Champ dépolarisant et matrice

[DarK MaLaK]

Bonjour, dans un cours d'électrostatique, je trouve qu'on peut écrire le champ dépolarisant (dans un diélectrique) sous la forme :



Où M est une matrice 3x3 de trace unité et diagonale dans le repère cartésien basé sur les trois axes principaux de l'ellipse de matière qu'on considère.


Je n'arrive pas bien à comprendre d'où vient cette formule ni les conditions comme la trace unité... De plus, j'aimerais que quelqu'un m'explique comment on trouve M pour des géométries particulières (plan, sphère, cube, cylindre).

Merci d'avance !
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[DarK MaLaK]

Personne ne connaît cette méthode pour trouver les champs dépolarisants ?

[DarK MaLaK]

Je me permets un petit up, car je ne trouve pas grand chose sur google.

[invite60be3959]

Personne ne connaît cette méthode pour trouver les champs dépolarisants ?

Bonjour,

le mieux serait de nous présenter le cours afin de voir le contexte de cette formule.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiluc40]

Bonjour,

Ta matrice telle que tu l'as définie est l'opposé de l'inverse de la susceptibilité électrique.

Par contre, cette matrice me semble liée au matériau, pas à sa géométrie.

[DarK MaLaK]

Salut, vaincent, c'est un cours d'introduction à la polarisation de la matière. Au début, on revoit la loi de Coulomb, les équations de Maxwell, de Gauss, Green-Ostrogradski, ainsi que celles sur le potentiel (Poisson, Laplace).

Ensuite sont présentés quelques exemples de calculs de champ (plan pour les condensateurs par exemple), et on passe à une partie sur les dipôles élémentaires dans laquelle on introduit le vecteur de polarisation P pour une distribution volumique de dipôles élémentaires...

Donc on réécrit les équations de l'électrostatique avec ça et on parle du vecteur induction électrique D.

Et à la fin de cette partie, il y a une remarque : "Le champ électrique interne, induit par la polarisation de la matière, dépend de la forme macroscopique du matériau. On l'appelle champ dépolarisant. (...)

Pour de la matière uniformément polarisée, les résultats précédents se généralisent en traitant le cas d'une ellipse de matière avec ses trois axes principaux. On peut montrer que le champ de dépolarisation s'écrit : avec M : matrice 3x3, diagonale dans et de trace unité."

Voilà, c'est cette partie finale que j'ai un peu de mal à comprendre car elle arrive assez brutalement dans le cours !

[invite60be3959]

Ok je vois mieux. Je dois avoir ça dans un de mes cours de license. J'irais voir ça tout à l'heure, là je vais allez manger !

[DarK MaLaK]

Bonjour,

Ta matrice telle que tu l'as définie est l'opposé de l'inverse de la susceptibilité électrique.

Par contre, cette matrice me semble liée au matériau, pas à sa géométrie.

Merci pour ta réponse, mais j'ai peur que ce ne soit pas ça car la relation présentée par Wikipédia pour le cas isotrope est utilisée dans le chapitre suivant de mon cours, indépendamment de la formule dont je parle. Je vois même qu'on utilise les deux pour résoudre un problème à un moment...

Ok je vois mieux. Je dois avoir ça dans un de mes cours de license. J'irais voir ça tout à l'heure, là je vais allez manger !

Ok, bon appétit !

[Tiluc40]

Merci pour ta réponse, mais j'ai peur que ce ne soit pas ça car la relation présentée par Wikipédia pour le cas isotrope est utilisée dans le chapitre suivant de mon cours, indépendamment de la formule dont je parle. Je vois même qu'on utilise les deux pour résoudre un problème à un moment..

La fin de la page de wikipedia mentionne le cas anisotrope.

[DarK MaLaK]

Justement, je voulais dire que la formule et la formule que j'ai donnée avec la matrice sont utilisées ensemble, dans un même problème, ce qui suggère qu'elle peut être utilisée dans le cas isotrope et que ce n'est pas simplement l'inversion de la susceptibilité dans le cas anisotrope, non ?

[DarK MaLaK]

Up ! Dites-moi s'il manque encore des informations pour me répondre clairement !

[Tiluc40]

Bonjour,

Justement, je voulais dire que la formule et la formule que j'ai donnée avec la matrice sont utilisées ensemble, dans un même problème, ce qui suggère qu'elle peut être utilisée dans le cas isotrope et que ce n'est pas simplement l'inversion de la susceptibilité dans le cas anisotrope, non ?

Pour de la matière uniformément polarisée, les résultats précédents se généralisent en traitant le cas d'une ellipse de matière avec ses trois axes principaux. On peut montrer que le champ de dépolarisation s'écrit : avec M : matrice 3x3, diagonale dans et de trace unité."

Je prends la formule liant la polarisation au champ électrique dans un diélectrique anisotrope :


où est le tenseur de susceptibilité électrique (3x3).

Je multiplie à droite et à gauche par -->

c'est à dire

On divise à droite et à gauche par



En posant , on tombe exactement sur ta formule. Est-ce que ça répond au moins à ta question sur l'origine de la formule ?

[DarK MaLaK]

Salut Tiluc40, en fait, j'avais déjà compris ce que tu voulais dire par cette inversion. Mais je ne comprends pas pourquoi tu dis qu'elle est à l'origine de ma formule avec la matrice, surtout à cause du signe moins devant ! Et aussi du fait qu'on utilise cette formule pour traiter le cas isotrope. Il y a quelque chose qui m'échappe en fait... Pour illustrer ceci, par exemple, on utilise la formule de la matrice pour trouver le champ dépolarisant :



Et là, j'utilise la formule :



Puis je peux trouver le champ intérieur en combinant les deux équations pour éliminer P et en reportant le résultat dans celle-ci :



Du coup, j'ai l'impression que les deux formules sont indépendantes l'une de l'autre, qu'elles ne s'appliquent même pas au même champ !! Peux-tu m'éclairer là-dessus ?

[Tiluc40]

Bonsoir,

Je commence à voir ce que tu veux dire. Si tu as accès au bouquin "Physique de l'état solide", par Charles Kittel (Dunod), tu peux regarder le chapitre 13 : Diélectriques et ferroélectriques (et certains exercices associés). J'essayerais de trouver le temps d'y jeter un coup d'oeil pour me remettre les idées au clair, mais pas ce soir. A défaut, un bon bouquin d'optique devrait aussi éclairer (Principles of Optics, Born & Wolf ? )

[DarK MaLaK]

Ok, merci, si tu trouves un moment, n'hésite pas à revenir m'expliquer. Moi aussi, je suis assez pris par le temps mais j'essaierai d'aller lire le chapitre dont tu parles, car je pense que ce livre se trouve à la bibliothèque universitaire, étant donné que c'est l'un des plus connus !