[Mécanique quantique] Fonction d'onde après mesure

[invite855de8be]

Bonjour, est-ce que quelqu'un sait svp à quoi ressemble la fonction d'onde d'une particule après qu'on ait mesuré sa position ? Est-ce une distribution de Dirac ?

Merci d'avance !
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[invite855de8be]

Up__________________

[invitef17c7c8d]

La fonction d'onde n'a en fait rien à voir avec la position.

La fonction d'onde doit être vue comme une base, à la manière de la base (x,y,z).
Après en chaque point de l'espace réel, tu peux placer un dirac. C'est la base R (position). Donc cette base est infinie. Et chaque composant n'est pas un axe, mais un dirac.
Ensuite suivant le postulat de réduction du paquet d'onde, effectivement la base "infinie" se réduit à la seule composante où est mesurée la particule.
Cette réduction inexpliquée est à l'origine de nombreuses critiques de la théorie quantique.

C'est pour cela qu'il faut en MQ bien appréhender la notion d'espace de Hilbert. Raisonner constament dans cet espace.

[invite855de8be]

Si j'ai bien compris, la réponse est oui ?

Par contre, quand vous dites "La fonction d'onde doit être vue comme une base", vous êtes sûr ? La fonction d'onde n'est pas plutôt un vecteur ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Si j'ai bien compris, la réponse est oui ?

Oui.

Ca reste une idéalisation. En général, une mesure n'est jamais infiniment précise. Pour rester plus physique, on considère habituellement que le résultat est une fonction fortement concentrée autour du résultat de la mesure.

Par contre, quand vous dites "La fonction d'onde doit être vue comme une base", vous êtes sûr ? La fonction d'onde n'est pas plutôt un vecteur ?

En effet. C'est plutôt un vecteur de l'espace de Hilbert, donné généralement (c'est le cas ici) dans la base position (valeur de la fonction d'onde = composante, en chaque point = vecteur de base).

[ClairEsprit]

La fonction d'onde n'est ni un vecteur ni une base. Personne n'oserait dire que la fonction y = x est le vecteur i ou j de la base orthonormée du plan, ou un de ses vecteurs.

En MQ il vaut mieux parler d'amplitude de probabilité que de fonction d'onde, qui reste désuet et implicitement associée à la représentation r. Et la base des vecteurs d'états choisis pour exprimer cette amplitude de probabilité ne doit pas être identifiée à cette dernière, ni à un de ses vecteurs !

[invitef17c7c8d]

Oui, j'ai dit des bétises comme souvent ...

La fonction d'onde peut être vu comme un champ dans l'espace de Hilbert. Un champ de probabilité.
Un champ dynamique avec des courants.

[Deedee81]

La fonction d'onde n'est ni un vecteur ni une base. Personne n'oserait dire que la fonction y = x est le vecteur i ou j de la base orthonormée du plan, ou un de ses vecteurs.

En MQ il vaut mieux parler d'amplitude de probabilité que de fonction d'onde, qui reste désuet et implicitement associée à la représentation r. Et la base des vecteurs d'états choisis pour exprimer cette amplitude de probabilité ne doit pas être identifiée à cette dernière, ni à un de ses vecteurs !

Ouuuups, tu as raison. Dérapage non contrôlé. Lionelod et moi avons fini dans le décor

La fonction d'onde, c'est les amplitudes pour que le système (décrit par le vecteur d'état |psi>) soit dans l'état de base |r>. psi(r) = <r|psi>.

On peut parler aussi des composantes du vecteur d'état dans cette base, et celle-ci étant continue, la représentation fonctionnelle en découle naturellement.

[Deedee81]

La fonction d'onde peut être vu comme un champ dans l'espace de Hilbert. Un champ de probabilité.
Un champ dynamique avec des courants.

Hum, là j'ai un doute. D'accord pour le courant, on peut en définir un. Mais un champ dans l'espace de Hilbert...... L'espace de Hilbert est un espace de vecteurs, alors que la fonction d'onde a pour paramètre des coordonnées. Je vois mal comment faire de la fonction d'onde un champ dans cet espace. Comment ferais-tu la relation entre psi(r) et un champ F(|état quelconque>) ???

Ensuite, la fonction d'onde est une amplitude. Donc, plus riche que la simple notion de probabilité.

[invite855de8be]

Merci à vous pour la réponse à ma question, mais désolé d'insister sur cet autre point : la fonction d'onde n'est pas un vecteur ?

Il me semble avoir lu qu'elle était un élément de l'espace vectoriel composé de toutes les fonctions d'onde possibles.

[Deedee81]

Merci à vous pour la réponse à ma question, mais désolé d'insister sur cet autre point : la fonction d'onde n'est pas un vecteur ?

Non (je m'étais trompé).

C'est une fonction dont les valeurs (nombres complexes) sont les amplitudes.

Cette fonction peut être vue comme une représentation des amplitudes/composantes du vecteur d'état dans la base position.

Il me semble avoir lu qu'elle était un élément de l'espace vectoriel composé de toutes les fonctions d'onde possibles.

Ah oui, tu as raison, j'ai déjà lu ça aussi. Je suis perdu. Je vais laisser d'autres (ClairEsprit) préciser avant d'introduire plus de brouillard. J'ai l'impression que cela dépend de la "manière mathématique" de voir les choses )

[Xoxopixo]

Bonjour,

Merci à vous pour la réponse à ma question, mais désolé d'insister sur cet autre point : la fonction d'onde n'est pas un vecteur ?

Peut-être que si quelqu'un saurait "traduire" ce document, on pourrait en savoir un peu plus ?
(je m'inclus dans le "on", merci. )
http://www.cbs.cnrs.fr/MAJ/FORMATION...n/Page_30.html

[mariposa]

Bonjour,

En MQ un concept de base est celui d'état d'un système physique représenté par un vecteur d'un espace de Hilbert noté |F>. On pourrait tout aussi bien mettre une flèche au-dessus comme cela se fait pour les vecteurs du lycée.

Le plus souvent ce vecteur est un vecteur propre d'un opérateur hamiltonien et donc:

H |Fn> = En|Fn>


------------------------------------------------------------------------

Tout vecteur peut se développer dans une base quelconque { |m> } qui définit un opérateur unité comme somme de projecteurs soit:


I = |m>.<m| somme sur les m

donc

I.|F> = |m>.<m|F> somme sur les m

|F> = <m|F>.|m> somme sur les m

Ainsi les <m|F> sont les composantes du vecteur |F> dans la base des { |m> }

Autrement dit les <m|F> définissent un vecteur colonne représentant le vecteur |F>

----------------------------------------------------------------------------


Supposons que les |m> soient vecteurs propres d'un opérateur M qui agit dans l'espace de Hilbert de H cad M|m> = m|m>

Alors selon les principes de la MQ le système effectue une transition de l'état |F> vers l'état |m> avec une amplitude de probabilité:


<m|M|F> = <m|F> qui est la projection de |F> sur un état |m>

Le terme amplitude probabilité (qui est un nombre complexe) est justifiée par les probabilités classiques:

somme sur les m de |<m|F>|2 = 1

Malheureusement on emploie encore le terme fonction d'onde (au lieu d'amplitude de probabilité) qui est un artefact liée à l'histoire de la MQ et de ses controverses.


Remarque on peut formellement définir à chaque point r de l'espace une base de {|r>} qui n'est certainement pas un espace de Hilbert mais qui autorise le développement d'un vecteur |F> dans cette base de {|r>} et s'écrit:

|F> = <r|F>.|F> somme continue sur les {|r>} et que l'on écrit le plus souvent:

|F> = F(r).|F>

donc les "fonctions d'onde" F(r) sont les composantes de |F> dans la base des {|r>}

[invitef17c7c8d]

Ah quelle angoisse!
Pourquoi la fonction d'onde est désuette?
Je pensais que l'amplitude de probabilité était la fonction d'onde au carré.
Dans mon esprit embrouillé, je pensais que la fonction d'onde était complexe et l'amplitude de probabilité réelle...

[Deedee81]

Pourquoi la fonction d'onde est désuette?

On la trouve encore un peu partout, mais les termes d'amplitude ou de vecteurs d'état sont plus précis et plus "modernes", sans plus. Ils sont aussi plus généraux (la fonction d'onde est particulière et ne peut pas toujours s'appliquer, par exemple pour le photon.... bien que là aussi je l'ai vue employée par Landau mais avec une signification bien particulière. Pourquoi faire simple, hein ? ).

Je pensais que l'amplitude de probabilité était la fonction d'onde au carré.

La probabilité est le carré de sa norme (ou psi.psi^*).
(voir plus bas pour amplitude)

Dans mon esprit embrouillé, je pensais que la fonction d'onde était complexe et l'amplitude de probabilité réelle...

- La probabilité est réelle.
- L'amplitude ou amplitude de probabilité est complexe.
- La fonction d'onde est une amplitude (pour chaque valeur de r) particulière.

Mariposa,

Merci pour cet exposé complet.

Mais que penses-tu de la remarque "une fonction est un vecteur de l'espace vectoriel des fonctions" (sous-entendu l'ensemble des fonctions d'onde, chacune correspondant à un état particulier, et il faut étendre aux distributions) ? Je l'ai déjà lu aussi (même dans des articles récents).

Obsolète ? Trompeur ? Autre façon de voir les choses ?

[mariposa]

Mariposa,

Merci pour cet exposé complet.

Mais que penses-tu de la remarque "une fonction est un vecteur de l'espace vectoriel des fonctions" (sous-entendu l'ensemble des fonctions d'onde, chacune correspondant à un état particulier, et il faut étendre aux distributions) ? Je l'ai déjà lu aussi (même dans des articles récents).

Obsolète ? Trompeur ? Autre façon de voir les choses ?

Bonjour Deedee81

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question. J'essaie toutefois une réponse.

Prends 2 fonctions différentes F(x) et G(x) définies sur un intervalle (éventuellement infini)

Alors toutes combinaisons linéaires du type:

Q(x) = a.F(x) + b.G(x) où a et b sont des éléments d'un corps (typiquement C pour la MQ)

définissent un espace vectoriel de dimension 2.

C'est pourquoi on écrit:

|Q> = a.|F> + b.|G>

où a et b sont la matrice colonne représentative de |Q> dans la base {|F>, |G>}

car ce qui nous intéresse ce n'est pas la valeur y = Q(x) mais le caractère vectoriel de |Q>

Si en plus on définit un produit scalaire noté <M|N> alors on a un espace préhilbertien (presque hilbertien).


Conséquence: on peut développer n'importe quelle fonction A(x) dans la base F(x) et G(x) puisque grâce

au produit scalaire:


|A> = <F|A>.|F> +<G|A>.|G>

Comme a priori |A> n'est pas rigoureusement une combinaison linéaire de [F> et |G> le vecteur |A> a des composantes dans un espace complémentaire et donc:


|A> = <F|A>.|F> +<G|A>.|G> + |vecteur complémentaire>

Tout ceci pour souligné un point méthodologique de la MQ est d'avoir une bonne intuition (une bonne méthodologie) de l'espace de Hilbert que l'on doit choisir pour représenter une classe de phénomènes physiques (en pratique c'est une question d'expérience personnelle et c'est pourquoi cela est peu ou pas enseigné).

A l'évidence si l'on représente une fonction quelconque dans une base de {|r>} on est sûr que le |vecteur complémentaire> est nul, mais la base est alors infinie ce qui n'est pas le plus astucieux sur le plan physique pour la même raison qu il est préférable de prendre une base sphérique pour un problème à symétrique sphérique en lieu et place d"'un système cartésien. En plus le passage à l'infini peut poser des difficultés mathématiques qui font l'affaire des mathématiciens. C'est pourquoi la rigueur mathématiques demande d'introduire les distributions. Néanmoins la quasi totalité des physiciens manipulent l'infini comme un cas particulier d'une somme discrète.


C'est ainsi que l'amplitude F(r) est compris comme un vecteur colonne de dimension infinie et F(r)* un vecteur ligne de dimension infinie et le produit matricielle vecteur ligne vecteur colonne (le produit scalaire) vaut 1. De même les opérateurs agissant en dimension infinie sont représentés par des matrices de dimension infinie. Les équations intégrales sont manipulées comme des équations matricielles en dimension infinie. La transformée de Fourier n'est qu'un changement de base agissant dans des espaces de dimension infinie.

Bref l'infini est traité comme le fini. Cela se justifie pour le physicien par le fait que la structure de contrôle du langage mathématique ce n'est pas la rigueur mathématique mais la capacité à s’harmoniser à la réalité expérimentale.

[Deedee81]

Merci de ces explications.

C'est en fait ce que je connaissais mais tu es nettement plus doué que moi pour l'expliquer. Et tout ça est aussi une question de langage qui peut varier autant d'un monde à l'autre (math et physique) que d'un auteur à l'autre. Dans l'article indiqué par Xoxopixo ils disent que certains appellent parfois fonction les vecteurs d'états Tu parles d'un raccourci de langange ! Il y a des auteurs qui aiment bien embrouiller les esprits.

Je pense que tout ça devrait répondre à aarnaud.

[invite76543456789]

Bonjour,

Ouuuups, tu as raison. Dérapage non contrôlé. Lionelod et moi avons fini dans le décor

La fonction d'onde, c'est les amplitudes pour que le système (décrit par le vecteur d'état |psi>) soit dans l'état de base |r>. psi(r) = <r|psi>.

On peut parler aussi des composantes du vecteur d'état dans cette base, et celle-ci étant continue, la représentation fonctionnelle en découle naturellement.

La fonction d'onde n'est ni un vecteur ni une base. Personne n'oserait dire que la fonction y = x est le vecteur i ou j de la base orthonormée du plan, ou un de ses vecteurs.

En MQ il vaut mieux parler d'amplitude de probabilité que de fonction d'onde, qui reste désuet et implicitement associée à la représentation r. Et la base des vecteurs d'états choisis pour exprimer cette amplitude de probabilité ne doit pas être identifiée à cette dernière, ni à un de ses vecteurs !

Merci à vous pour la réponse à ma question, mais désolé d'insister sur cet autre point : la fonction d'onde n'est pas un vecteur ?

Il me semble avoir lu qu'elle était un élément de l'espace vectoriel composé de toutes les fonctions d'onde possibles.

Bien sur que l'ensemble des fonctions (de R^3 dans C par exemple ou de R dans C) est un espace vectoriel!! Et bien sur que les fonctions d'onde en sont des vecteurs.

C'est justement cette remarque qui motive l'introduction du concept d'espace de Hilbert en MQ!

En fait on s'interesse en mecanique quantique (je triche un peu, en fait c'est plus compliqué que ca) au fonctions de carré sommable (c'est a dire que l'intégrale de leur carré est fini, et on le normalise a 1, pour que ce soit une amplitude de probabilité), ce sont les fonctions d'ondes. L'espace de toutes ses fonctions de carrés sommable muni du produit scalaire evident est un espace de Hilbert. En fait c'est le seul espace de hilbert (de dimension infinie séparable). C'est ce qui explique qu'ensuite on modélise directement un état par un vecteur dans un Hilbert, c'est que cette description est completement equivalente (mais plus "canonique" en quelques sortes). C'est ce qui explique aussi la dualité bra, ket, et que les bra puissent etre indicés par les memes lettres que les kets (un Hilbert est refelxif).

En fait cette vision naïve, tres satisfaisante et utilisée en pratique, est un peu "etroite aux entournures", car notemment les ondes planes par exemple ne sont pas cet espace. De plus la "so called" base de Dirac |r>, n'est pas defini et ce n'est pas une base de kets au sens stricts, c'est une famille libre de bras, dont l'orthogonnal est trivial. En fait c'est meme encore plus compliqué que ca, car un |r> (je devrais ecrire un <r|) n'est meme pas bien defini sur tout l'espace de HIlbert, mais il est comme on dit "densément défini".
Bien sur on peut formaliser tout ca, et il y a une riche theorie mathématiques derrière, mais pour faire de la meca Q de "tous les jours" il n'est pas dangereux a ma connaissance, de faire comme si les ondes planes etaient de carré sommable, les <r| etaient des |r>, partout bien définis etc...

Mais le fait que l'espace des fonctions d'ondes (un espace vectoriel, donc formé de vecteur) est un espace de Hilbert est vraiment clé! Donc oui une fonction d'onde est bien un vecteur.

[Deedee81]

[...]

Merci pour ces précisions mathématiques et techniques fort intéressantes.

[invitef17c7c8d]

Donc oui une fonction d'onde est bien un vecteur.

Mais c'est un vecteur si on particularise la fonction d'onde en un point. Par exemple est un vecteur au point r.

Mais ne peut on pas dire que la fonction d'onde dans sa globalité est un champ?

[mariposa]

Merci de ces explications.

C'est en fait ce que je connaissais mais tu es nettement plus doué que moi pour l'expliquer. Et tout ça est aussi une question de langage qui peut varier autant d'un monde à l'autre (math et physique) que d'un auteur à l'autre. Dans l'article indiqué par Xoxopixo ils disent que certains appellent parfois fonction les vecteurs d'états Tu parles d'un raccourci de langange ! Il y a des auteurs qui aiment bien embrouiller les esprits.

Je pense que tout ça devrait répondre à aarnaud.

Je ne doute en aucune façon que tu saches tout cela. Il est toujours intéressant de dire et redire des choses simples.

En fait les débutants de MQ butent la plupart du temps sur la différence à faire entre la fonction y= f(x) et le fait que la fonction f, en soi, peut-être comprise comme un vecteur d'un espace vectoriel à définir. Le fait d'écrire |f> au lieu de f avec une flèche au-dessus rajoute une source d'interrogation supplémentaire. De même le fait d'associer un vecteur |r> a chaque point "r" de l'espace n'a rien d'habituel et en plus cela déplait fortement aux mathématiciens (Pour rappel Dieudonné, éminent et incontestable grand mathématicien, a traité le livre de MQ de Cohen-Tannoudji, lui-même éminent grand physicien théoricien, de la bouillie pour chat!!!). Personnellement je reconnais que mes mathématiques sont de la bouillie pour chat et cela me laisse indifférent.

[invite76543456789]

Mais c'est un vecteur si on particularise la fonction d'onde en un point. Par exemple est un vecteur au point r.

Mais ne peut on pas dire que la fonction d'onde dans sa globalité est un champ?

Non, non, c'est un vecteur tout court, bien sur il est aussi correct de dire que sa valeur en un point est un vecteur... d'un espace de dimension 0, et donc la fonctions est un champ scalaire (sur R ou sur R^3)... mais le point que je souligne est que la fonction en elle meme, est un vecteur.

[Deedee81]

Mais c'est un vecteur si on particularise la fonction d'onde en un point. Par exemple est un vecteur au point r.

La fonction d'onde, en soit (pas en un point), est un vecteur. L'espace vectoriel étant l'ensemble des fonctions d'onde (voir ce que j'avais dit plus haut et bien entendu les explications de MissPacMan).

La fonction d'onde en un point est un nombre complexe. Le vecteur est r, pas la fonction d'onde en ce point. On peut toutefois voir un nombre complexe comme un vecteur de C (mais, bon, on va dire que je vois des vecteurs partout). Tout comme on peut définir un espace vectoriel des polynomes de degré <= n, et un polynome est alors vu comme un vecteur (exemple assez classique dans les cours/bouquins sur les espaces vectoriels).

Mais ne peut on pas dire que la fonction d'onde dans sa globalité est un champ?

C'est effectivement un champ de l'espace réel (une amplitude en chaque point). Mais pas un champ sur l'espace de Hilbert.

[mariposa]

Mais c'est un vecteur si on particularise la fonction d'onde en un point. Par exemple est un vecteur au point r

Non c'est la composante du vecteur au point r

Mais ne peut on pas dire que la fonction d'onde dans sa globalité est un champ?

C'est effectivement un champ scalaire puisqu'un celui-ci est défini sur sur un espace (ou encore espace-temps). En MQ il vaut mieux parler de la fonction d'onde compte-tenu du rôle d'amplitude de probabilité que celle-ci joue.

Par contre dans le cadre d'un théorie de jauge on parlera plus volontiers d'un champ pour insister sur le comportement de celui-ci dans un changement de jauge. (Dans le cadre de la géométrie différentielle on appellera celui-ci une section).

Au delà des mots ce qui est important est de comprendre le rapport entre le langage et la physique.

[invitef17c7c8d]

Ce que je ne comprends pas avec la base position, c'est qu'alors dans ce cas particulier, l'espace de Hilbert est purement réel et il se confond avec l'espace réel.
Il n'y a donc pas de composantes imaginaires.

Ou bien peut être qu'on place des fonctions de Dirac dans les parties réelle et imaginaire de cet espace.

A la manière de la fonction exp(jwt)=cos(wt)+j*sin(wt)?

[mariposa]

Ce que je ne comprends pas avec la base position, c'est qu'alors dans ce cas particulier, l'espace de Hilbert est purement réel et il se confond avec l'espace réel.
Il n'y a donc pas de composantes imaginaires.

Ce que tu appelles base position peut-être comprise comme des fonction hyperlocalisées a chaque point r et donc l'intégrale vaut 1, ce que l'on appelle tout simplement un Dirac. A l'évidence (ou intuitivement) 2 fonctions centrées en 2 points voisins r et r' sont orthonormées et s'écrit donc <r'|r> = d(r,r'). En ayant cette interpretation à l'esprit tu traites ces "fonctions" comme des fonctions ordinaires

Attention les |r> ne forment pas un espace de Hilbert ce qui n’empêche pas pour autant de développer dans l'espace des |r> une fonction appartenant à un espace de Hilbert.

[Deedee81]

En complément de Mariposa (voire en bis repetita).

Ce que je ne comprends pas avec la base position, c'est qu'alors dans ce cas particulier, l'espace de Hilbert est purement réel et il se confond avec l'espace réel.

Oulà ! Non ! Les deux espaces ne se confondent pas. Tu confonds les états |r> (ou même plutôt les vecteurs r) avec l'espace de Hilbert !!!! Ces vecteurs d'états ne sont qu'une infime partie de l'espace de Hilbert. Tout comme les trois vecteurs de base cartésien ne sont qu'une infime partie de l'espace réel (ou plutôt de sa représentation vectorielle, évidemment).

Il n'y a donc pas de composantes imaginaires.

Le produit scalaire dans cet espace est bien complexe, avec des parties imaginaires (le produit scalaire est d'ailleurs indépendant de la base, c'est un résultat basique de la théorie des espaces vectoriels).

[ClairEsprit]

J'ai peut-être dit quelques bêtises... décidément on ne peut plus faire confiance à sa mémoire au-delà d'un nombre à deux chiffres... Je vous laisse débattre

[invite76543456789]

De même le fait d'associer un vecteur |r> a chaque point "r" de l'espace n'a rien d'habituel et en plus cela déplait fortement aux mathématiciens (Pour rappel Dieudonné, éminent et incontestable grand mathématicien, a traité le livre de MQ de Cohen-Tannoudji, lui-même éminent grand physicien théoricien, de la bouillie pour chat!!!). Personnellement je reconnais que mes mathématiques sont de la bouillie pour chat et cela me laisse indifférent.

C'est pas que ca deplait (dans le sens "c'est correct, mais pas elegant") , c'est juste que c'est faux. Le "truc" qui a f associe f(r), est naturellement un bra (en fait meme pas), et pas un ket, et il ne lui est pas possible de lui associer un ket en toute rigueur. En fait resoudre ce probleme demande de pas mal travailler (a minima d'introduit la theorie des distribution, mais il n'est alors pas possible de justifier tout un tas de formules (et notemment le theoreme spectral) utilisées en physiques, la "vrai bonne" theorie reside du coté de l'etude des operateurs non bornées sur un Hilbert, ce qu'est un bra >r|), en genral on s'"assoit" souvent sur ce probleme et on "fait comme si", pour la plus part des applications ca n'a aucune incidence puisque de toute façon on se ramène a un espace de dimension finie où toutes ces nuances disparaissent. Par contre pour faire des choses plus theoriques et fondamentales, ces questions se posent.

[invitef17c7c8d]

Les mathématiciens sont vraiment des gens particuliers!

Par exemple, j'apprécie beaucoup Alain Connes mais je doute de plus en plus qu'il ait compris en quoi consistait la non-commutativité.
A chaque fois, qu'il doit l'expliquer lors de ses conférences, il sort une anecdote idiote du style : verser de l'eau dans un verre et boire ensuite, ce n'est pas la même chose que boire et verser de l'eau ensuite. ou une phrase sans queu ni tête qui est 4 fois l'anagramme de son nom.