Pouvez-vous me dire la signification physique de la deuxième quantification de façon la plus générale? Mon prof me dit tout simplement que d'autre opérateurs seront écrits en fonction des ceux de création et annihition et que des formules deviennent plus aisées.
Salut,
Deuxième quantification est un terme un peu abusif qui a des raisons historiques.Envoyé par Butchimauxanh
Le principe est d'utiliser LA quantification (habituelle, canonique ou par les intégrales de chemin, par exemple) sur les champs. On voit alors apparaitre naturellement des opérateurs dit de création ou d'annihilation qui modifient un état en lui ajoutant ou retirant un quantum d'énergie.
Le terme seconde quantification vient de l'équation du Dirac (formulation relativiste de l'équation de Schrödinger) pour l'électron et la fonction d'onde associée. On quantifie cette équation et on a alors un champ électronique quantifié (avec opérateurs de c/a des électrons et des positrons). Du fait que l'équation de Dirac est déjà à la base une équation quantique on parle de "seconde quantification". Mais, en réalité, dans cette approche, la fonction d'onde est considérée comme un champ classique, tout comme le champ électromagnétique (qui se quantifie aussi).
L'écriture des opérateurs en fonction des opérateurs de création / annihilation est assez simple.
Par exemple, l'opérateurest simplement l'opérateur de "nombre" (nombre de particules). Et les opérateurs hamiltonien ou d'impulsion ne sont guère plus compliqués.
Ca donne effectivement des formules aisées à manipuler (mais la résolution de problèmes concrets peut être très ardue, même si des procédures plus ou moins systématiques, comme les diagrammes de Feynman, ont été élaborées).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
Contrairement à ce que pourrait suggérer l'expression elle-même il ne s'agit nullement d'une deuxième couche de quantification.
Il s'agit d'une représentation des états dans une base de Hilbert que l'on appelle représentation d'occupation. Les opérateurs eux-mêmes doivent donc être représentés dans cette base.
Comme les opérateurs classiques P et Q sont représentés dans une base des {|x>} sous la forme:
X et i.h.d/dX
on montre qu'en représentation d'occupation (par transformation canonique) ceux-ci deviennent:
a et
Appliqué à l'oscillateur harmonique on constate que ces 2 opérateurs sont transposés conjugués et non diagonaux
On a:
d'où l'appellation opérateur création
d'où l'appellation opérateur annihilation
|0> représente l'état fondamental que l'on appelle le vide.
où |n> est un état propre de l'oscillateur harmonique
On note que
qui est l'opérateur nombre.
Cela veut dire que [H,
Ce formalisme est possible parce que les niveaux sont tous équidistants. en conséquence de quoi ce formalisme s'applique également a la quantification de l'équation de dirac et plus généralement à toutes les formes d'excitations qui dérivent d'un vide. Ce peut-être par exemple les magnons dans un solide qui sont les excitations d'un corps ferromagnétique ou encore les phonons..
[QUOTE=Deedee81;3004966]Salut,
Deuxième quantification est un terme un peu abusif qui a des raisons historiques.
Le principe est d'utiliser LA quantification (habituelle, canonique ou par les intégrales de chemin, par exemple) sur les champs. On voit alors apparaitre naturellement des opérateurs dit de création ou d'annihilation qui modifient un état en lui ajoutant ou retirant un quantum d'énergie.
Le terme seconde quantification vient de l'équation du Dirac (formulation relativiste de l'équation de Schrödinger) pour l'électron et la fonction d'onde associée. On quantifie cette équation et on a alors un champ électronique quantifié (avec opérateurs de c/a des électrons et des positrons). Du fait que l'équation de Dirac est déjà à la base une équation quantique on parle de "seconde quantification". Mais, en réalité, dans cette approche, la fonction d'onde est considérée comme un champ classique, tout comme le champ électromagnétique (qui se quantifie aussi).^
Merci beaucoup..à propos que tu parles de l'équation de Dirac qui nous conduit à tout cela , il m'arrive une question que d'où vient la première quantification. Alors que je lis livre de Cohen, on l'admet sans démonstration. Est-ce qu'on pourrait l'obtenir de même manière?..^^
L'écriture des opérateurs en fonction des opérateurs de création / annihilation est assez simple.
J'ai entendu dire qu'on applique le modèle d'ocsillateur harmonique pour l'explication des nombre magique dans physique nucléaire?.. TU peux parler un peu de cela?Par exemple, l'opérateur
Bonjour,
Ce n'est pas abusif, car c'est faux.
La seconde quantification est liée aux transformations canoniques et à la formulation hamiltonienne.Le principe est d'utiliser LA quantification (habituelle, canonique ou par les intégrales de chemin, par exemple) sur les champs. On voit alors apparaitre naturellement des opérateurs dit de création ou d'annihilation qui modifient un état en lui ajoutant ou retirant un quantum d'énergie.
Les intégrales de chemin ignorent non seulement la seconde quantification mais les opérateurs tout court.
Le principe de l'intégrale de chemin consiste à démontrer qu'une amplitude de probabilité (cad une"probabilité" conditionnelle entre 2 points d'espace temps) est une somme continue de "chemins" où chaque chemin est de module 1 et dont la phase ne dépend que de l'action classique associé à ce chemin.
Autrement dit il s'agit d'une écriture possible du principe de superposition quantique à la base de la MQ écrite entièrement avec des notions de mécanique classique. Un monument!!!!
Ca provient de l'oscillateur harmonique.Le terme seconde quantification vient de l'équation du Dirac (formulation relativiste de l'équation de Schrödinger) pour l'électron et la fonction d'onde associée. On quantifie cette équation et on a alors un champ électronique quantifié (avec opérateurs de c/a des électrons et des positrons).
L'équation de Dirac est une équation de champ classique (non quantique).Du fait que l'équation de Dirac est déjà à la base une équation quantique on parle de "seconde quantification". Mais, en réalité, dans cette approche, la fonction d'onde est considérée comme un champ classique, tout comme le champ électromagnétique (qui se quantifie aussi).
L'équation de Dirac pour les électrons-positrons c'est le strict analogue des équations de Maxwell pour les photons.
C'est justement en voulant considéré que le champ classique était une fonction d'onde que Dirac a découvert que cela l'a amené à des contradictions (probabilités négatives + masses négatives) dont la solution était de considérer ces "fonctions" d'onde comme des opérateurs.
Ben oui, évidemment, distrait que je suis. Faut forcément la quantification canonique ici
Oui mais.... pas initialement (historiquement) puisque :
Je ne disais pas autre chose. C'est l'origine historique ici qui est mise en évidence dans cette appelation de "seconde quantification".
Dirac cherchait une formulation relativiste. L'équation de Klein-Gordon posait les même problèmes d'où le fait qu'il a pondu cette équation (en recherchant une formulation linéaire, comme Schrödinger, plutôt qu'en utilisant la forme E² = ... et en substituant les opérateurs énergie, position et impulsion). Ce qui est assez amusant c'est que cette équation (vue comme un substitut relativiste de l'équation de Schrödinger) ne résolvait pas du tout ces problèmes.... mais par contre permettait d'introduire le spin de l'électron de manière naturelle. Tours et détours de l'histoireOn voit là vraiment "la recherche en action". Pas étonnant qu'on ait parfois des appelations bizarres comme "seconde quantification".
Le calcul du spectre de l'hydrogène avec cette équation marche d'ailleurs plutôt bien (nettement mieux que Schrödinger). Malgé les inconsistances (suffit "d'ignorer" les états d'énergie négative, ce qui ne marche bien qu'à basse énergie, évidemment, à cause du couplage avec ces états).
P.S. : petite imprécision ci-dessus. Quand j'ai dit N=aa+ (et des trucs semblables pour l'hamiltonien etc...), c'est vrai mais en fait il faut sommer ou intégrer sur toutes les pulsations. L'opérateur a c'est normalement a(omega), etc... Et en général on a aussi des intégrales sur tout l'espace.
A noter que la quantification de l'oscillateur harmonique, en formulation matricielle, donne naturellement ces opérateurs création / annihilation et on peut considérer qu'un champ est une infinité d'oscillateurs (un en chaque point).
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Si tu as peut-être lu Pyron d'Ellis qui, dans un fil récent, nous expliquait que Dirac voulait bien reconnaitre la "seconde quantification" pour les équations de Maxwell mais pas pour son équation!!!!.
cela veut dire qu'au moment ou Dirac trouve son équation celui-ci est loin de dominer toute la portée de son équation. C'est toujours ainsi lorsque l'on a le nez sur le guidon. Einstein a mis 7 ans pour admettre la géométrie de son professeur de Mathématiques... un certain Minkowski.
Quand on compare la façon dont Dirac a trouvé son équation avec tous les détours que l'on connait avec une compréhension moderne, On ne peut qu'avoir une profonde admiration.
PS: Par compréhension moderne je veux dire que la compréhension de cette équation, y compris son établissement, nécessite la maîtrise de l'algébre de Lie du groupe de Lorentz et de l'algébre de Clifford, soient "coordonner 2 algèbres. En fait les 2 algèbres se retrouvent "ensemble" au niveau des représentations irréductibles de l'algébre de Lie du groupe de Lorentz.
De même qu'Heisenberg a découvert à partir de la physique l'algébre des matrices, Dirac a découvert avec son équation l'algébre de Clifford.
Bien entendu les 2 algèbres étaient déjà bien connues des mathématiciens
Ah, tiens, amusant ça, je ne savais pas
(non je n'ai pas vu ce message, je me basais sur ce que j'ai lu dans la littérature, dans QFT de Itzykson et Zuber si ma mémoire est bonne. Il est vrai que ce n'est pas un livre d'histoire).
Ca, par contre, ça ne m'étonne pas
Après tout Herz a bien dit que les ondes radios n'auraient jamais d'application pratique
Ca c'est sur. Et pas seulement pour Dirac d'ailleurs.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Je viens de regarder ce livre. La démonstration n'est pas trop éloigné de la démarche de Dirac. Pour moi cette démonstration a un interet historique car on ne comprend pas du tout ce que viennent faire les matrices de Dirac là-dedans. Cela donne l'impression d'être une astuce.Ah, tiens, amusant ça, je ne savais pas
(non je n'ai pas vu ce message, je me basais sur ce que j'ai lu dans la littérature, dans QFT de Itzykson et Zuber si ma mémoire est bonne. Il est vrai que ce n'est pas un livre d'histoire
Si on veut vraiment comprendre il faut étudier d'une manière indépendante les algèbres de Clifford et leurs représentations.
Après tout Herz a bien dit que les ondes radios n'auraient jamais d'application pratique
même genre de commentaires pour les ordinateurs ou certains avaient affirmé qu'il n'y aurait besoin que de 2 ou 3 ordinateurs dans le monde.
C'est effectivement l'impression que j'avais eut à l'époque (à l'époque ou je l'ai lu, pas à l'époque de Dirac, je ne suis quand même pas si vieux que ça
Ah, celle-là je ne la connaissais pas. Excellent. Ca doit être les mêmes qui prédisaient qu'on aurait tous des voitures volantes à la fin du vingtième sièclemême genre de commentaires pour les ordinateurs ou certains avaient affirmé qu'il n'y aurait besoin que de 2 ou 3 ordinateurs dans le monde.
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