équation fondamentale de propulsion

[invite5657a4a1]

salut tout le monde! L'équation fondamentale de propulsion est une equation qui montre comment un vesseau accélère dans l'espace en perdant de la masse:
delta(V)=V’*ln(m/m’)-delta(Vo) où V est la vitesse du lanceur
V’ est la vitesse des gaz éjectés
m est la masse initiale du lanceur
m’ est la vitesse finale du lanceur
delta(Vo) est un facteur de pertes dues à la gravité et aux frottements.
vous trouver la démonstration dans ce site: http://membres.lycos.fr/vulcain5/ dans la partie:
I] Principes fondamentaux de la propulsion astronautique
1) Etude physique
LE PROBLEME, c'est qu'il y a une faute dans la démonstration au niveau du passage de:
mV = (m-dm)(V+dV)+dm(V+dV-W) à m dV = -W dm
Alors la je bloque !!! parceque sans cette faute on aurait pas pu démontrer cette équation et il y aurait pas de propulsion: le vesseau perd à la fois la masse et la vitesse: absurde!
Alors je vous prie je jeter un coup d'oeil sur la démonstration pour essayer de repérer l'origine de l'erreur....Merci d'avance!
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[invite0bbfd30c]

LE PROBLEME, c'est qu'il y a une faute dans la démonstration au niveau du passage de:
mV = (m-dm)(V+dV)+dm(V+dV-W) à m dV = -W dm

Effectivement il y a une erreur de signe. L'autre erreur (celle que tu recherches) qui vient "compenser" celle-ci pour aboutir au résultat juste est une confusion dans la définition de dm. En effet le dm physique étant négatif (puisqu'il correspond à une perte de masse de la fusée) il faut écrire :

mV = (m+dm)(V+dV)-dm(V+dV-W) soit m dV = -W dm

voilou...

[invitea29d1598]

salut,

le problème c'est que W doit être la vitesse du gaz par rapport à la fusée. Ainsi, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit

mV = (m-dm)(V+dV)+dm(V+dV+W) et non

mV = (m-dm)(V+dV)+dm(V+dV-W)

car cette équation se situe dans le référentiel inertiel et la vitesse du gaz par rapport à celui-ci est la vitesse par rapport à la fusée W (grandeur algébrique - voire vectorielle - de signe inconnu) plus celle de la fusée par rapport au référentiel inertiel V + dV

et merci de ne pas poster 3 fois le même message la prochaine fois...

[edit]croisement avec Chip : le dm peut être posé positif par définition, c'est pas un problème... je trouve que c'est plus génant pour la vitesse car si on le fait on utilise une orientation pour la vitesse de la fusée différente de celle pour le gaz d'où l'erreur facile... m'enfin, c'est affaire de goûts

[invite0bbfd30c]

croisement avec Chip : le dm peut être posé positif par définition, c'est pas un problème... je trouve que c'est plus génant pour la vitesse

Pour moi on ne peut pas poser dm positif dans l'équation que tu as écrite Rincevent, car c'est la différentielle de m. Par contre il n'y a pas de problème fondamental à poser W positif (pourvu qu'on écrive l'équation en conséquence) comme étant la valeur absolue de la vitesse déjection des gaz de propulsion, et c'est ce qui est fait dans l'équation que chanass voulait démontrer (voir sa page web) du coup j'ai adopté cette définition.

Tu remarqueras d'ailleurs qu'avec ta nouvelle définition de W, la résolution de l'équadiff donnera un résultat faux... Il faut bien changer le signe de dm dans l'équation (pour le signe de W c'est un détail qui dépend de sa définition).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

Pour moi on ne peut pas poser dm positif dans l'équation que tu as écrite Rincevent, car c'est la différentielle de m.

non, c'est l'opposé de la différentielle...

plus sérieusement : c'est une petite variation dont tu sais qu'elle va être une contribution négative à la masse... donc pourquoi ne pas utiliser sa valeur absolue comme variable? pas de problème je crois : le dm est le taux d'acroissement de la masse du gaz épicétou...

c'est ce qui est fait dans l'équation que chanass voulait démontrer (voir sa page web) du coup j'ai adopté cette définition.

j'ai pas regardé la page

Tu remarqueras d'ailleurs qu'avec ta nouvelle définition de W, la résolution de l'équadiff donnera un résultat faux... Il faut bien changer le signe de dm dans l'équation (pour le signe de W c'est un détail qui dépend de sa définition).

euh, pourquoi c'est faux pour résoudre l'équadif ? que ce soit dm (avec ma convention) ou W (avec la tienne) qui soit positif on obtient la même chose étant donné que l'autre est négatif, non ? dans un cas tu compareras la vitesse de la fusée en fonction de sa masse (positive mais décroissante) et dans l'autre en fonction de la masse de gaz éjecté (positive et croissante). M'enfin, tu as raison que ça dépend de ce qu'on veut obtenir par la suite dans le site et que je n'ai pas regardé

[invite0bbfd30c]

euh, pourquoi c'est faux pour résoudre l'équadif ? que ce soit dm (avec ma convention) ou W (avec la tienne) qui soit positif on obtient la même chose étant donné que l'autre est négatif, non ?

On arrive à la même équation mais avec une signification différente puisque nous n'avons pas la même définition de dm et W... On peut résoudre l'équadiff pour s'en convaincre : on arrive tous les deux à la même expression, ce qui est embêtant car elle ne contient plus de dm mais elle contient bien W (pour laquelle on a des définitions opposées, donc l'un de nous deux fait une erreur ).

J'insiste : m ayant été défini comme la masse de la fusée (si si), lorsqu'on regarde l'impulsion totale à t et à t+dt, la quantité dm est négative. On ne peut pas la définir comme une quantité positive, cela mène à une erreur. Par contre on peut, pourquoi pas, changer de définition pour W (comme tu le fais), ça ne pose pas de problème à condition de récrire d'équation en conséquence (idem) et de se souvenir qu'on a pris une autre définition au moment d'interpréter le résultat.

[invitea29d1598]

on arrive tous les deux à la même expression, ce qui est embêtant car elle ne contient plus de dm mais elle contient bien W (pour laquelle on a des définitions opposées, donc l'un de nous deux fait une erreur )

moi j'arrive à une expression qui dépend de la masse de gaz éjecté et non de la masse de la fusée, c'est tout...

mais je suis allé voir sur le site : si effectivement on veut la vitesse de la fusée en fonction de ses masses initiale et finale, tu as raison. Mais je t'assure que tu peux très bien résoudre le truc en obtenant comme variable la masse de gaz éjecté...

J'insiste : m ayant été défini comme la masse de la fusée (si si),

ok, le truc c'est que pour moi "dm" n'est pas la différentielle de m mais une petite correction apportée à m et qui est plutôt la différentielle de la masse de gaz éjecté...

On ne peut pas la définir comme une quantité positive, cela mène à une erreur.

non, non : cela change la variable de dépendance, c'est tout

à condition de récrire d'équation en conséquence (idem) et de se souvenir qu'on a pris une autre définition au moment d'interpréter le résultat.

je dirais plutôt que c'est en travaillant qu'avec des vitesses positives (comme tu le fais ) qu'on change la convention usuelle : une vitesse est une grandeur algébrique...

m'enfin, on est d'accord sur la physique du truc et je pense qu'on a tous les deux mieux à faire que de s'éterniser sur des notations...

[Duke Alchemist]

bonjour !

juste une remarque avant :
m' est la masse finale du lanceur (pas la vitesse... !)

ce qui ne va pas dans ton raisonnement, c'est l'expression de la quantité de mouvement concernant les gaz éjectés.
en reprenant tes notations, on a :
(il ne faut pas oublier que c'est une relation vectorielle !)
p(t) = mv
p(t+dt) = (m-dm_G)(v+dv) + dm_G v_G)
où v_G représente la vitesse "absolue" d'éjection des gaz.

On pose la vitesse "relative" d'éjection des gaz par rapport à la fusée w = v_G - v.
C'est une vitesse relative dont le sens n'est pas imposé, on peut donc choisir un sens arbitraire (la question du signe ne se pose alors plus !)

D'après la conservation de p, on a : (m-dm_G)(v+dv) + dm_G*v_G = mv
qui devient (w+ dv)dm_G = mdv
et en négligeant les termes du deuxième ordre, cela devient :
wdm_G = mdv
ce qui scalairement devient : wdm = mdv...
La suite tu connais

Dites moi si je me trompe, mais ça marche bien, non ?

See ya !

[invite0bbfd30c]

moi j'arrive à une expression qui dépend de la masse de gaz éjecté et non de la masse de la fusée, c'est tout...

Bon, j'avoue que je ne comprends pas trop ce que tu veux dire. Dans ton équation m c'est la masse de la fusée, non? mV ce n'est pas l'impulsion de la fusée à l'instant t? La notation usuelle pour la perte de masse de la fusée par unité de temps c'est -dm/dt, non? bref...

je dirais plutôt que c'est en travaillant qu'avec des vitesses positives (comme tu le fais ) qu'on change la convention usuelle : une vitesse est une grandeur algébrique...

Oui oui, je suis bien d'accord avec ça, j'ai juste repris la définition donnée par chanass (W = vitesse d'éjection des gaz, en valeur absolue, dans le référentiel de la fusée) pour ne pas compliquer inutilement.

m'enfin, on est d'accord sur la physique du truc et je pense qu'on a tous les deux mieux à faire que de s'éterniser sur des notations...

Vrai...

[invite5657a4a1]

Je tiens d'abord à vous remércier tous pour l'aide précieuse que vous m'avez apporté...
beh, moi j'opte pour la première reponse... dm est une quantité négative. En fait le vesseau perd de la masse. En ce qui conserne W, c'est la vitesse relative des gaz éjéctés par rapport à la fusé... donc c'est une quantité positive, bien que ces gaz soient éjéctés dans le sens contraire du mouvement de la fusé.
je me permet de faire un petit commentaire sur vos réponses: beh le seul souci étais de chercher un signe (-). Il fallait le mettre là oû il faut... W ne peut pas etre affécté d'un signe (-) car les gaz éjéctés et la fusé ont des sens opposés quant à leur vitesses... donc la vitesse absolu doit etre la différence et non pas la somme...
LE PROBLEME qui se pose maintenant, est ce que V+dV-W est positif oû négative?? si cette quantité est positive, la démonstartion est terminé (il reste à montrer qu'elle est positive!!), mais si on a le contraire... alors il faut faire la différence des quantités de mouvement des gaz éjéctés d'une part et de la fusé d'une autre part... car alors, ces deux derniers auraient des sens opposés dans leur mouvement... pour etre plus clair, les quantités de mouvement sont des vecteurs, donc si on veut ecrir scalairement leur somme, on doit tenir compte du sens des vecteurs représentant chaque quantité...
Bref, dites moi si V+dV-W est positif ou bien négatif... merci encore!

[invitea29d1598]

Bon, j'avoue que je ne comprends pas trop ce que tu veux dire. Dans ton équation m c'est la masse de la fusée, non? mV ce n'est pas l'impulsion de la fusée à l'instant t? La notation usuelle pour la perte de masse de la fusée par unité de temps c'est -dm/dt, non? bref...

c'est là le problème : je n'avais pas essayer de résoudre l'équation diff finale et ne l'avais même pas regardée...

Tu avais absolument raison : puisque la variable m intervient dedans, pour arriver au résultat mythique dont je parlais, faut se casser la tête inutilement et artificiellement...

Oui oui, je suis bien d'accord avec ça, j'ai juste repris la définition donnée par chanass (W = vitesse d'éjection des gaz, en valeur absolue, dans le référentiel de la fusée) pour ne pas compliquer inutilement.

et moi j'avais juste repris la convention "dm" = masse de gaz, mais c'est une mauvaise idée

[invite0bbfd30c]

LE PROBLEME qui se pose maintenant, est ce que V+dV-W est positif oû négative??

Ça n'a pas vraiment d'importance. Il s'agit de la vitesse des gaz éjectés, dans ton rérérentiel d'inertie et selon un axe orienté dans le sens du déplacement de la fusée. Cette vitesse peut être orientée à l'inverse de la vitesse de la fusée (donc valeur algébrique négative), ou bien dans le sens de la vitesse de la fusée (donc valeur algébrique positive) si la fusée a atteint une vitesse supérieure à la vitesse d'éjection des gaz (prise en norme et dans le référentiel de la fusée, bref W). Dans les deux cas la fusée va accélérer...

[EDIT]Ok Rincevent on s'est compris!

[invite5657a4a1]

Ok je vois bien, merci encore... Mais dites moi, vous savezr pas une autre façon de montrer comment la fusèe decolle que celle qui repose sur la propulsion? une manière plus intuitive... en fait, on peut voir la fusè avec les gaz qu'elle éjécte comme un seul corps isolé,et de ce fait, son centre d'inertie restra immobile... alors lorsque qu'une masse (de gaz) se séparre de la fusé, celle-ci doit se vouvoir de telle sorte que le centre d'inertie du système (fusé+masse de gaz éjécté) reste dans sa position initiale... je sais que ce n'est pas tres intuitive, alors essayez de trouver une autre manière que la propulsion pour montrer comment la fusé se meut... merci encore!

[BioBen]

celle-ci doit se vouvoir de telle sorte que le centre d'inertie du système (fusé+masse de gaz éjécté) reste dans sa position initiale...

Euh non il va bouger ....

Mais dites moi, vous savezr pas une autre façon de montrer comment la fusèe decolle que celle qui repose sur la propulsion?

Bah ca c'est vraiment la facon la plus simple, c'est juste une application tout bête du pfd avec le gaz qui sort à une certain débit... je vois pas ce qui te pose problème, c'est tout à fait abordable à bac+1.

[zoup1]

Euh non il va bouger ....

Ben si ! Si le système {fusée + Masse de gaz expulsé} peut-être considéré comme isolé, alors le centre de gravité de ce système ne "bouge pas" ou plutot continu sans modification de sa vitesse.

C'est vrai que tout cela n'est pas forcément très intuitif, enfin, tout dépend de quoi est capable son intuition !!!

[BioBen]

ou plutot continu sans modification de sa vitesse.

de telle sorte que le centre d'inertie du système (fusé+masse de gaz éjécté) reste dans sa position initiale...

Oui mais il ne reste pas à sa position initiale comme il le dit dans on message...

[invite5657a4a1]

ou plutot continu sans modification de sa vitesse.

si on considère que la fusé est isolé des le début... alors son centre d'inertie ne bougera pas, car sa vitesse est nul...
eu fait, ici on a fait seulement un modèle en negligeant les forces extérieurs... alors qu'en realité, le centre d'inertie ne reste pas immobile...
sinon, pouvez vous trouver une manière plus "sofistiqué" pour expliquer comment la fusé decolle...