/!\ Problème d'analyse dimensionelle : Théorème Pi (Vaschy-Buckingham)

[invite18622b9e]

Bonjour à tous !

Je suis actuellement étudiant en première année dans une école d'ingénieur et on nous a demandé de résoudre un exercice. Cependant, même avec la correction, je n'ai toujours pas compris comment faire.
Pourriez vous me l'expliquer ?

" Soit un solide de dimension caractéristique R et de vitesse U se déplaçant dans un liquide de masse volumique ρ (rhô) et de viscosité dynamique η ( [η]= M.L(^-1).T(^-1) ).
Il subit une force de freinage F qu'on se propose d'étudier en fonction de U.
On sait que si U est faible, l'écoulement est laminaire ; il devient turbulent si U est élevée.
Montrez que vous pouvez construire la vitesse critique Uc à partir de R, ρ et η.
Si U<<Uc, on constate que F dépend peu de ρ, tandis que si U > Uc, η influe peu. Etablir dans ce cas F(R, η, U, ρ)."

On a 5 variables : F, R, U, ρ et η.
3 dimensions : M, L et T

Donc cela donne 5-3 = 2 grandeurs non dimensionnées.
Jusque là je comprends, mais ensuite ?
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[coussin]

Comment combiner R, rho et eta pour avoir une vitesse
Déjà, y a que rho et eta qui ont une masse dans leurs dimensions. Pour que cette masse disparaisse (y a pas de masse dans une vitesse), faut un terme rho/eta ou eta/rho. Etc… jusqu'à arriver à une vitesse

[obi76]

" Montrez que vous pouvez construire la vitesse critique Uc à partir de R, ρ et η.

Non mais c'est n'importe quoi. Je prend des nombres, je multiplie etc pour avoir un nombre sans dimension et HOP, une vitesse critique ! Il tient ça d'où ton prof ? Au mieux tu ne peux avoir qu'une estimation d'une vitesse (à +/- 20% pour la majorité des cas) à partir de laquelle ça DEVIENT turbulent (et encore, ça dépend)...

Il y a des écoulements laminaires à des Reynolds de 10000 et des écoulements micro-poreux turbulents avec des Reynolds minables....

Quand je vois ça ça m'horripile.

Cordialement,

[obi76]

pour approfondir :

Le théorème Pi te permets de créer un nombre adim à partir de certaines grandeurs, mais l'interprétation ne se fait pas "à l'arrache" comme ça (par exemple, tu as 2 nombres de Nusselt et Sherwood distincts, ce n'est pas pour rien). Créer un adimensionnel qui permet de caractériser le niveau de turbulence, OK, mais en déduire qu'il existe une "vitesse limite" à partir de laquelle ça le devient, c'est tout simplement utopique

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite18622b9e]

Houlàlà je vous rassure tout de suite !

Lors de la correction, on nous a bien dit qu'on ne cherchait pas une valeur précise de Uc.

(D'ailleurs cette année, en physique et maths on ne se sert pas du tout de la calculette, on fait de grosses approximations et on utilise pratiquement plus de chiffres mais que des lettres. L'essentiel étant de comprendre les méthodes.)

[obi76]

Ha d'accord, à la rigueur alors ^^

Avec U (m/s), R(m), (kg/m^3) et (kg/m/s), on peut combiner tout ça pour avoir un nombre adimensionnel :
a une dimension de

ou,



Tu as 4 inconnues :

et 3 équations :





que je te laisse gentillement résoudre