Système mécanique , instabilité

[invite368d7bab]

Bonjour,
Je me pose une question : Un sytème mécanique (un ressort et une masse par exemple) peut-il avoir un réponse (en amplitude ou autre) qui tende vers l'infini s'il est excité ? ou alors on peut seulement atteindre une résonance donc seulement un maximum ?

Je voulais savoir si les problèmes de cassure des systèmes mécanique suite à un excitation (pont et soldat au pas par exemple) sont uniquement dues au fait que les forces de cohésion dans le solide ne supportent pas ce maximum d'amplitude où si on pouvait se retrouver avec une equa diff dont la solution diverge.

Z.
-----

[invite7ce6aa19]

Bonjour,
Je me pose une question : Un sytème mécanique (un ressort et une masse par exemple) peut-il avoir un réponse (en amplitude ou autre) qui tende vers l'infini s'il est excité ? ou alors on peut seulement atteindre une résonance donc seulement un maximum ?

Je voulais savoir si les problèmes de cassure des systèmes mécanique suite à un excitation (pont et soldat au pas par exemple) sont uniquement dues au fait que les forces de cohésion dans le solide ne supportent pas ce maximum d'amplitude où si on pouvait se retrouver avec une equa diff dont la solution diverge.

Z.

Bonjour,

il y a dans ton interrogation 2 problèmes complètement indépendant.


La résonance.

1- Quant tu excites un système mécanique (par exemple, mais non seulement) avec une force périodique T(t) = T°.sinwt le système répond (s'il est linéaire) par une réponse R° (w).sin (w.t + phi).

On note que l'amplitude dépend de la fréquence w et pour certaines fréquences w il y a des maxima d'amplitudes que l'on appelle résonances.

C'est notamment le cas des soldats qui marchent sur un pont (au pas) qui ont eu le malheur de tomber sur la fréquence de résonance du pont. Le pont a craqué parce que les déformations mécaniques du aux contraintes imposées par le mouvement ont été dépassées un certain seuil. si la matériau avait été autre et avec la même amplitude le pont n'aurait pas craqué.


L'instabilité.

L'instabilité est tout autre chose.

Supposons que l'on cherche la solution d'un problème mécanique et que l'on trouve une grandeur A° indépendante du temps. La question de la stabilité consiste à analyser le comportement de A voisin de A° sous l'action d'une perturbation extérieure qui met le système dans l'état:

A° + dA

On enlève la perturbation. Que se passe-t-il?

Soit: dA régresse de sorte que le système revienne à l'état A°, alors le système est stable

Soit le perturbation se trouve amplifiée (en général exponentiellement) et le système est instable


Comme exemple mécanique simple il y a la baguette que l'on essaie de laisser verticale. La solution debout est une solution du problème mécanique. En effet la somme des forces appliquées est nulle.


Néanmoins le système est instable car la moindre perturbation le fera tomber sur la tranche.

[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
Je suis d'accord avec les explications de Mariposa.
Mais je me demande si vos doutes ne concernent pas des systèmes mécaniques qui ne sont pas en "oscillations forcées" (par une excitation périodique) mais excités par un mécanisme qui fait que leur oscillation propre augmente dans le temps. Par exemple, un sifflet, une flute, un tuyau d'orge ou le pont de Tacoma. Dans certains de ces cas (le pont de Tacoma) les pertes ne suffisent pas à limiter l'amplitude et le système diverge jusqu'à la cassure. Il s'agit bien de systèmes instables (le pont plus le vent).
Au revoir.

[invite368d7bab]

Bonjour,
il y a dans ton interrogation 2 problèmes complètement indépendant.
La résonance.
L'instabilité.

Je distingue bien les deux aspect de ma question. En fait ma question serait est ce que la "destruction" d'un matériau est uniquement du à la résonance ou il peut y avoir une réponse instable ?
Et notamment les perturbation dues au vent (ou autre fluide) sur la structure m'intéressent.

@LPFR : oui c'est bien cela qui m'intéresse ! J'aimerais en savoir plus sur ce que tu décrit . Comment cela se passe ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

La résonance.
L'instabilité.

Les deux notions sont souvent très liées, en particulier dans tout système à réaction. (positive ou négative)
La fonction de transfert de la BF par rapport à la BO est BO/(1+BO), où l'on constate que le point BO=-1 joue un rôle crutial, puisqu'on se retrouve avec une fonction de transfert qui tend vers l'infini (résonance ET instabilité)

Dans l'exemple mécanique du pont, si on modélise à la serpe la réponse en BO par F=m d^2x/dt^2, on obtient un double intégrateur entre la force et la position : BO=1/p^2 (J'oublie les coeffs)

En modélisant une réaction de base du pont (Action-Réaction), on tombe sur BF=1/(1+p^2) qui présentent deux pôles imaginaires purs conjugués, donc système instable et réponse en sinus. (résonance)

Dans les fait, il y a un coeff d'amortissement qui peut être positif (pont seul) ou négatif (pont + vent)

Quand le coeff d'amortissement est négatif, cela se passe très mal. (réponse en exp positive et sinus)

On peut étudier tout ceci dans un diagramme de Black (Ou de Black-Nichol si on veut chiffrer)

Cordialement.

[invite7ce6aa19]

Les deux notions sont souvent très liées, en particulier dans tout système à réaction. (positive ou négative)
La fonction de transfert de la BF par rapport à la BO est BO/(1+BO), où l'on constate que le point BO=-1 joue un rôle crutial, puisqu'on se retrouve avec une fonction de transfert qui tend vers l'infini (résonance ET instabilité)

Dans l'exemple mécanique du pont, si on modélise à la serpe la réponse en BO par F=m d^2x/dt^2, on obtient un double intégrateur entre la force et la position : BO=1/p^2 (J'oublie les coeffs)

En modélisant une réaction de base du pont (Action-Réaction), on tombe sur BF=1/(1+p^2) qui présentent deux pôles imaginaires purs conjugués, donc système instable et réponse en sinus. (résonance)

Dans les fait, il y a un coeff d'amortissement qui peut être positif (pont seul) ou négatif (pont + vent)

Quand le coeff d'amortissement est négatif, cela se passe très mal. (réponse en exp positive et sinus)

On peut étudier tout ceci dans un diagramme de Black (Ou de Black-Nichol si on veut chiffrer)

Cordialement.

Bonjour,


Je comprends ce que tu dis, c'est un langage d'électronicien ou de théorie des systèmes donc je peux-être d'accord avec toi en tant qu'ex automaticien mais beaucoup moins en tant que physicien.

Du point de vue physique la stabilité d'un système consiste à tester un système lorsqu'il atteint le régime asymptotique (les électroniciens disent régimes permanents). Il y a 4 comportements asymptotiques possibles qui définissent 4 bassins d'attractions: le point fixe, le cercle (régime périodique) le tore T2 (2 fréquences incommensurables) et enfin de e tore T3 qui est instable et qui dégénère en attracteur étrange (Appellation de Ruelle). la stabilité d'un bassin d'attraction est la robustesse aux perturbations. Donc le concept de résonance est absent de toute notion de stabilité.


La notion de résonance en physique renvoie à la théorie de la réponse linéaire dont la fonction de réponse comporte des poles qui prennent des valeurs complexes w + i.a où w est une fréquence de résonance et la partie complexe a est un coefficient d'amortissement ou d'amplification selon le signe de a (ce qui justifie l'utilisation de la transformée de Laplace). On peut toujours dire qu'un système amplificateur est un système instable et que c'est une sortie du bassin d'attraction. en pratique il y a toujours des coefficients d'amortissement effectifs qui limite la divergence. Pour un oscillateur électronique autonome ce sont les linéarités.


D'autre part la rupture du pont n'a rien au fond rien à voir avec la notion de résonance ou d'instabilité.

le pont casse pour les mêmes raisons qu'un condensateur est détruit au-delà d'une certaine tension V° qui provoque un phénomène d'avalanche dans le matériau et ce quelque soit l'origine de la tension V°.

[invitef17c7c8d]

Bonjour,
Je me pose une question : Un sytème mécanique (un ressort et une masse par exemple) peut-il avoir un réponse (en amplitude ou autre) qui tende vers l'infini s'il est excité ? ou alors on peut seulement atteindre une résonance donc seulement un maximum ?

Je voulais savoir si les problèmes de cassure des systèmes mécanique suite à un excitation (pont et soldat au pas par exemple) sont uniquement dues au fait que les forces de cohésion dans le solide ne supportent pas ce maximum d'amplitude où si on pouvait se retrouver avec une equa diff dont la solution diverge.

Z.

Une équa diff peut diverger si elle contient des termes non linéaires.
Mais cela ne correspond pas en général à une réalité physique.

Par conséquent on utilise des méthodes de renormalisation pour éviter cette divergence.

L'idée est de considérer non plus la fréquence propre du système mais une fréquence effective


est la fréquence nue.
est la fréquence renormalisée.

Maintenant on a assez de marge de manoeuvre (via les ) pour éviter l'apparition de termes divergents dans la solution.

La grandeur mesurable expérimentalement est la grandeur renormalisée et non la grandeur nue, qui intervient comme un simple paramètre auxilière du modèle mathématique.

Il est alors interessant de penser la fréquence propre non plus comme quelquechose de figer dans le marbre mais comme un paramètre qui s'adapte à son environnement pour prendre en compte les perturbations et autres non linéarités inhérentes à un représentation réaliste d'un système dynamique.

[invitef17c7c8d]

D'ailleurs avec cette approche par renormalisation, on justifie l'existence d'un amortissement.

La théorie linéaire ne sait pas expliquer d'ou vient l'amortissement. On l'introduit de façon phénologique après coup.

L'amortissement se traduit expérimentalement par un élargissement de la raie spectrale autour de la fréquence propre.

Donc la renormalisation nous dit la chose suivante: La fréquence propre varie constament au cours du temps pour éviter l'apparition de termes séculaires.

Mais cette adaptation du système a un coût énergétique : d'où les pertes par effets Joule.

[invitef17c7c8d]

Aussi sous l'angle de vue de la théorie de l'information...

La fréquence a besoin d'avoir accès à une certaine quantité d'information pour empécher l'apparition des termes séculaires.

Or information et amortissement (ou dissipation) sont liés entre eux à travers la définition de l'entropie...



On voit ici que l'information nécessaire à la fréquence propre coûte une certaine quantité d'entropie.

Cette quantité d'entropie nécessaire sera obtenue par dissipation (ou amortissement).

[stefjm]

La théorie linéaire ne sait pas expliquer d'ou vient l'amortissement. On l'introduit de façon phénologique après coup.

Je ne vois pas ce que vous voulez dire.
D'une manière général, l'amortissement est le terme dépendant de la vitesse.
Pourquoi après coup?

[invitef17c7c8d]

En fait si tu regardes l'établissement de n'importe quelle équation d'onde qui décrit les vibrations des poutres, cordes, tuyau sonore, oscillateur, etc... l'amortissement n'apparait pas, n'émerge pas de lois de conservation (masse, quantité de mouvement, énergie).

On introduit dans l'équation d'onde (une fois établit) un terme d'amortissement supplémentaire proportionnel à la vitesse. C'est une approche phénoménologique.
On constate qu'en faisant ainsi cela colle plutôt bien avec l'expérience.

[stefjm]

En fait si tu regardes l'établissement de n'importe quelle équation d'onde qui décrit les vibrations des poutres, cordes, tuyau sonore, oscillateur, etc... l'amortissement n'apparait pas, n'émerge pas de lois de conservation (masse, quantité de mouvement, énergie).

Bof...
C'est bien la conservation de l'énergie qui permet d'établir l'équation de la chaleur!
Du premier ordre seulement en temps et du second en espace.
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q..._de_la_chaleur

[invitef17c7c8d]

Bof...
C'est bien la conservation de l'énergie qui permet d'établir l'équation de la chaleur!
Du premier ordre seulement en temps et du second en espace.
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q..._de_la_chaleur

C'est vraiment interessant que tu abordes ici l'équationde la chaleur!

Car à la résonance que se passe t-il? Le terme de masse est égal (au signe près) au terme de raideur.
Par conséquent, on peut dire que la particule génaralisée se comporte comme si elle n'avait pas de masse (ni de raideur d'ailleurs).
Le comportement du système à la résonance (caractéristique de l'amortissement) est alors un phénomène diffusif ou de relaxation vers l'équilibre thermodynamique.