Bonjour
J'aimerais savoir s'il est possible, comme l'indique le titre, de déterminer l'équation différentielle d'un mouvement en sachant que ce mouvement suggère une force de frottement fluide (donc non conservative) f = -kv.
Je souhaiterais le faire, non pas par le biais du PFD (car dans ce cas c'est assez simple), mais à l'aide des relations connues sur l'énergie et le travail (TEC, TEM, etc).
Merci d'avance,
On pourrait tenir compte du fait que la puissance générée par une force F est f.v et dire que, entre t et t + dt, la variation d'énergie cinétique est égale à l'énergie dissipée par la force, alors :
d(1/2 m v²) /dt = F.v
Ce qui est évidemment équivalent au PFD, simplement on a tout multiplié par v.
C'est bon j'ai compris, merci beaucoup Jeanpaul!
En fait j'ai un souci... F et v sont des vecteurs, alors que d(1/2 m v²)/dt = mv n'en est pas un.
Comment simplifier par v ?
La remarque est bonne.
Simplement 1/2 m v² est aussi le produit scalaire de v par lui-même donc la dérivée, c'est aussi le produit scalaire de v par dv/dt, qui sont 2 vecteurs.
La question est de savoir si on a le droit de simplifier par v, en principe non pour des vecteurs.
Si on n'a pas le droit, cela signifie que F n'est pas toujours colinéaire à dv/dt et cela contredit l'isotropie de l'espace : pourquoi le mobile partirait-il de biais ?
Je vois.
Mais supposons qu'il y ait une autre force en jeu : le poids. On aurait alors (f+P).v = m (dv/dt).v
f+P est alors la somme des forces extérieures, et elle n'est pas forcément colinéaire à v... Enfin, j'ai peut-être tort mais dans ce cas je n'arrive pas très bien à visualiser la situation (f+P) et v colinéaires.
J'ai pensé à raisonner autrement, en reprenant le premier exemple sans le poids.
En factorisant par v, on a : (f - m[dv/dt]).v = 0.
Ne peut-on rien faire avec cette relation ?
Je n'aboutis qu'à (f - m[dv/dt]) et v orthogonaux, et il faudrait montrer que f - m[dv/dt] = 0...
* Je parlais de dv/dt, pas de v, désolée pour le lapsus.Envoyé par Athéna01
Place-toi dans l'espace vide et considère toutes les forces qui s'appliquent au point matériel, ressorts, poids, ficelles, tout ce que tu veux. Appelle F la résultante, c'est un vecteur. La force F va créer un mouvement.
L'espace est isotrope, ses propriétés ne changent pas quand on le fait tourner autour d'un axe quelconque. Imagine qu'on fait tourner autour de F, le résultat ne doit pas changer car F ne change pas quand on fait tourner F sur lui-même. Le seul mouvement possible est donc le long de F car l'accélération non plus ne doit pas changer quand on fait tourner autour de F.
Je n'ai pas tout compris... Mais soit, je veux bien admettre que F et dv/dt sont forcément colinéaires. Dans ce cas le problème est résolu.
Pensez-vous que l'on puisse faire quelque chose avec mon "début d'idée" du message #6 ? Si non, j'adopterai définitivement votre explication, mais je préfère les méthodes calculatoires à vrai dire...
Merci en tout cas!
Quand on taquine des problèmes fondamentaux, il faut savoir revenir aux idées fondamentales...
