Bonjour,
Si la dérivée seconde d'une fonction de l'énergie potentielle est négative, nous avons affaire à un équilibre instable (puisque la fonction en question est alors convexe).
Toutefois, il me semble bien qu'on peut avoir un équilibre instable avec une dérivée seconde de l'énergie potentielle nulle, comme ici :
Qu'en dites-vous ?
Je vous remercie
Bonsoir,
Techniquement, ta fonction n'est pas deux fois dérivables au point d'"équilibre", pour la bonne et simple raison que la dérivée première n'est pas continue.
Rectification du dernier message
Veuillez lire :
Oups...
ne peut-on pas imaginer une fonction dérivable en un point d'équilibre instable mais dont la dérivée seconde est nulle en ce point ?
un équilibre instable implique-t-il une pente qui se "raidit" ?
Merci bcp
Bonsoir,
Essaye de voir ce que donne une boule soumise à la pesanteur, posée en x=0 sur un profil d'équation z=H0(1-e(x0/x)2). C'est quasi-plat, mais pas tout à fait.
Mais c'est sans garantie que c'est ce que tu cherches. De mémoire, tu as là une fonction dont toutes les dérivées successives (au sens large puisqu'on les prolonge par continuité en x=0) sont nulles en x=0.
Bonne nuit...
merci pour ta réponse.
ne peut-on pas envisager autre chose que la pesanteur permettant un profil non accéléré (c'est-à-dire, il me semble, dont la dérivée seconde est nulle) ?
ps : plutôt que "un équilibre instable implique-t-il une pente qui se raidit", je crois qu'il aurait été plus malin de dire : "un équilibre instable implique-t-il une pente qui s'incurve (je veux dire se "convexise" ou se "concavise" (selon le type d'équilibre)).
Bonsoir,
La dérivée seconde du diagramme ci-dessus vautau sens des distributions. On ne peut donc pas dire qu'elle est nulle.
Bonne soirée
ça ne me dit rien... désolé.
Bonsoir,
Comme le dit Tiluc40, la dérivée seconde n'est pas définie en x=0. On ne peut donc pas dire qu'elle est nulle.
Bonsoir
D'accord.
Mais, pour reprendre un message précédent :
ne peut-on pas imaginer une fonction dérivable en un point d'équilibre instable mais dont la dérivée seconde est nulle en ce point ?
un équilibre instable implique-t-il une pente qui s'incurve (se "convexise" ou se "concavise" selon l'équilibre) ?
Merci
Babaz,
Il suffit de considérer un potentiel de la forme U(x)=-x^4. C'est une fonction paire, de dérivée seconde nulle au point d'équilibre x=0. Le point d'équilibre est instable.
Bonsoir
Effectivement, c'est le bon contre exemple. Il vaut mieux alors, dans ce cas où la dérivée seconde est nulle, s'intéresser à la valeur de la dérivée seconde autour du point considéré pour déterminer l'instabilité(ce qui au fond nécessiterait de s'intéresser à la dérivée d'ordre 4 ou même d'ordre 6,8,10,... si on répète cette interrogation récursivement).Envoyé par alebot
La curiosité est un très beau défaut.
Oui sauf que si la dérivée seconde est nulle, il faut aller un peu plus loin pour savoir si la fonction est concave ou convexe. Ces deux notions ne se définissent pas par définition par l'étude d'un point unique, c'est pour s'en écarter que l'on utilise les dérivées.Au final, une dérivée seconde nulle ne permet pas toute seule de déterminer l'état d'un équilibre.
La curiosité est un très beau défaut.
Merci beaucoup pour ta réponse.Oui sauf que si la dérivée seconde est nulle, il faut aller un peu plus loin pour savoir si la fonction est concave ou convexe. Ces deux notions ne se définissent pas par définition par l'étude d'un point unique, c'est pour s'en écarter que l'on utilise les dérivées.
Au fait... puisque la fonction -x^4 est bel et bien décroissante dès qu'on prend un x supérieur à 0, pourquoi a-t-on une dérivée seconde nulle en 0 ?
La dérivée (même seconde) a-t-elle une "résolution" limitée ?
(Est-ce peut-être pour cela que tu as indiqué qu'il fallait s'intéresser alors aux dérivées d'ordre supérieur ?)
Merci !
Oui, c'est bien ce que j'entendais dans mon explication. La "résolution" d'une dérivée est en effet limitée mais plus on prend des dérivées d'ordre supérieur et plus cette résolution est améliorée. On peut prendre l'exemple de la dérivée et de la dérivée seconde: en faisant tendre dx vers 0, la dérivée de f s'écrit en gros (f(x+dx)-f(x))/dx et sa dérivée seconde (f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x))/dx². Le fait que la dérivée seconde introduise un terme x+2dx montre bien qu'elle va chercher un peu plus "loin" que la dérivée première pour son calcul.
Pour revenir au problème, dans le cas où la dérivée seconde est nulle(on ne sait pas si la fonction est convexe ou concave), c'est pour cela que l'on a besoin des dérivées d'ordre encore supérieur pour voir encore légèrement plus loin la forme de la fonction.
La curiosité est un très beau défaut.
