Calcul d'un moment d'inertie

[invitee3c836fb]

Bonjour, je me présente je suis en MP et pour mon TIPE (une sorte d'exposé pour l'oral pour les etrangers à ces sigles ^^), grossièrement, j'analyse un vélo fabriqué à l'aide d'une roue non ronde, plus particulièrement un triangle de Reuleaux

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_de_Reuleaux

Plus particulièrement, j'ai enlevé au triangle de reuleaux de largeur L une partie circulaire intérieure, de rayon R.

http://img688.imageshack.us/img688/755/reuleaux.jpg

J'aurais besoin de calculer le moment d'inertie par rapport à G disons (son centre), mais je n'ai strictement aucune idée sur la manière de le calculer à partir de la formule J=int(r²dm), car le calcul de moments d'inertie n'est pas à mon programme de MP. Ceci me permettra de conclure sur la facilité ou non de pédaler avec une telle roue!

Merci d'avance à tout ceux qui voudront bien m'aider.
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[invitea3eb043e]

Un solide coup de pifomètre devrait te permettre d'assimiler ton objet à un disque de rayon bien choisi. En fait, la différence entre les moments d'inertie de l'extérieur et de l'intérieur.

[invitee3c836fb]

Donc je peux considerer le moment d'inertie de mon triangle de reuleaux plein et celui du disque plein et les soustraire?
Pour le disque le moment d'inertie est partout sur la toile.
je vois mal comment assimiler mon triangle de reuleaux à un disque, meme avec toute la volonté physique du monde...

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Le calcul est assez tarabiscoté. On découpe la figure en trois (par la symétrie). Chaque tiers est formé d'un triangle plus un segment. Pour le triangle on peut faire le calcul direct ou le trouver sur web. Pour le segment c'est un peu plus rare, mais vous l'avez ici. Bon, il faut l'adapter, car il est purement géométrique, il faut ajouter la masse, et il faut décaler l'axe de rotation.

Franchement je me demande si cela vaut la peine pour un vélo de clown.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Donc je peux considerer le moment d'inertie de mon triangle de reuleaux plein et celui du disque plein et les soustraire?
Pour le disque le moment d'inertie est partout sur la toile.
je vois mal comment assimiler mon triangle de reuleaux à un disque, meme avec toute la volonté physique du monde...

Tu fais passer un cercle qui grosso modo tantôt coupe le triangle et tantôt l'englobe. Sûr qu'à mieux que 5% tu auras juste.

[invitee3c836fb]

J'aime bien l'approximation par un cercle, mais comment mesurer l'incertitude d'une telle approximation?
Et sinon, ce n'est pas un vélo de clown -_- Y a six mois de travail derriere pour trouver comment faire rouler un tel truc, en trouver des invariants, trouvant le systeme qui permet au velo de ne pas osciller. Alors c'est un peu vache d'appeller ca vélo de clown

[invitea3eb043e]

Quelle est la précision recherchée ? Un calcul sophistiqué se justifie-t-il sachant que l'épaisseur n'est sûrement pas constante sur toute la surface ?
Un moyen simple : découper la forme dans du carton, percer un trou à une distance connue du centre et faire osciller comme un pendule. A partir de là, il est facile de calculer le moment d'inertie par rapport au point d'accrochage puis de G.

[invitee3c836fb]

La précision recherchée est exacte si possible. On va juste prendre le triangle de Reuleaux, defini par un unique paramètre, sa largeur L. L'epaisseur de la roue est constante, c'est pour ca qu'on se ramène à un calcul à deux dimensions (ce qui à mon avis simplifie le calcul). Je n'arrive pas à poser l'integrale exacte, j'imagine qu'il faudrait tout parametrer. Des lors dès que j'ai l'integrale je pense pouvoir m'en sortir, avec tout les outils qu'on a pour les calculer ^^

Si on le calcule par rapport à un coin, on peut avoir le sixieme de cercle de rayon L, mais il reste les deux bouts à gauche et à droite de cet arc de cercle, qui eux sont aussi difficiles à calculer. Ne pas l'approximer m'arrangerait, sinon je m'en contenterai.

Et j'ai regardé le lien de LPFR. Je parle de moment d'inertie massique qui sont en M R² (on supposera la masse repartie de facon homogène), et non ceux qui sont relatés à l'aire qui sont en r^4

[invite6dffde4c]

Et j'ai regardé le lien de LPFR. Je parle de moment d'inertie massique qui sont en M R² (on supposera la masse repartie de facon homogène), et non ceux qui sont relatés à l'aire qui sont en r^4

Re.
Moi aussi, je sais de quoi je parle.
A+

[Jaunin]

Bonjour, LinkinParkmetre,
Votre question sur le moment d'inertie massique du triangle de Reuleaux, mon intéressé.
Je n'ai pas réussi à trouver des informations sur le web à ce sujet.
Ce qui m'étonne un peu, étant donné que la forme est utilisée pour le piston rotatif du moteur Wankel.
Donc, je suis passé par le CAO.
J'en ai construit un, avec un triangle de 700 [mm] de côté, un trou au centre de 300 [mm] de diamètre
et de 40 [mm] d'épaisseur, en acier.
Donc, je connais son moment d'inertie massique.
Ensuite j'ai construit une "rondelle" en acier, de 40 [mm] d'épaisseur, avec un trou au centre de 300
[mm].
Ensuite j'ai calculé son diamètre extérieur pour que sa surface égale celle de la surface du triangle
de Reuleaux avec son trou au centre.
C'est un peu dans l'idée de Jeanpaul, que je salue.
Maintenant étant donné la forme du triangle de Reuleaux, avec ses 3 formes ver l'extérieur (fonction de
R^2),
j'ai multiplié le résultat du diamètre extérieur par un coefficient de 1.01.( à contrôler avec d'autre
forme)
Je sais, c'est tiré par les cheveux, ça manque de rigueur et LPFR, que je salue, va pas manquer de
m'attraper.
Ensuite en calculant avec la formule du tube J=(m1/2)xR1^2-(m2/2)xr2^2 [kg mm^2], j'obtiens les mêmes
résultats.
Je sais, cela ne vaut pas une belle intégrale.
Cordialement.
Jaunin__

R=>Rayon rondelle extérieur [mm]
S=>Surface Triangle Reuleaux [mm^2]
r=>rayon trou centre Triangle Reuleux [mm]

R=(sqrt(Pix(S+Pixr^2)))/(Pi) [mm]

[invitee0b658bd]

Bonjour,
Plutot qu'une methode mathematique frontale, j'emploirai plutot la maniere douce
on peut deja poser plusieures choses
on peut pour l'instant negliger le trou central, il sera facile de le prendre en compte à la fin
on sait déja ou est le centre de gravité
au passage on a 3 symetries donc les Ixx et Iyy sont egaux

on se retrouve avec un assemblage de formes geoetriques simples
j'ai pas de quoi dessiner ici alors je vais le faire avec des mots
1) on pose que les 3 sommets de la forme sont ABC et que le centre est G
2) on considere le secteur circulaire de centre C et de "corde" AB. calculer son moment d'inertie en C n'est pas un gros probleme
3) on considere le triangle CGA il est aussi facile de calculer son moment d'inertie en C
4) idem pour le triangle CGB c'est d'ailleurs le même
on retire ces deux moments d'inertie de celui du secteur circulaire
on transporte en G
on multiplie par 3
on retire la rondelle
fred

[invitee3c836fb]

qu'on vienne vérifier mes calculs, mais voici ce que j'obtiens avec la méthode de verdifre qui me parait astucieuse à souhait !

Pour le moment du secteur circulaire: Jc= pi/3 * p * L^4/4 (p est surfacique)
Pour le moment du triangle CGA (et CGB): Jt= int_s_(x^2+y^2)pdxdy= int (x=0..L/2, y=sqrt(3)/3 x ... 2 x, p( x² + y²) dy dx) = L^4 (63 - 5 sqrt (3) )/864, donné si gracieusement par la calculette

Donc ensuite Jtiers_enC = Jc - 2Jt = p L^4 (5sqrt (3) / 432 + pi/12 -7/48)
Et j'applique le theoreme de Huygens (et la je pense qu'il va y avoir une faute)
Jtiers_enG = Jtiers_enC - M/3 * (sqrt(3)/3 L)^2
D'ou Jtriangle_reuleaux_en_G = 3 Jtiers_enG =3Jtiers_enC - M *(sqrt(3)/3 L)^2

Or la surface d'un triangle de Reuleaux est (pi - sqrt(3))/2 L^2 = M/p
D'ou Jtriangle_reuleaux_en_G =M L^2 (12 pi² + (41sqrt (3) - 63) pi - 63 sqrt (3) + 87)/(72 (pi² - 3))
Résultat très laborieux ^^
ce qui donne en valeur approchée :
J = M L ² * (0.2456)
Ce qu'on peut approcher par J = ML²/4 ce qui m'etonne car pour un cercle de rayon L, on obtient le même résultat ^^
La seule différence qu'on a est sur la masse, comme le triangle de Reuleaux à une surface plus petite que le cercle, le M du triangle du Reuleaux est plus petit (pour un même p)
Ce qui m'etonne, c'est qu'on vient de trouver qu'il est plus facile de faire pivoter un triangle de reuleaux autour de G qu'un cercle.
Encore une propriété intéréssante du triangle de Reuleaux, si mes calculs ne sont pas erronés

Merci en tout cas à tous

[sitalgo]

Je n'ai pas réussi à trouver des informations sur le web à ce sujet.

Qui que tu sois, tu t'es trahi. C'est pas joli de se faire passer pour un autre. Le vrai Jaunin trouve toujours un lien.

[invitee3c836fb]

Pardon, je me suis trompé pour un cercle on obtient par rapport à l'axe Oz MR^2/2 , soit ML^2/8.
Donc ca parait plus logique au niveau du sens physique. Reste à vérifier la véracité de mes calculs

[Jaunin]

Bonjour, LinkinParkmetre,
Si vous voulez essayer avec les valeurs du triangle de Reuleaux que j'ai pris pour mes essais,
j'ai un résultat de 7.884 [m^2 kg].
Ou si vous avez des côtes spécifiques, je peux le refaire.
Cordialement.
Jaunin__

[invitee3c836fb]

Bah, pouvez vous les refaire avec L = 1, M = 1, et d'epaisseur 1, on va vite voir si on obtient environ 1/4

[Jaunin]

Bonjour, LinkinParkmetre,
Donc pour un triangle de Longueur de 1 de côté, Épaisseur de 1 et masse de 1, sans trou, j'obtient un résultat de 0.11653.
Je reviens un peu plus tard.
Cordialement.
Jaunin__

[invitee3c836fb]

Pardon de mon erreur.
Il faut considerer une epaisseur très faible devant 1
Mille fois plus faible si possible?
Car la le moment d'inertie prend en compte l'epaisseur, or ma considération est plane, ce qui à mon avis fausse le résultat.
Si on obtient toujours pas le bon, je reverrai mes calculs

Merci beaucoup !

[Jaunin]

Bonjour, LinkinParkmetre,
Donc pour un triangle de Longueur de 1 de côté, Épaisseur de 0.001 et masse de 1, sans trou, j'obtiens un résultat de 0.11653.
J'obtiendrais toujours le même résultat, étant donné que je suis obligé d'augmenter d'autant la densité pour toujours avoir une masse de 1.
Cordialement.
Jaunin__

[invitee3c836fb]

Je suis donc sensé avoir faux dans mon calcul. Quelqu'un peut il reprendre en détail mes étapes et m'indiquer mon erreur ?

[invitee0b658bd]

Bonsoir,

pour ma part, je reprendrait le calcul du moment d'inertie des triangles qui ne me semble pas "a priori" être bon
tu peux decomposer autrement ce triangle, tu remarque qu'il est isocele, tu place un point M surle milieu de CA et tu peux alors decomposer le triangle GCA en deux triangles rectangles en M
le calcul du moment polaire en M est simple
c'est m(AM²/6 + MG²/6) pour un des deux triangles rectangles
avec AM = L/2 et MG = L/4
la masse tu triangle est alors pL²/16
le moment d'inertie d'un de ces triangles est donc par rapport à M
pL²/16(L²/24 + L²/96) = pL²/16(5L²/96) = 5pL^4/(16*96)
on transporte d'une distance L/4 donc on ajoute pL²/16 * L²/16 = pL^4 /(16*16) = 8 pL^4/(16*96)

au total le moment d'inertie d'un de ces triangle est 13 pL^4 /(16*96)
comme on en a 4 en tout le moment d'inertie qui est à retirer au secteur est 13pL^4 /(4*96)

fred

[invitee0b658bd]

Oups.....
j'ai ecrit une grosse con..... dans le transport, il faut d'abord le ramener au centre de gravité du triangle avant de le retransporter en G
donc si je ne m'abuse

on transporte d'une distance L/4 donc on ajoute pL²/16 * L²/16 = pL^4 /(16*16) = 8 pL^4/(16*96)

au total le moment d'inertie d'un de ces triangle est 13 pL^4 /(16*96)
comme on en a 4 en tout le moment d'inertie qui est à retirer au secteur est 13pL^4 /(4*96)

cette partie est fausse et il faut lire
on transporte d'une distance L/4 * 1/3 soit L/12donc on ajoute pL²/16 * L²/144 = pL^4 /(9*16*16) = pL^4/(3*6*8*16)= 2pL^4/(3*16*96)
donc un des 4 petits triangles ramenés en G aurait un moment d'inertie de 41 pL^4(3*16*96)
pour l'ensemble des triangles on aurait 41 pL^4/(12*96) en G

mais a verifier
fred

[invitee0b658bd]

en y repensant, je me suis encore planté, je reprendrait cela au calme plus tard
fred

[Jaunin]

Bonjour, Sitalgo,
Je dois dire que je m'attendais à une remarque de ce genre.
Je l'ai trouvée très amusante, ça m'a bien fait rire, merci.
Cordialement.
Jaunin__

Qui que tu sois, tu t'es trahi. C'est pas joli de se faire passer pour un autre. Le vrai Jaunin trouve toujours un lien.

[Jaunin]

Bonjour,
Voici quand même quelques liens avec des informations pour le triangle de Reuleaux, si vous ne les avez pas déjà vus.
Cordialement.
Jaunin__(Le vrai)

http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html
http://mathenjeans.free.fr/amej/edit.../05reulea.html
http://www.etab.ac-caen.fr/le-castil...ous_carres.pdf
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-297398.html
http://abcmathsblog.blogspot.com/200...1_archive.html
http://www.raymondswan.com/shop/PDF%...re%20holes.pdf
http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourk...etry/reuleaux/

[invitee3c836fb]

A tous, dans l'integration du triangle en effet j'ai fais une grosse connerie
Reprenons:
C est en (0,0), l'axe des x pointe vers B, y orthogonalement par dessus.
A est alors en (L/2; sqrt(3)/2 L)
G est alors en (L/2; sqrt(3)/6 L)

Donc je reprend mon integration
Jt= int (x=0..L/2, y =sqrt(3)/3x...sqrt(3) x, x²+y² dy dx) =11 sqrt (3) L^4 / 432

Ca parait plus viable deja comme résultat.

Ensuite, Jc - 2 Jt = (pi/12 - 11sqrt(3)/216 ) p L^4
on ramène en G: Jtiers= (pi/12 - 11sqrt(3)/216 ) p L^4 - M/3 (sqrt (3)/3 L)²

et on divise par la surface le premier terme pour se ramener à M
et on multiplie par trois grâce aux symétries.

J = [3*(pi/12 - 11sqrt(3)/216 )/ ((pi - sqrt(3))/2) -1/3 ] ML²= [7(pi sqrt(3) +3)/ (36 *(pi² - 3)) + 1/6] ML² = 0.405 ML² = 2/5 ML²
Toujours pas concluant avec les résultats de Jaunin
Encore une faute?

[invitee3c836fb]

[EDIT] Pour vedifre: G est le centre de masse, centre de gravité, centre de tout hein ! Donc ya obligatoirement du racine de trois qui intervient dans ton calcul

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Pour le triangle, je trouve que c'est:

où µ est la masse surfacique et R le rayon et l'arête du triangle.

Pour chaque secteur c'est:


Je n'ai pas cherché à faire l'intégrale.
Au revoir.

[invitee3c836fb]

Quelle arête du triangle? Quel secteur?
Peut tu détailler un peu plus tes calculs, que je comprennes comment tu obtiens un tel résultat?

Merci beaucoup en tout cas

[invite6dffde4c]

Re.
Ne pas tenir compte du post précédent. Le limites sont faux dans les deux cas.
A+