Rdm Dimensionnement de profilés et poutrelles

[invite0657c13a]

Bonjour à tous , j'aimerais obtenir de l'aide sur un exercice. Ce projet est en effet difficile et nous n'avons pas d'aide pour le débuter.
Le sujet est le suivant :

Un agriculteur veut construire un petit pont pour pouvoir traverser une rivière avec son tracteur et une remorque. Il vous a engagé pour mener l'étude de dimensionnement de ce pont.
Le tablier du pont doit être composé de deux profilés en acier et un nombre de poutrelles en bois(pin).

schéma : voir fichiers attachés.

travail à réaliser :
1) Déterminer la charge sous chaque roue de l'attelage.
2) Identifier les hypothèses de calcul (les charges à prendre en compte, la ou les position(s) critiques de l'attelage pour chaque type de poutre, etc)
3) Dimensionner les profilés et les poutrelles avec un coefficient de sécurité de 1.5 pour les poutres et 2.5 pour les poutres en bois
4)Discuter les résultats obtenus.

Ceci est difficile à faire pour mon groupe de TP car nous n'avons pas entendu parler de ces coefficients de sécurité et surtout nous ne savons pas par quoi commencer et comment.

Si nous avons bien compris nous devons nous rapporter à l'axe du tracteur (voir schéma) et modéliser les réactions d'appuis comme dans la pièce jointe. (Est-ce correct ?)
De plus nous devons considérer que ce sont des solides (pour pouvoir faire de la mécanique du solide), comment procéder avec ces informations ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite02b9c0d1]

Bonjour,

Tout d'abord, peux-tu préciser à quel niveau d'études tu es et quelle formation tu suis ? De même, si c'est un TP, je suppose que vous avez eu un cours de RDM avec tout d'abord une partie d'analyse statique et ensuite une partie dimensionnement. Qu'avez vous fait exactement ?


En ce qui concerne la marche à suivre pour le problème vous ne devez pas vous demander par où commencer car les questions sont posées de telles manière qu'elles vous font suivre une méthode ordonnée et bien définie. Contentez-vous de suivre les questions.

Pour la première :

Il s'agit de déterminer les actions du système {tracteur + remorque} sur le pont (au niveau des roues donc).
Effectivement il faut partir de "l'axe" du tracteur et de la remorque. Plus exactement, ce n'est pas un axe, le rond avec la croix à l'intérieur où il est marqué à coté mr ou mt, c'est le centre de gravité (respectivement de la remorque et du tracteur). C'est en ces points que vont s'exercer les poids de la remorque et du tracteur (que vous pouvez calculer avec les masses qui vous sont données : mr et mt).

Votre décomposition en sous-systèmes est une bonne démarche mais attention, vous commettez une erreur au niveau de l'attache entre la remorque et le tracteur. En effet, dans les deux sous-systèmes, au niveau de l'attache vous avez mis les efforts dans le mauvais sens (c'est vers le haut pour la remorque et vers le bas pour le tracteur). Tel que vous l'avez écrit, la remorque devrait se mettre à tournoyer autour de l'axe de sa roue...

Je ne sais pas d'où vient l'erreur mais il y a deux choses auxquelles il faut faire attention :

La première c'est que lorsque vous écrivez les efforts extérieurs sur un système (prenons la remorque en exemple), si le système est en équilibre, les forces doivent se compenser c'est-à-dire que la somme de toutes les forces doit être égale à 0 (c'est le PFS). Cela signifie entre autre que si vous mettez les vecteurs bouts à bouts vous devez pouvoir créer une boucle, revenir à l'origine du premier vecteur.
Dans le schéma que je joins, si je fais la somme du vecteur bleu (poids) + le vecteur violet (réaction du sol sur la roue) + le vecteur vert (effort du tracteur sur la remorque), je remarque qu'elle est nulle donc je sais qu'avec les vecteurs orientés de cette manière, la remorque est en équilibre. Si le vecteur vert était en sens inverse (comme vous l'avez mis) la somme ne serait pas nulle et la remorque ne pourrait pas tenir en place.

La seconde chose c'est que lorsque vous définissez un système (comme ici la remorque seule dans un premier temps), il convient de considérer les efforts extérieurs agissant sur ce système. C'est-à-dire qu'au niveau de l'attache, il faudra considérer l'effort du tracteur sur la remorque. Comme on a vu ci-dessus que dans le sous-système 1 (remorque), l'effort extérieur, donc du tracteur sur la remorque (vecteur vert dans mon schéma) était orienté vers le haut, on sait que lorsqu'on isole le sous-système 2 (tracteur) l'effort extérieur, donc cette fois-ci de la remorque sur le tracteur est vers le bas (puisque les deux efforts dans un cas et dans l'autre sont de même intensité mais de sens opposé)..

Attention donc à cette erreur,
Avec les masses qui vous sont données (mr et mt) vous pouvez calculer le poids de la remorque et du tracteur (vecteur bleu dans mon schéma).
En effectuant l'analyse statique tout d'abord sur le sous-système 1 (remorque) vous devriez pouvoir calculer les réactions au niveau de la roue et de l'attache. (faites l'équilibre des résultantes et des moments).
Ensuite, connaissant la réaction au niveau de l'attache ainsi que le poids du tracteur vous pouvez calculer dans le sous-système 2 (tracteur) les réactions au niveau des roues.

Vous aurez alors une valeur de la charge sous chaque roue de l'attelage (question 1).

Avant tout calcul, pensez à bien définir un repère et son origine. De même, n'oubliez pas que le problème est symétrique et que le tracteur a 4 roues et le poids de la remorque et du tracteur se réparti selon les 4 roues (on ne voit que 2 roues dans le schéma 2D : pensez à diviser vos efforts).

Pour la question 2, référez-vous à votre cours : il y a plusieurs hypothèses à effectuer en RDM "classique" pour le dimensionnement de poutres (je vous aide : qu'est-ce qu'une poutre ? par exemple parmi d'autres hypothèses).

Ensuite posez-vous la question de la position critique. En effet votre tracteur va rouler sur toute la longueur du pont, mais bien sûr il est impossible d'effectuer un calcul à chaque fois qu'il a parcouru 1cm pour savoir si le pont tient... Donc demandez vous :

- en ce qui concerne le pont dans sa globalité, à quel moment de la traversée le pont est-il le plus sollicité ? quelle est le cas défavorable pour dimensionner ce pont en flexion ?

- en ce qui concerne les poutres en bois : même question et demandez-vous en plus quel est leur rôle dans la rigidité du pont : les poutres de bois augmentent-elle la rigidité ?

Pour le dimensionnement lancez-vous dans le problème, avancez et reposez une questions si vous êtes bloqués par le calcul ou s'il vous manque une hypothèse.

[invite0657c13a]

Tout d'abord, je vous remercie pour toute votre aide, je vais dès ce soir me pencher sur les calculs.

Pour information je suis en 2ème année d'école d'ingénieur du bâtiment et travaux publics (ESITC Caen). Je suis donc en prépa intégré (2ème année).

Ceci est un projet RDM c'est donc de la nouveauté et de la recherche. Au niveau du cours, nous n'avons rien eu à propos du dimensionnement de poutres, etc. Nous nous sommes arrêtés au calculs de déplacement. Cette exercice est donc difficile à résoudre pour nous car nous ne connaissons pas les caractéristiques propres à chaque matériaux (bois et acier). De plus de recherche internet sur ce point me semble difficile à trouver.

Merci encore.

[invite0657c13a]

re bonjour,

J'ai entrepris les calculs de la première questions et je pense avoir trouvé (sans l'erreur c'est plus simple quand même).

J'obtiens donc Pr= 5000*9,81=49 050 N
Pt= 3500*9,81= 34 335 N

Ensuite après résolution des équations (à l'aide du PFS),

Ra= 42 918,75 N
Rb= 18 853,59 N
Rc= 9 350,16 N

à diviser par deux pour obtenir la charge sous chaque roue :
A1=A2=21 459,38 N
B1=B2=9 426,80 N
C1=C2= 4 675,08 N
(voir schéma)

Je joins également le schéma de mes sous systèmes.
Avec pour calculs :
Sous-système 1 :
Ra+T'-Pr=0 (somme des forces /y)
-0,5Pr +4T' =0 (moment)

donc T'= 6131,25 N et Ra=42918,75 N

Sous-système 2 :
Rb+ Rc -T -Pt = 0
1,8Pt - 2,4Rb + 2,7T =0 avec T=-T'=-6131,25 N

donc Rb= 18853,59 N et Rc= 9350,16N

Je pense que la question 1) est donc terminée.

Du côté de la question 2, je vous disais donc que je n'avais pas eu de cours sur le dimensionnement de poutre. Nous avons pourtant eu des cours plus basique de RDM et vu donc des hypothèses. Néanmoins notre prof nous a bien précisé que les hypothèses qu'il attendait n'était pas les hypothèses "classiques".
Si j'ai bien compris les sous entendus de notre prof, ce serait à propos des culés (pas de déplacement, et origine 0,....) et le reste je bloques.

Pour les positions critiques de l'attelage je suppose qu'il faudrait étudier différents cas comme :
-le tracteur est sur le pont (pas la remorque)
-la remorque est sur le pont (pas le tracteur)
-le tracteur et la remorque sont sur le pont

Mais comment déterminer où le pont est le plus sollicité ? Le cumuls des charges ? La largeur des pneus influe-t-elle dans les calculs ?

Pour la question 3) là c'est totalement le trouble. Sans cours je pense que c'est difficile ^^.
Je me suis renseigné un peu, sans grande conviction à propos des caractéristiques des deux matériaux: Acier E(module de young) = 210 000 Mpa et contraintes admissible=240 Mpa
pour le bois (pin, épicéa) = E= 10 450 Mpa et contraintes admissible en flexion simple 90Kg/cm².
Je n'ai rien trouvé de mieux !

J'espère que je pourrais obtenir encore une fois votre aide. Merci encore.
cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02b9c0d1]

(re) Bonjour !

Aucun problème pour l'aide, c'est bien normal ! En plus, votre prof vous lâche sur un problème de dimensionnement sans aucun cours... au niveau de l'analyse statique ca ira encore mais ensuite effectivement, ça va se corser..


Je regarde les calculs de statique, tout me semble correct. Il n'est par contre peut-être pas nécessaire de conserver une précision au centième près pour les efforts Ra, Rb, Rc... En effet vous ferez des hypothèses par la suite et de toute façon, les distances qui vous sont données dans les schémas sont déjà approximatives. Il est possible que tes profs soient tatillons, mais la logique voudrait qu'arrondir au newton près c'est déjà largement suffisant (ce n'est pas 1 N d'erreur qui mettra en péril le pont !!)


Concernant les questions suivantes : vous dimensionnez des poutres : pour pouvoir calculer les contraintes internes, dues aux efforts appliqués par le tracteur, et donc vérifier que ces contraintes sont inférieures à la résistance des matériaux, vous utiliserez certaines formules qui donneront des résultats qui ne pourront être valables que dans le cas du dimensionnement d'une poutre, au sens mécanique du terme. Il faut donc définir ce qu'est une poutre, et émettre un certain nombre d'hypothèses sur son comportement sous sollicitation en flexion.

En règle générale, en RDM on dira donc :

- Qu'une poutre est une poutre si elle est très "allongée" (contrairement à un pavé par exemple, qui ne se comportera pas de la même manière en déformation et donc avec lequel les résultats de calcul seront loin de la réalité). "Allongée" signifie que la longueur des lignes moyennes est grande devant la longueur des sections droites (au moins 20 fois supérieure à la plus grande dimension de la section droite).

Et on émettra alors 3 hypothèses indispensables :

- Hypothèse de Barré de Saint-Venant: les résultats ne s'appliquent valablement qu'à une distance suffisamment éloignée de la région d'application des efforts intenses (deux à trois fois la largeur de la section normale). C'est-à-dire que près des points d'application des efforts (donc des roues) il faut être conscient que les résultats trouvés seront faux (en tous cas plus dans le domaine de validité).

- Hypothèse de Bernoulli: les sections planes, normales à la ligne moyenne avant déformation demeurent normales à la ligne moyenne après déformation (nécessaire pour les calculs de déformation et de flèche).

- Les matériaux utilisés sont homogènes, isotropes et suivent une loi de comportement linéaire (pour simplifier les calculs). C'est plutôt une vérification ici. Attention donc avec le bois, c'est un matériau fibreux, il est donc anisotrope. A vous de voir si cette hypothèse est tout de même valable en fonction de la manière dont il sera sollicité et déformé. Ou alors il faudra donner une limitation aux résultats. Je laisse réfléchir la-dessus. Au cas où, la définition des termes isotrope et homogène se trouvent facilement sur internet.

Voilà ceci sont les hypothèses d'un cours de RDM concernant les poutres, si vous les avez vues tant mieux, c'est les hypothèses principales auxquelles je pensais.

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Il y aura ensuite effectivement des hypothèses à faire sur la liaison entre le pont et le sol à ses deux extrémités (c'est ca que ca veut dire "culée" ? je ne connaissait pas le terme) : est-il posé ? encastré ?
Cela influera sur les résultats ainsi que sur l'analyse statique bien sûr pour calculer les réactions aux appuis.
Et vous aurez besoin de connaitre ces informations si vous souhaitez par la suite calculer la déformée de la poutre (profilés acier) et la flèche maximale, car il faudra poser des conditions aux limites (donc effectivement déplacement nul, rotation des sections nulle ou pas etc...)

Il faut donc faire une hypothèse sur les liaisons aux extrémités. De même, sur les liaisons entre les profilés de bois et les profilés d'acier.

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D'autres hypothèses sont possibles également pour simplifier le problème comme par exemple sur le rôle des profilés de bois transversaux. Par exemple, moi je verrais bien une hypothèse permettant de supprimer dans un premier temps les profilés de bois transversaux dans le dimensionnement du pont global en flexion, je m'explique.. le pont est maintenu des deux cotés, le tracteur roule dessus, il fléchi (on regarde donc le pont de coté, plan yx, comme le tracteur). Dans sa flexion, il s'agit de déterminer qui donne la rigidité au pont et subi réellement la flexion : les poutres de bois transversales ou les profilés longitudinaux d'acier ? dans ce plan d'observation on ne voit que la section droite du profilé de bois qui est perpendiculaire au plan. Si on considère que la dimension de sa section droite est très petite devant la longueur du pont, on peut émettre l'hypothèse qu'il ne fléchi pas, qu'il est éventuellement soumis à de la compression lorsque la roue passe dessus, mais donc qu'il ne rigidifie que de manière négligeable le pont en flexion. Pour le dimensionnement du profilé d'acier, on se retrouve donc avec une poutre simple soumise en flexion (sans profilés de bois). Je sais pas si je suis clair.

La largeur des pneus n'interviendra pas dans ce cas. Par contre lorsqu'on dimensionnera les profilés de bois en flexion, oui. On se placera en face du pont et du tracteur, plan yz, de manière à avoir la ligne moyenne de la "poutre" (comme étant définie géométriquement par les hypothèses plus haut) de bois visible dans ce plan. A ce moment là on isole un profilé seulement (il se passe la même chose sur tous les profilés) et on le calcul en flexion lorsque la roue passe dessus. Les sollicitations appliquées sont un chargement réparti au niveau de chaque roue (donc la largeur des roues intervient) et les réactions aux appuis.

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En ce qui concerne les cas les plus défavorables pour réaliser les études, pour la flexion du pont (profilé d'acier), je pense qu'il faut directement prendre tout l'attelage : il est clair que la remorque seule fera moins fléchir le pont que l'attelage complet car le poids global du système est plus faible. Ensuite, il convient de savoir à quelle position du tracteur sur le pont la flexion sera la plus grande. Pour ça, il y a deux manières :

- Calculer la position du centre de gravité global du système {tracteur + remorque} et appliquer un poids global. Cependant, ce n'est possible que si la longueur de l'attelage complet et l'espacement entre les roues sont si faibles devant la longueur du pont que l'attelage pourrait être ramené à un point matériel unique (hypothèse) ce qui ne semble pas être le cas ici (enfin tout dépend de la longueur du pont : si c'est le viaduc de Millau, on peut se permettre de faire cette hypothèse !

- Sinon il faut prendre un cas quelconque et appliquer des une inconnue pour la distance entre l'attelage et le début du pont, puis on essaiera par la suite de déterminer cette inconnue où on aura une contrainte dans la poutre et une flèche maximale...


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Pour la question 3 (que l'on a un peu abordé ci-dessus), moi j'essaierai de trouver des hypothèses (vois avec ton prof pour confirmer) comme celle qui supprime les profilés de bois pour la flexion du pont et je ferais le dimensionnement en 2 parties : d'abord les profilés d'acier, puis les profilés en bois en changeant de plan d'observation du coup.. De toute façon, l'hypothèse est surement valable puisqu'il est clair que si les profilés de bois influaient grandement sur la flexion globale du pont, on aurait choisir un autre matériau plus rigide que le bois.. Enfin en même temps c'est un exercice..

En tous cas, la démarche à suivre c'est : faire une analyse statique pour trouver toutes les réactions aux appuis, puis calculer les efforts intérieurs par zone de chargement dans la poutre, ce qui permettra de calculer le moment de flexion par zones dans la poutre et donc la contrainte et la flèche..

Je vous conseille de commencer par dimensionner les profilés de bois :ici je pense que le cas le plus défavorable est celui où le tracteur circule bien au milieu du pont. Dans ce dimensionnement vous avez alors toutes les données avec cette hypothèse de positionnement du tracteur alors qu'il y a une inconnue sur la distance d'avance du tracteur sur le pont dans le cas du dimensionnement des profilés d'acier..

Bon c'est compliqué à expliquer (et très long, désolé pour toute la lecture !) mais si c'est pas clair envoyez moi un MP je posterai une réponse avec des schémas sur les deux cas d'étude que j'ai en tête.

Pour les valeurs trouvées, concernant le module d'Young c'est bon pour l'acier, pour le bois ca varie selon les types de 10000 MPa à 20 000 Mpa environ, avec beaucoup de 12 000Mpa. Je prendrais une valeur plutôt de 13 000 - 14 000 MPa en moyenne (j'ai 13 000 pour l'épicéa).

Pour les contraintes, cherchez plutôt au niveau du Rpe, ou de la "résistance à la limite élastique". On ne dimensionne en général une pièce que dans le domaine élastique, donc on reste en dessous de cette limite (voir graphe contrainte - déformation classique). C'est à cette valeur limite que sera comparée la contrainte de flexion dans les poutres (qui sera déterminée par le calcul d'après les sollicitations appliquées). J'ai pas de valeur de Rpe pour le bois, mais avec une recherche approfondie, ca doit pouvoir se trouver. Attention par contre comme on l'a dit, le bois n'est pas isotrope, comme un composite (constitué d'une matrice et de fibres) il peut avoir une résistance différente dans le sens des fibres (généralement grande) ou perpendiculaire aux fibres (généralement faible) et donc des Rpe différents (un Rpe transversal et un Rpe longitudinal)...


Voila, désolé pour le roman,

Ib.