Equation de Schrödinger

[invitef17c7c8d]

Bonsoir,



Attention, toutes les observables ne sont pas quantifiées en MQ ! L'énergie, le moment cinétique, le spin, oui, mais certainement pas la postion et l'impulsion, qui sont par essence des obervables à spectres continues. C'est pour cette raison que l'on parle de densité de probabilité. C'est un des enseignements fondamentaux de la MQ, et c'est pour cela que cette intégrale n'a jamais interloqué qui que ce soit qui aurait étudié la MQ de façon suffisament détaillée.

Vous déformez mes propos et votre réponse est plutôt désobligeante. Mais au moins vous avez eu le mérite de formuler une réponse "technique".

Je n'emploie pas le mot de "quantifié", mais celui de discret.
Ce discret vient du fait qu'il faut renoncer à raisonner en termes de position et de vitesse pour celui d'une infinité d'état dans un espace Hilbertien. L'intégrale qui apparait dans la définition de la fonction d'onde vient de là! Ensuite que l'on normalise et qu'on ramène cela à une probabilité, c'est simplement pour faire le lien avec la physique.

Donc la fonction d'onde, ce n'est pas un état, c'est une infinité d'état. Cette nuance est capitale!

Maintenant quelle est la signification des relations d'indéterminations d'Eisenberg?
Eh bien, je ne peux connaitre à la fois qu'un paquet de fonctions de Dirac dans l'espace des positions et qu'un paquet d'ondes planes dans l'espace des impulsions dans des proportions données par les relations d'indéterminations.
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[invite93279690]

Je n'emploie pas le mot de "quantifié", mais celui de discret.

Il y a sans doute moyen de chipoter sur les deux concepts mais la plupart du temps ils sont synonymes. Ils sont d'ailleurs reliés par une phrase du type "les valeurs propres de cette observable sont discrètes, elle est donc quantifiée". A part certains opérateurs, comme les moments cinétiques orbitaux et intrinsèques, je ne vois pas d'opérateurs qui aient d'office un spectre discret pour tout type de conditions aux bords.

Donc la fonction d'onde, ce n'est pas un état, c'est une infinité d'état. Cette nuance est capitale!

On peut avoir une fonction d'onde correspondant à un état bien précis pour les mesures qu'on cherche à faire sur le système. C'est comme si tu disais "un vecteur ce n'est pas un vecteur mais une infinité de vecteurs".
J'ajouterai que les "fonctions d'ondes" de Dirac pour les positions et ondes planes pour les impulsions ne sont pas de carré sommable et ont donc juste une utilité pratique en mécanique ondulatoire comme étant des bases de décompositions privilégiées.

Maintenant quelle est la signification des relations d'indéterminations d'Eisenberg?

Plutot qu'un charabia difficilement compréhensible restons concis. Les relations d'indeterminations d'Heisenberg stipulent que les relations de non commutation entre les opérateurs et impliquent que les fonctions d'onde en impulsion et en position sont transformées de Fourier l'une de l'autre. Après, il suffit d'appliquer un résultat standard de la théorie du signal pour parvenir à la formulation usuelle des relations d'incertitudes.

[invitef17c7c8d]

Il y a sans doute moyen de chipoter sur les deux concepts mais la plupart du temps ils sont synonymes. Ils sont d'ailleurs reliés par une phrase du type "les valeurs propres de cette observable sont discrètes, elle est donc quantifiée". A part certains opérateurs, comme les moments cinétiques orbitaux et intrinsèques, je ne vois pas d'opérateurs qui aient d'office un spectre discret pour tout type de conditions aux bords.

Si la constante de planck est du chipotage, alors oui je chipote...

On peut avoir une fonction d'onde correspondant à un état bien précis pour les mesures qu'on cherche à faire sur le système. C'est comme si tu disais "un vecteur ce n'est pas un vecteur mais une infinité de vecteurs".

Non, c'est comme si vous disiez , en négligeant les autres composantes.

J'ajouterai que les "fonctions d'ondes" de Dirac pour les positions et ondes planes pour les impulsions ne sont pas de carré sommable et ont donc juste une utilité pratique en mécanique ondulatoire comme étant des bases de décompositions privilégiées.

Non, c'est juste la seule base qui permet de faire le lien entre l'espace des états et l'espace réel.

Plutot qu'un charabia difficilement compréhensible restons concis. Les relations d'indeterminations d'Heisenberg stipulent que les relations de non commutation entre les opérateurs et impliquent que les fonctions d'onde en impulsion et en position sont transformées de Fourier l'une de l'autre.
Après, il suffit d'appliquer un résultat standard de la théorie du signal pour parvenir à la formulation usuelle des relations d'incertitudes.

Vou dites que c'est parcequ'on a non-commutativité entre et , que les fonctions d'ondes sont transformées de Fourier l'une de l'autre?? Ca ma parait tellement gros que je dois attendre lundi pour vérifier et me faire une opinion.

[invite93279690]

Si la constante de planck est du chipotage, alors oui je chipote...

Je ne vois pas ce que vient faire la constante de Planck là dedans.

Non, c'est comme si vous disiez , en négligeant les autres composantes.

Un état en MQ est un vecteur appartenant à un espace de Hilbert abstrait (et sans doute difficilement caractérisable en général). La mécanique ondulatoire avec les fonctions d'onde constitue l'écriture des équations du mouvement de la MQ en composantes dans une base de l'espace de Hilbert privilégiée associée à la position ou à l'impulsion. C'est la raison pour laquelle on appelle cela des représentations. L'avantage de ces représentations est que les espaces de Hilbert asscociés sont bien définis mathématiquement ainsi que la plupart des outils utilisés en MQ (opérateur, produit hermitien, normalisation etc...).

Non, c'est juste la seule base qui permet de faire le lien entre l'espace des états et l'espace réel.

Oui c'est pour ça que j'ai dit privilégiées.

Vou dites que c'est parcequ'on a non-commutativité entre et , que les fonctions d'ondes sont transformées de Fourier l'une de l'autre?? Ca ma parait tellement gros que je dois attendre lundi pour vérifier et me faire une opinion.

Ok attendons lundi alors.

[invitef17c7c8d]

Alors là gatsu, je suis dans l'incertitude (de lionelod, pas d'Heisenberg )
Le passage de la base r(position) à p(impulsion) est donné par


Est ce que cette relation traduit la non-commutativité entre r et p?

[invite60be3959]

Alors là gatsu, je suis dans l'incertitude (de lionelod, pas d'Heisenberg )
Le passage de la base r(position) à p(impulsion) est donné par


Est ce que cette relation traduit la non-commutativité entre r et p?

ça crève les yeux !

Il y a plusieurs façon de le voir. Sachant qu'une fonction d'onde projetée sur la base des états propres des r est la transformée de Fourier d'une autre fonction d'onde projetée sur la base des états propres de p, alors gràce à l'égalité de Parseval-Plancherel on montre sans trop de difficultés que l'on arrive à la relation d'incertitude :



(idem pour y et z)qui traduit le fait qu'un faible étalement aura pour conséquence un fort étalement , ce qui est une propriété bien connue dans l'analyse harmonique en ce qui concerne la fréquence et le temps.

Or cette relation d'incertitude est directement reliée au commutateur par la relation suivante :

.

(que l'on trouve dans n'importe quel cours de MQ de base).D'où le lien entre transformée de Fourier et relation de commutation.

Une autre façon de voir les choses est associé à la notion d'opérateur unitaire. Tout opérateur unitaire peut s'écrire comme l'exponentielle complexe d'un générateur infinitésimale de la transformtion unitaire en question. En vertue du développement :



et de la matrice de passage que tu as écris, on redémontre encore une fois la relation de commution entre r et p, et le fait que celle-ci soit directement lié à la transformation de Fourier qui les relie.

[invite93279690]

Alors là gatsu, je suis dans l'incertitude (de lionelod, pas d'Heisenberg )
Le passage de la base r(position) à p(impulsion) est donné par


Est ce que cette relation traduit la non-commutativité entre r et p?

Oui parce que si je note par commodité , alors par définition de cette fonction d'onde j'ai :

Mais par ailleurs, comme je suis en représentation , l'opérateur impulsion a pour représentation
et on obtient donc que vérifie l'équation

dont la solution est celle que tu as donnée plus haut.

C'est un peu long à démontrer mais la raison pour laquelle la représentation de l'opérateur impulsion est une dérivée spatiale provient en effet de la non commutativité de et (une façon de le voir en passant par la théorie des groupes est que et partagent la même algèbre que avec le générateur des translations spatiales ; la suite est assez directe pour arriver à la dérivée en représentation ).