Etude de la trajectoire d'un astre

[Sup35]

Bonjour, j'ai un DL à rendre pour demain et il me reste 2 - 3 questions à faire mais je rame un peu ...

Voilà le sujet:

Dans ce problème, on considère le soleil comme un astre à symétrie sphérique dont le centre S peut être pris comme l'origine d'un référentiel galiléen (référentiel de Copernic). On étudie le mouvement d'un astre M assimilable à un point matériel de masse m; celui-ci n'est soumis qu'à la force de gravitation due au soleil dans les parties I, II, III. On note G la constante de gravitation universelle et Ms la masse du soleil.

Données: G = 6,67 x 10^-11 SI et Ms = 2 x 10^30 kg

I - Etude générale des trajectoires possibles.

1) On suppose m << Ms. Que justifie cette hypothèse ?
=> J'ai répondu que, comme l'astre n'est soumis qu'à la force de gravitation due au soleil, et puisque l'on est dans un référentiel galiléen, la masse de l'astre doit être inférieure à celle du soleil

2) Quelles sont les principales caractéristiques du mouvement d'un point matériel dans un champ de forces centrales conservatives ?
=> J'ai répondu que le moment cinétique et l'énergie mécanique se conservent, que le mouvement est plan et que ce mouvement vérifie la loi des aires.

3) On cherche à étudier le mouvement en coordonnées polaires et on pose g = GMs et u = 1/r.
Dans le cas de l'intéraction gravitationnelle, en raisonnant sur l'énergie mécanique E montrer que la trajectoire de M vérifie l'équation différentielle:

(du/d)² + u² - u =

où et sont des constantes que l'on exprimera en fonction de g, m, E et du moment cinétique L de l'astre M
[Conseil du prof: On pourra commencer par démontrer la première formule de Binet : v² = C²[(du/d)² + u²]

Voilà, c'est à cette question que je bloque. J'ai réussi sans problème à démontrer la formule de Binet mais après je suis à court d'idées.
Pour le raisonnement sur l'énergie mécanique, je me doute qu'il faut partir de la définition (Em = Ec + Epp) mais après ...

4) Résoudre cette équation et montrer que la trajectoire de M est une conique dont on calculera l'excentricité e et le paramètre p en fonction de et puis en fonction de g, m, E et L
[ Conseil du prof: On pourra dériver l'équation (1) par rapport à , résoudre cette nouvelle équation différentielle et enfin déterminer les constantes d'intégration en injectant la solution trouvée dans l'équation (1)]

Je ne me suis pas encore penché sur cette question ...

Voilà, merci d'avance à tous ceux qui voudront bien m'aider.
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[LPFR]

Bonjour.
1-Le centre de masses des deux corps ne bouge pas. Cela veut dire que le centre de masses de chacun des corps bouge autour du centre de masses commun. L'hypothèse permet de dire que le centre de masses coïncide avec le point d'attraction.
2-Vous oubliez surtout la conservation du moment angulaire (cinétique). La loi de conservation des aires n'est pas une loi physique, mais une conséquence des lois de Newton.

3- une fois que vous avez démontre Binet, vous avez l'énergie cinétique. Il suffit d'ajouter l'énergie gravitationnelle et dire que la somme est constante.

4- Une fois que vous aurez résolu l'équation il faut la mettre sous la forme canonique d'une conique en coordonnées polaires:



où ε est l'excentricité.
Au revoir.

[Sup35]

Merci pour ta réponse.
Pour la question 1), peut-on dire que la masse du soleil doit être très supérieure à celle de l'astre pour que le mouvement relatif de l'astre puisse correspondre au mouvement du centre d'inertie ?

Pour la question 2), j'ai précisé la conservation du moment cinétique aussi.

Pour la question 3), j'ai:
Ec = 1/2mv² = 1/2mC²[(du/d)² + u²]
Ep = -GmMs/r = -G*m*Ms*u
D'où:
Em = Ec + Ep = 1/2mC²[(du/d)² + u²] -G*m*Ms*u
Or, on sait que l'énergie mécanique se conserve, donc 1/2mC²[(du/d)² + u²] -G*m*Ms*u = constante
Mais après je ne sais plus trop quoi faire ...

[Sup35]

A la limite, je pense qu'on peut faire deux trucs:

Soit, étant donné que l'énergie mécanique se conserve, on a:

Emi = Emf
Eci + Epi = Ecf + Epf
1/2mC²[(du/d\theta)² + u²] -G*m*Ms*u = ? (Quelle est l'expression de l'énergie mécanique à l'arrivée ? Je serais tenté de dire que (du/d\theta) est nul car u ne varie plus, donc que Emf = -GmMsu ?)


Ou alors, continuer avec une constante qu'on ne connait pas, en disant:
1/2mC²[(du/d\theta)² + u²] -G*m*Ms*u = cte
[(du/d\theta)² + u²] - 2GmMsu/mC² = 2cte/mC²
[(du/d\theta)² + u²] - 2 GMsu/C² = 2cte/mC²
[(du/d\theta)² + u²] - 2gu/C² = 2cte/mC²

Le problème c'est que l'énoncé demande à avoir un moment cinétique, mais avec ce résultat ... peut pas :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sup35]

Ah si, c'est bon:
On a montré:
[(du/d\theta)² + u²] - 2gu/C² = 2E/LC
avec: alpha = 2g/C²
et: beta = 2E/LC
Je vais me débrouiller pour la question suivante

Par contre, pour la toute première question, pouvez vous confirmer que la masse du soleil doit être très supérieure à celle de l'astre pour que le mouvement relatif de l'astre puisse correspondre au mouvement du centre d'inertie ?

[LPFR]

Par contre, pour la toute première question, pouvez vous confirmer que la masse du soleil doit être très supérieure à celle de l'astre pour que le mouvement relatif de l'astre puisse correspondre au mouvement du centre d'inertie ?

Re.
Oui, pour pouvoir prendre la masse du soleil comme centre de masses d'un astre et du soleil, il faut que la masse de l'astre soit très petite comparée à celle du soleil.
Mais ce n'est pas une supposition trop restrictive. On peut démontrer que deux objets des masses comparables tournent autour de leur centre de masses commun et chacun voit une force centrale venant du centre de masses comme produite par un objet immobile dont la masse est facilement calculable.
A+