résolution equation second ordre

[invite5411484d]

Bonjour, je cherche une solution à l'equation suivante:
où a est une constante.

Connaitriez vous une methode de resolution svp?

Merci d'avance!
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[inviteaa0ade65]

Bonjour

Bonjour, je cherche une solution à l'equation suivante:
où a est une constante.

Connaitriez vous une methode de resolution svp?

Merci d'avance!

Multiplie les deux membres de ton égalité par le facteur intégrant et identifie les dériviées de deux expressions.

Par intégration tu obtiens alors une équation du premier ordre à variables séparables (je n'ai pas regardé plus loin pour voir si c'est facile après, je te laisse ce plaisir )
Cordialement

[inviteb836950d]

Dit autrement :
pose p=dy/dx
alors d²y/dx²=pdp/dy
soit pdp=-ady/y²
après faut intégrer...

[invitef7c60cdf]

ta proposition philou est astucieuse, mais il faut tout d'abord rapeller le contexte de cette équation différentielle.Il faut dans un premier dire que c' est une équation non linéaire du 2éme ordre ( a cause du y au carré).D'aprés le théoréme de Cauchy-Lipstz ( il faudrait préciser une valeur y(x°)=y°) il existe une unique solution maximale sur un intervalle I.
Et maintenant utilise l'astuce de philou,je l'est fait sur mon papier,il n'y a aucune diffucultés!

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

ca alors, c'est le cas typique de l'équation de la position d'un objet tombant sur un astre en fonction du temps:



Je vais chercher de mon coté, quand vous aurez trouvé, faite tourner la réponse svp

[mc222]

Bon, voila ou j'en suis:

[inviteaa0ade65]

Bonsoir

Bon, voila ou j'en suis:

Non. Pour passer de la première à la seconde ligne il faudrait que y soit une constante, ce qui n'est pas le cas !

Lis la démarche proposée plus haut.

[invite7bd3b9d6]

Bon, voila ou j'en suis:

on a plus qu'à intégrer des deux cotés.
à gauche on reconnait la forme f''f' = 1/2((f')²)'
à droite on reconnait la forme -a.f'/f²= (a1/f)'

donc on obtient





on reconnait a gauche la forme f'.f^n qui a pour primitive 1/(n+1)f^n+1,
PS: j'ai oublié toutes les constantes.... d'intégration des primitives.

[mc222]

Salut, sauf qu'en intégrant, comme ca, on est obliger de mettre des constantes, moi en physique, je somme entre deux états en général, donc la constante en question est la borne inférieur de mon intégrale, en maths, on la notes k, ou C, en tout les cas, on est obligé de la mettre.

[mc222]

il n'y a aucune diffucultés!

Je demande à voire

[inviteaa0ade65]

Bonjour

donc on obtient

Hormis les constantes d'intégration il faut faire attentention au passage entre les deux lignes précédentes (prise de la racine carrée).

Il faudrait connaître la physique du problème représenté par cette équation pour savoir si on aboutit à (dans le cas où a et y sont positifs)


ou a



On peut même imaginer a négatif...

Peut-être que rizaucurry999 (qui ne s'est plus beaucoup manifesté) pourrait nous en dire plus

Cordialement

[mc222]

Salut, apres la première intégration, on doit obtenir quelque chose comme ca:



Ce qui est l'équation de la vitesse d'un objet tombant sur un corps céléste en fonction de la distance, mais cela correspond surment à d'autre choses.

[Calvert]

Salut !

Le détail de la résolution de cette équation avait été donnée dans ce poste.

[mc222]

très bien vu, c'est du beau boulot, ya rien a redir.

[invite5411484d]

Merci pour vos reponses tout d'abord. Ensuite j'ai refait comme expliqué dans l'ancien post mais je ne retrouve pas cette ligne:



d'où sort le alpha du 1er terme du membre de gauche??

[invite5411484d]

en fait, ce qu'il y a c est que moi je cherche à étudier l'autre cas: r/ri >=1 donc le changement de variable avec le cosinus ne marche plus... Quelqu'un aurait il une astuce?

[Calvert]

Dans ce cas, un changement de variable avec un sinh ou un cosh devrait faire l'affaire, mais je n'ai pas fait le calcul !

Et si je me souviens bien, les deux termes du résultat vient d'une intégration par partie.

[mc222]

salut, 1/2.sin(2a) + a est le résultat de l'intégration de 1-cos(2a) je crois me souvenir

[invite5411484d]

malgré tout, je ne retouve pas:



si on pose: et alors

donc


et apres on est bloqué, non??

[invite5411484d]

Je retrouve bien la ligne en fait car c'est en supposant une vitesse initiale nulle alors que je faisais le calcule en gardant . D'ailleurs dans le calcul que je veux faire, j 'ai bel et bien une vitesse et une position initiales non nulles... vous pensez que c'est tractable analytiquement?

[inviteaa0ade65]

Je retrouve bien la ligne en fait car c'est en supposant une vitesse initiale nulle alors que je faisais le calcule en gardant . D'ailleurs dans le calcul que je veux faire, j 'ai bel et bien une vitesse et une position initiales non nulles... vous pensez que c'est tractable analytiquement?

Comme je l'ai dit dans le poste numéro 11 de cette discussion, si tu nous donnais exactement le contexte de ta recherche (origine de l'équation, conditions initiales), on pourrait t'aider, car certaines implications dans la suite des lignes de calcul dépendent clairement de ce que tu modélises.

Cordialement

[invite5411484d]

Autant pour moi. Voici des détails: je cherche à résoudre l'équation du mouvement d'un point matériel s'éloignant d'un point central O. Le point matériel est donc soumis uniquement à la gravité. On prend pour condition initiale que le point matériel est à une distance r0 de O et à une vitesse v0. Je cherche r(t) au temps t>t0 (et plus particulierement pour connaitre la distance à laquelle se situera mon point materiel du centre quand il aura une vitesse nulle cad quand il s'arretera).
Donc pour cela je cherche à integrer .
En multipliant par la vitesse de chaque coté je peux integrer sans souci et introduire mes conditions initiales r0 et v0.

Apres par contre, j'obtiens que je n'arrive pas à integrer.

Voila mon souci et merci pour votre aide!

[inviteaa0ade65]

et plus particulierement pour connaitre la distance à laquelle se situera mon point materiel du centre quand il aura une vitesse nulle cad quand il s'arretera).

Si c'est juste cela, inutile d'intégrer l'équation du mouvement ! Tu n'as qu'à passer par la conservation de l'énegie.

Si j'ai bien compris cela suppose que tu lances ton point matériel en direction opposée du corps attracteur. C'est ça ?

[invite5411484d]

oui, c'est ça. J'aimerais quand meme deriver l'expression d'evolution de r(t).

[mc222]

Apres par contre, j'obtiens que je n'arrive pas à integrer.

Voila mon souci et merci pour votre aide!

Enfait:

On a cette intégrale:



et puis celle la:



ensuite, faut poser le bon changement de variable, un sinh²(x) ou un cos²(x) quelque chose comme ca je dirais.

[inviteaa0ade65]

oui, c'est ça. J'aimerais quand meme deriver l'expression d'evolution de r(t).

Bon alors ton équation est correcte.

En revanche, je ne pense pas qu'il y ait une solution analytique (je pense que l'on doit pouvoir se ramener à une intégrale elliptique par changement de variable).

Il te reste une intégration numérique.

Pour la question qui t'intéresse, la solution de la conservation de l'énergie marche sans doute très bien.

Cordialement

[invite5411484d]

En posant, , je trouve:


donc je dois pouvoir trouver une solution graphique, non?

[mc222]

Salut, je crois que j'ai résolut le problème si on ne tien pas compte d'une vitesse initiale:

Apres beaucoup de réfléxion et de rigueur j'arrive a ca:



voilà, j'espère que ca interressera certain, ou que ca sucitera la réaction d'autres.

[mc222]

en tout cas ,c'est une équation transendante, on pourra pas exprimer r en fonction de t