Transformation de Lorentz-Poincaré

[Rhodes77]

Bonjour le fourm

Je révise la relativité restreinte (quelle idée oui... je sais !), et je me pose une question:

Quel sens faut-il donner à ce que le déterminant de la forme matricielle de la transformation de Lorentz-Poincaré vaille 1 ?

En reprenant mes notes tirées du Hladik et Chrysos, je relis que det(L)=1 où L s'écrit L={(gamma, 0, 0, -gamma.béta); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (-gamma.béta, 0, 0, gamma)}
Navré je suis une daube en TeX !

J'espère avoir été clair dans ma question,

Je vous remercie d'avance
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[mariposa]

Bonjour le fourm

Je révise la relativité restreinte (quelle idée oui... je sais !), et je me pose une question:

Quel sens faut-il donner à ce que le déterminant de la forme matricielle de la transformation de Lorentz-Poincaré vaille 1 ?

Je vous remercie d'avance

Le groupe de Poincaré est défini comme l'ensemble des transformations qui laissent invariante la forme quadratique:

s2 (X1,X2) = c2(t1-t2)2 -( x1-x2)2

avec X1 de coordonnée (t1, x1)

Autrement dit la métrique de Minkowski.

je raisonne avec une dimension spatiale.

Alors le déterminant de la transformation vaut det M = 1 si la transformation est directe (et -1 dans le cas contraire)

[invite24327a4e]

Bonjour,
Lorsque tu imposes la condition que la pseudo-norme de tous 4-vecteurs est invariante sous une certaines transformations L, tu montres facilement qu'il existe 4 types de transformations qui satisfont à ces conditions. Tu as d'une part, le groupe de Lorentz qui est composé de ces transformations de déterminant 1 et d'élément >= 1, mais d'autre part l'ensemble de ces transformations de déterminant 1 avec <= -1, et de meme avec celles de det -1.
Le fait que det L = 1 signifie que la transformation conserve l'orientation dans l'espace, i.e., c'est une rotation et pas une réflexion. Le fait que>=1 signifie que la transformation conserve le sens du temps, on dit alors qu'elle est orthochrone.
Tu peux également montrer qu'il existe des transformations pour passer d'un de ces ensembles aux autres. Par exemple, la transformation P = diag(1,-1,-1,-1) (qui n'est autre que le tenseur métrique) te permet de passer d'une transformation de det 1 a -1 et renverse donc l'orientation de l'espace, et T = -P te permet de renverser le sens du temps et de l'espace car de det -1. (le produit PT ne renverse que le temps par contre).

[Rhodes77]

Arf malheureusement, mon parcours post-bac a été très...inhabituel on va dire.
Aussi n'ai-je de notions en maths que celles qui sont utiles à la physique type licence.
Je ne comprends donc pas ce qui est entendu par "transformation directe ou indirecte", j'ignore quasiment tout des "groupes" et Go*gle me renvoie des liens vers les transformations du discours direct, donc rien à voir .

Par contre, je suis d'accord avec l'invariance du carré de l'intervalle entre les événements dans la TLP.

Oserais-je vous demander sans abuser de bien vouloir continuer d'éclairer ma lanterne ?
Merci à vous

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite24327a4e]

Le groupe de Poincaré est défini comme l'ensemble des transformations qui laissent invariante la forme quadratique:

s2 (X1,X2) = c2(t1-t2)2 -( x1-x2)2

avec X1 de coordonnée (t1, x1)

Autrement dit la métrique de Minkowski.

je raisonne avec une dimension spatiale.

Alors le déterminant de la transformation vaut det M = 1 si la transformation est directe (et -1 dans le cas contraire)

Plus exactement le groupe de Poincaré est l'ensemble des transformations qui conserve ds², donc les translations s'ajoutent.

[mariposa]

Plus exactement le groupe de Poincaré est l'ensemble des transformations qui conserve ds², donc les translations s'ajoutent.

C'est la même chose et c'est même plus restrictif.

Il est inutile de préciser que les points espace-temps doivent être voisins.

[Rhodes77]

Bonjour,
Lorsque tu imposes la condition que la pseudo-norme de tous 4-vecteurs est invariante sous une certaines transformations L, tu montres facilement qu'il existe 4 types de transformations qui satisfont à ces conditions. Tu as d'une part, le groupe de Lorentz qui est composé de ces transformations de déterminant 1 et d'élément >= 1, mais d'autre part l'ensemble de ces transformations de déterminant 1 avec <= -1, et de meme avec celles de det -1.
Le fait que det L = 1 signifie que la transformation conserve l'orientation dans l'espace, i.e., c'est une rotation et pas une réflexion. Le fait que>=1 signifie que la transformation conserve le sens du temps, on dit alors qu'elle est orthochrone.
Tu peux également montrer qu'il existe des transformations pour passer d'un de ces ensembles aux autres. Par exemple, la transformation P = diag(1,-1,-1,-1) (qui n'est autre que le tenseur métrique) te permet de passer d'une transformation de det 1 a -1 et renverse donc l'orientation de l'espace, et T = -P te permet de renverser le sens du temps et de l'espace car de det -1. (le produit PT ne renverse que le temps par contre).

Woh... tout cela m'est violent. Par contre, j'avais saisi que ds²=cste sous-tendait la conservation de distances et que la TLP était mathématiquement équivalente à une rotation dans l'espace-temps.
C'est donc à cela qu'aboutit detL=1.
Je n'ai malheureusement pas le temps de me plonger dans l'algèbre des groupes, mon parcours a voulu que je doive apprendre la RR par mes propres moyens et elle est au programme de l'agreg qui tombe dans... 3 semaines ! Du coup je sauve un peu les meubles.

Je retiens donc que detL=1 est à lier à ce que la TLP est équivalente à une rotation.
Merci à vous deux !

[mariposa]

Oserais-je vous demander sans abuser de bien vouloir continuer d'éclairer ma lanterne ?
Merci à vous

Il faudrait que tu précises tes questions.

Je comprends que tu te restreignes à des math utiles pour la physique. Le problème est de savoir l'étendue du domaine de restriction.

Apparemment tu ne sais pas ce qu'est un groupe et là il te faut apprendre ce que sont les grandes structures mathématiques car celles-ci sont incontournables pour la physique.

Parmi les grandes structures mathématiques il faut au minimum (et donc par priorité) ce que sont:

structure de groupe.

structure de corps

structure d' espace vectoriel

Dans un second temps

Structure d'anneau

Structure d'algébre.

[Rhodes77]

Aïe j'ai peur que ça me prenne plus de temps que prévu du coup !
C'est entendu, je me mettrai à la page, mais ça sera pour plus tard surement.

C'est gentil à vous de m'avoir répondu.