sphère de Möbius) qui est aussi la topologie de SO(3).

Peut-être qu'il serait plus approprié que je construise ici mathématiquement un spineur

A mon avis, il vous faut lire en détail le cours de troisième cycle de Martin DELAMOTTE, Jussieu, Paris VI. « Un soupçon de théorie des groupes, Une approche formelle de la physique quantique par les groupes de symétries » http://sciences.ows.ch/mathematiques...areLorentz.pdf

Bernard Chaverondier

(1) le groupe de Lie SO(3) est dit doublement connexe alors que SU(2) est simplement connexe. Avec l'homomorphisme canonique entre le groupe simplement connexe SU(2) (revêtement universel, cad revêtement simplement connexe minimal de SO(3)) et le groupe doublement connexe SO(3), on fait deux tours de SO(3) quand on fait un tour de SU(2). Si U appartenant à SU(2) est antécédent d'une rotation r par cet homomorphisme, alors -U est aussi antécédent de r. De plus, SU(2) a même algèbre de Lie que SO(3) comme c'est toujours le cas lorsque l'on a un revêtement groupe (qu'il soit universel ou pas).

(2) certains auteurs demandent seulement une structure de variété différentiable.

(3) homéomorphisme = application bijective bi-continue, cad établissant non seulement une bijection entre 2 ensembles mais aussi entre les deux familles d'ouverts définissant leurs topologies respectives.

[Floris]

Bonjour, je repose ma question, celle ci étant posé de magnière pas très explicite, j'essais donc de la reformuler plus explicitement.

Si je veux faire interférer deux particules, que se soit destructivement ou constructivement, connaitre leurs états de spin est t'il indispensable pour parvenir à mes fin.

Merci à tous.
Flo

[invite143758ee]

ouf ! j'ai trouvé une réponse...pas facile tes questions floris .

tu peux faire interférer la lumière de ta lampe de poche, et a priori tu ne connais rien de la polarisation de tes photons...
donc je répondrais , non à

Si je veux faire interférer deux particules, que se soit destructivement ou constructivement, connaitre leurs états de spin est t'il indispensable pour parvenir à mes fin.

voilou voili, bon dimanche !

[Lévesque]

Dans l'exemple qui nous occupe (celui des spins) l'espace dont la topologie est l'objet de ce débat est le groupe SO(3) (et non pas l'espace-temps).

Seulement pour discuter votre affirmation, je cite Delamotte (p.8), qui dit en ses mots ce que tout le monde ici sait très bien:

C'est le cas, par exemple, des symétries de l'espace-temps : la conservation de l'énergie pour un système isolé quelconque est une conséquence de la symétrie de translation dans le temps (et non d'une propriété spécifique du système), celle de l'impulsion une conséquence de l'invariance par translation dans l'espace, celle du moment cinétique une conséquence de l'invariance par rotation [1].

[1] La charge électrique est également une quantité conservée associée à une symétrie : la symétrie de jauge [...] qui, elle, n'a pense t'on, rien à voir avec la structure de l'espace-temps

Donc, la conservation du moment cinétique est une conséquence de l'invariance par rotation, laquelle est une symétrie de l'espace-temps.

L'espace-temps est défini par une métrique (ds^2 = x1^2 + x2^2 +...). Un groupe qui laisse invariant un espace peut être représenté comme laissant invariant la métrique. Par exemple, en relativité galiléenne, c'est la distance d = Sqrt[dx^2 + dy^2 + dz^2] entre deux points qui est invariante [1], tandis qu'en relativité restreinte, c'est l'intervalle ds = Sqrt[dt^2 - dx^2 - dy^y - dz^2] (c = 1) entre deux événements qui est invariante. On voit alors facilement d'où vient le concept de métrique (de l'espace ou de l'espace-temps).

Par exemple, pour définir le groupe des rotations, on suppose seulement une transformation R qui conserve la longueur des vecteurs, c'est-à-dire

,

(1)

où x est un vecteur à trois composantes. Donc, le groupe SO(3) des rotations est l'ensemble des matrices 3x3 réelles de déterminant 1 qui respectent la condition (1) pour conserver la longueur d'un vecteur (orthogonalité des matrices).

De la même façon, on trouve le groupe de Lorentz en applicant une transformation quelconque qui laisse invariante l'intervalle où x est un quadrivecteur position. On obtient la condition (2) : où g est le tenseur métrique covariant. Les qui satisfont à cette condition sont appelés les transformation de Lorentz. Ainsi, le groupe de Lorentz SO(3,1) est l'ensemble des matrices réelles 4x4 de déterminant 1 qui préservent l'intervalle, cad qui respectent la condition (2).

Pour générer le groupe de Poincaré, on inclut le groupe de Lorentz et le groupe des translations spatiotemporelles:

.

Une rotation dans l'espace euclidien est équivalent à une rotation dans l'espace temps. C'est-à-dire que l'élément g du groupe SO(3) qui fait une rotation donnée est le même élément g du groupe SO(3,1) qui fait une rotation dans l'espace-temps. Cependant, la représentation matricielle de cet élément g est différente si on est dans l'espace euclidien ou dans l'espace-temps. Dans l'un, la matrice est une 3x3, dans l'autre la matrice est une 4x4.

Pour un élément g(theta,phi,gamma) où les angles sont ceux d'Euler, cad les paramètre du groupe, on a une matrice unique dont les éléments sont fonction des trois angles d'euler. En d'autres mots, une transformation g(theta,phi,gamma), élément ET de SO(3) ET de SO(3,1), a une représentation matricielle qui ne contient que 3 paramètres, qu'on soit dans SO(3,1) ou dans SO(3). (Par définition, une rotation ne se fait pas "dans le temps".)

Si on introduit une topologie dans le groupe, on introduit une relation entre g1(theta1,phi1,gamma1) et g2(theta2,phi2,gamma2). En général, on dit que g1 et g2 sont des éléments voisins si les paramètres sont voisins. Les 3 paramètres, ce sont les angles des rotations successives selon 2 axes qu'il faut appliquer (à un vecteur) pour obtenir une rotation selon un axe arbitraire, d'un angle arbitraire.


Je résume. Si on applique une transformation R à la quantité "distance" (longueur d'un vecteur) qui définie la métrique euclidienne, et qu'on force cette quantité à rester égale suite à la transformation, on obtient une transformation appelée rotation qui fait partie du groupe SO(3). Donc, l'invariance par rotation de la métrique de l'espace génère le groupe des rotations. L'invariance de la métrique sous une rotation (élément de SO(3) ou de SO(3,1)) est responsable de la conservation du moment cinétique.

Si on fait une expérience implicant des moments cinétiques en MQ, on arrive à la conclusion que certaines particules DOIVENT posséder un moment cinétique pour que le moment cinétique total soit conservé. Sinon, on aurait une non-invariance par rotation, une non-conservation du moment cinétique total.

Pour résoudre le problème, Pauli introduit un terme de moment cinétique ad hoc dans l'équation de Schrödinger. En d'autres mots, Pauli dit: "Pour que le moment cinétique soit conservé dans la nature, il faut ajouter un terme qui exprime le moment cinétique transporté par les particules, cad le moment cinétique intrinsèque: le spin". (Je ne vois pas du tout le lien entre la topologie du groupe, cad la continuité définie dans l'espace des paramètre cf Delamotte p.31, et l'apparition de la notion de spin, voilà pourquoi j'insiste sur des explications.)

D'autre part, l'équation de Dirac est construite en partant d'une idée très générale. On se dit: "Selon nos convictions les plus profondes, l'espace dans lequel on décrit l'évolution physique des objets doit être invariant sous le groupe de Poincaré". On "invente" une équation qui respecte les symétries demandées (on ne fait pas juste ajouter une hypothèse pour une prédiction comme Pauli) en partant d'une équation qui marche pas trop mal, l'éq. de Schrödinger. On arrive à l'équation de Dirac, qui prédit que l'électron doit "transporter" un moment cinétique (pour que les symétries de la nature soient respectées). On utilise la même technique pour la construction du lagrangien du modèle standard (symétries différentes pour particules différentes, l'équation de Dirac s'exprime sous la forme d'un lagrangien qui se retrouve dans le modèle standard pour représenter l'électron).

Dans l'exemple qui nous occupe (celui des spins) l'espace dont la topologie est l'objet de ce débat est le groupe SO(3) (et non pas l'espace-temps).

Je ne comprends pas ce que vous dites. D'autre part, personne sauf moi ne s'est opposé à

Toutefois j'ai pris mes responsabilités: A savoir d'affirmer que le spin est d'origine topologique et non relativiste, tout le monde ne le dit pas.

Je ne m'y oppose pas, mais j'insiste pour qu'on m'explique. Votre silence (à vous tous) sur ce point me fait croire que vous le comprenez. Si vous ne le comprenez pas, posez des questions à mariposa, sinon, moi je vous pose des questions dans cette discussion.

QUESTION (à mariposa surtout): Comment pouvez-vous conclure que le spin est d'origine topologique?

QUESTION (à chaverondier surtout): En quoi la topologie a rapport au groupe et non à l'espace? Selon ma compréhension, la topologie de SO(3) est un énoncé équivalent à "la continuité des paramètres de R^3". Donc, si la topologie du groupe est responsable du spin (c'est ce dont on parle, si vous croyiez que topologie n'a rien à voir avec le spin, on aurait jamais eu cette discussion, n'est-ce pas?) alors la continuité des paramètres du groupe est aussi responsable du spin. Pouvez vous m'expliquer ce lien qui m'échappe tout entier? (svp, ne me donnez pas un cours complet de théorie des groupes, si vous êtes attentifs, vous verrez qu'une seule question m'intéresse vraiment).

Il est possible que j'aie fait quelques erreurs. SVP, pouvez-vous faire une section bien identifiée dans votre réponse consacrée à votre désaccord face à ce que je dis, et une section qui s'attarde à répondre à des questions. Le but est évidemment de ne pas détruire et construire en même temps, mais de séparer en deux ce qui est à détruire et ce qui reste à construire). Merci.


Simon


P.S. Je ne donne pas de souce pour ce que j'écrit ici. Cela provient de cours et de notes personnelles.


[1] En d'autres mots, on cherche à conserver la longueur d'un vecteur suite à un changement de référentiel.

[chaverondier]

En quoi la topologie a rapport au groupe et non à l'espace ? Selon ma compréhension, la topologie de SO(3) est un énoncé équivalent à "la continuité des paramètres de R^3".

SO(3) n'a pas la toplogie de R^3, mais celle du projectif P^3, une espèce de boule de Möbius dont les points diamétralement opposés sont "recollés". Avec cette topologie, quand je sort de la boule de vecteurs rotation de rayon pi d'un côté, je rentre dans cette même boule de l'autre côté.

Dans l'exemple qui nous occupe (celui des spins) l'espace dont la topologie est l'objet de ce débat est le groupe SO(3) (et non pas l'espace-temps).

Je ne comprends pas ce que vous dites.

La topologie de SO(3) joue un rôle seulement dans les cas quantiques, c'est à dire dans le cas des spins demi-entier où l'on doit passer d'une représentation unitaire irréductible de SO(3) à une représentation unitaire irréductible de son revêtement universel (qui est SU(2)). La notion de revêtement est une notion typiquement topologique (et la notion de revêtement groupe réunit des considérations de symétrie et de topologie)

Donc, si la topologie du groupe est responsable du spin alors la continuité des paramètres du groupe est aussi responsable du spin.

La topologie de SO(3) n'est pas responsable du spin, mais de comportements spécifiques des spins 1/2 entiers. Par ailleurs, disons plutôt que la topologie du groupe (pouvant être définie indépendamment de tout choix de paramétrage) peut servir à conférer une topologie à son paramétrage (ici, elle lui confère la topologie du projectif P^3). Une topologie d'un ensemble E c'est une famille d'ouverts (une famille F de parties de E fermée pour la réunion quelconque, pour l'intersection finie, qui contient l'ensemble vide et l'ensemble E)

le spin est d'origine topologique et non relativiste.

Le spin c'est d'abord un moment cinétique intrinsèque, c'est à dire un invariant vis à vis du groupe des rotations. L'invariance vis à vis du groupe des rotations est l'une des invariances relatives aux symétries de l'espace-temps. Ces symétries sont modélisées par la théorie de la relativité. Il s'avère que cet aspect de la relativité (relativité des rotations) est commun à la relativité Galiléenne et à la Relativité Restreinte. Le spin n'est donc pas relativiste au sens grandes vitesses, mais relativiste au sens respect du principe de relativité (principe qui ne comprends pas que la relativité du mouvement. D'ailleurs, le passage Relativité Galiléenne/Relativité Restreinte ne joue que sur la valeur d'un paramètre : la vitesse de propagation des interactions qui se propagent à une vitesse indépendante de celle de leur source, vitesse infinie dans un cas et finie dans l'autre. Tout le reste est identique).

Par contre, dans le cas quantique (le cas des spins demi-entier) des considérations de topologie du groupe des rotations viennent se greffer là dessus. Cet aspect topopologique est relié au fait que deux tours sont nécessaires pour ramener un électron dans son état initial. Un seul tour change le signe de sa fonction d'onde.

Benard Chaverondier

[Floris]

Merci pour ta réponse Dupo.
Ce que je veux dire, c'est qu'il est aussi possible de faire interférer deux photon en utilisant les propriété de leurs polarisation. On est bien d'accord?

Merci à toi.
Amicalement
flo

[Lévesque]

Merci beaucoup Mr. Chaverondier. Je ne comprends pas tout, mais c'est beaucoup plus clair et beaucoup plus près de la façon dont je vois ça.

Peut-être j'aurais quelques questions, encore, mais je préfère y réfléchir quelques jours pour absorber votre réponse.

Merci encore de votre patience.

Simon