Bonjour,
J'ai obtenu 2 résultats différents en utilisant 2 méthodes différentes pour résoudre un exercice d'hydrostatique, où il faut calculer la pression en tout point d'une planète sphérique de masse volumique . Pouvez-vous m'aider à trouver mon erreur svp ?

1e méthode (je pense qu'elle donne le bon résultat)
où est la force volumique, qui est la force gravitationnelle.

En un point P de la planète, tout plan passant par O et P est plan de symétrie pour la masse, donc (en coordonnées sphériques).
d'où . Je m'arrête là car j'obtiens un résultat différent à ce stade avec la 2e méthode

2e méthode
On fait un bilan des forces sur un volume élémentaire (en coordonnées sphériques) situés en . est selon , donc je ne m'intéresse qu'aux composantes selon :
- la force volumique donne
- la pression exercée sur la face en r+dr donne
- la pression exercée sur la face en r donne

Comme c'est statique, la somme des forces est nulle, donc


En simplifiant par ,
soit
donc


d'où la contradiction avec la première méthode. En fait ça revient à démontrer en utilisant les coordonnées sphériques, mais ça ne m'avance pas trop..
Je ne comprends vraiment pas où est mon erreur. Aidez-moi s'il-vous-plait !