Calculer le moment d'inertie d'une sphère

[Maxou49bis]

Bonjour,

Je cherche à redémontrer que le moment d'inertie d'une sphère autour d'un axe passant par G est I=2mR²/5.

Quand j'essaie de faire le calcul avec une intégrale triple et en utilisant les coordonnées cylindriques (en prenant dV = r dr dθ dz), pas de problème, je retombe bien sur ce résultat.

En revanche, quand j'essaie de faire ce même calcul avec les coordonnées polaires (avec dans ce cas, dV = r² dr sin θ dθ dβ), je trouve que I = 3mR²/5.

Voici la manière dont je procède :
I=∭r² dm=ρ.∭r² dV=ρ.∫₀^R r⁴ dr.∫₀^π sinθ dθ.∫₀^2π β dβ
=2πρ∫₀^R r⁴dr〗.∫₀^π sinθ dθ
=4πρ∫₀^R r⁴dr
=4πρR⁵/5

Or, on sait que V= 4/3 πR³ donc,

I=4πρ R³/3×3/5×R²= 3mR²/5

Peut être que j'ai fait une énorme erreur d'étourderie, j'en suis bien capable mais vraiment, je n'arrive pas à comprendre où ça cloche.

Merci pour votre aide.
-----

[LPFR]

Bonjour.
Je pense que vous vous êtes laissé emporter par les coordonnés. Car même si c'est des coordonnées polaires la distance au carré est celle à l'axe de rotation et non à l'origine de coordonnées.
Au revoir.

[Maxou49bis]

Merci pour cet éclairage. J'ai pris en compte votre remarque et j'ai pu aborder le problème différemment. Toutefois, je n'obtiens toujours pas le résultat attendu.

Voici ma nouvelle approche (corrigez-moi si je me trompe) :


Je pose le paramètre H², la distance au carré entre chaque point P de la sphère son axe de rotation.

Dans ce cas, H² = r²(cos².βsin²θ + sin²β).

J’intègre donc ce paramètre α² de la manière suivante :

I= ρ∫H².dV avec dV = r²dr.sinθdθ.dβ

Si je remplace H² par son expression, j’obtiens donc.

I= ρ∭r⁴ (cos² β sin³ θ+sin² β sinθ)dr dθ dβ

Je développe ainsi cette expression :

I=ρ[∫₀^Rr⁴ dr[∬(cos² β sin³ θ+ sin² β sinθ) dβdθ] ]

I=(ρR⁵)/5 [(∫₀^2πcos²β dβ .∫₀^πsin³ θ dθ)+(∫₀^2πsin²β dβ .∫₀^πsinθ dθ) ]

Je linéarise en utilisant les formules d’Euler :

I=(ρR⁵)/5 [∫₀^2π((e^iβ+e^(-iβ))²)/4 dβ . ∫₀^π((e^iθ+e^(-iθ))²)/(-8i) dθ) +(∫₀^2π((e^iβ-e^(-iβ))²)/(-4) dβ .∫₀^πsinθ dθ) ]

I=(ρR⁵)/5 [∫₀^2π((1/2 cos2β+1/2) dβ .∫₀^π(-1/4 sin3θ+3/4i cosθ) dθ) +(∫₀^2π(-1/2 cos2β+1/2) dβ .∫₀^πsinθ dθ) ]

I=(ρR⁵)/5 [[1/4 sin2β+1/2 β]₀^2π .[1/12 cos3θ+3/4i sinθ]₀^π+[-1/4 sin2β+1/2 β]₀^2π .[-cosθ]₀^π ]

I=(ρR⁵)/5 [22π/12]=22MR²/80=11MR²/40

Je n'ai donc pas encore réussi. Je me trompe surement quelque part mais je n'arrive vraiment pas a voir où et j'ai cherché un bon moment.

Merci d'avance de votre aide

PS : Si le développement n'est pas clair, j'ai mis en pièce jointe ce calcul en version pdf (plus clair à lire).

[Maxou49bis]

petite erreur dans le fichier joint. Voici la correction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
Je tâcherai de voir vos calculs demain.

J'imagine que vous faites ça comme exercice de maths. Car pour calculer le moment d'inertie d'une sphère il y a bien plus rapide et simple: une sphère est un empilement de disques et un disque est un empilement d'anneaux.
A+

[mimo13]

Bonsoir,

J'imagine que vous faites ça comme exercice de maths. Car pour calculer le moment d'inertie d'une sphère il y a bien plus rapide et simple.

Je suis pratiquement d'accord avec LPFR, et j'avoue qu'a la vue de ton post, je n'ai aucune envie de le lire.
( Sachez que je ne vous sous-estime pas. )

Le calcul est très simple si on sait exprimer la distance de l'origine.

Voici une méthode parmi d'autres utilisant les coordonnées sphériques:

Je note la distance de l'axe et le rayon de la sphère.
On peut voir facilement que .




Donc .

Cordialement

[LPFR]

petite erreur dans le fichier joint. Voici la correction.

Bonjour.
La première ligne de votre calcul est fausse.
La distance à l'axe de rotation ne peut pas dépendre de l'angle bêta.
Regardez le post de mimo13.
Au revoir.

[Maxou49bis]

Bonjour

Merci a tous les deux pour votre aide. J'ai parfaitement compris maintenant. En fait, j'avais déjà essayé de prendre α = sin θ mais j'ai fait une erreur de calcul lors de ma linéarisation de sin³ θ. Du coup, je ne trouvais pas le coefficient 3/4 résultant de l'intégration sur dθ.

En tout cas, encore merci

[LPFR]

... lors de ma linéarisation de sin³ θ.

Re.
Horreur!
Il est extrêmement rare que la linéarisation soit intéressante. C'est un truc de masochiste (ou de sadique si c'est un prof qui vous a dit de le faire).

sin³ = (1-cos²)sin
dont la primitive est immédiate.
A+

[Kelthuzad]

Bonsoir,



Je suis pratiquement d'accord avec LPFR, et j'avoue qu'a la vue de ton post, je n'ai aucune envie de le lire.
( Sachez que je ne vous sous-estime pas. )

Le calcul est très simple si on sait exprimer la distance de l'origine.

Voici une méthode parmi d'autres utilisant les coordonnées sphériques:

Je note la distance de l'axe et le rayon de la sphère.
On peut voir facilement que .




Donc .

Cordialement

Bonjour,

Je cherche à calculer le moment d'inertie I d'une sphère, ce post répond parfaitement à ma question seulement je ne comprends pas pourquoi la distance à l'axe a = r.sin(teta) d'après un dessin classique l'angle n'est pas directement teta mais 90-teta, quelqu'un peut m'éclairer svp ? L'angle teta va de (0x) à OM et le triangle où on fait le sin est défini par l'axe Oz et OM donc le sin recherché est sin(90-teta) = r/a non ? Mon résultat est faux ensuite, c'est bien l'angle teta mais pourquoi ? merci.

[LPFR]

Bonjour,

Je cherche à calculer le moment d'inertie I d'une sphère, ce post répond parfaitement à ma question seulement je ne comprends pas pourquoi la distance à l'axe a = r.sin(teta) d'après un dessin classique l'angle n'est pas directement teta mais 90-teta, quelqu'un peut m'éclairer svp ? L'angle teta va de (0x) à OM et le triangle où on fait le sin est défini par l'axe Oz et OM donc le sin recherché est sin(90-teta) = r/a non ? Mon résultat est faux ensuite, c'est bien l'angle teta mais pourquoi ? merci.

Bonjour.
Rien n’oblige à utiliser l’angle thêta mesuré à partir du plan « équatorial ».
Si vous voulez changer, rien ne vous empêche de le faire. Le résultat ne changera pas.
Au revoir

[stefjm]

Re.
Horreur!
Il est extrêmement rare que la linéarisation soit intéressante. C'est un truc de masochiste (ou de sadique si c'est un prof qui vous a dit de le faire).

sin³ = (1-cos²)sin
dont la primitive est immédiate.
A+

D'un autre coté, avec la bonne calculatrice, le résultat est immédiat :
sin(x)^3 = 1/4 (3 sin(x)-sin(3 x))

et avec l'intégration.
Stefjm qui charrie et qui souhaite que ses étudiants sachent se servir des outils modernes en comprenant.