Equation de Schrödinger

[Micki2a]

Bonjour à tous.

La physique quantique me passionne déjà malgré mon petit niveau, je lis pas mal de livres de vulgarisation mais j'aimerais passer à une étape supérieur.

J'aimerais commencer par la célèbre Équation de Schrödinger.

Est-ce qu'il y aurait quelqu'un qui aurait la gentillesse de m'apprendre ce qu'elle signifie, comment l'utiliser? Me donner quelques exemples d'applications.

Ce que je demande ne signifie pas: Tiens je t'écris l'équation, alors ça tu vois c'est la fonction d'onde, ça tu vois c'est i le nombre imaginaire. Je veux que ça soit + poussé que ça.

Ça serait vraiment super méga sympa de votre part

Je vous remercie d'avance !
PS: Je suis en 1ère année de prépa (donc elle est hors-programme).
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[invitef17c7c8d]

L'équation de Schrodinger décrit quelque chose d'unique et d'incroyable : Des ondes de probabilités. On a donc des courants de probabilités. Des trucs du style : Conservation de la probabilité, ...

Et au-dela de ça, elle est capable de représenter à la fois les aspects ondulatoire et corpusculaire de la matière atomique dans un même formalisme.

C'est trop beau!

[gatsu]

Je veux que ça soit + poussé que ça.

Salut,

Plus poussé je veux bien mais comment exactement ? Tu voudrais être capable de refaire un calcul à tes copains après ou tu veux d'avantage discuter les aspects conceptuels ?

[Micki2a]

Je souhaite comprendre comme l'utiliser pour mon plaisir personnel.

Le côté conceptuel m'intéresse également mais ça risque d'être + compliqué. Mais je veux bien tenter !

[A voir en vidéo sur Futura]

[maxwellien]

salut beh je pense qu' avant d' utiliser et d' interpréter convenablement l' equation de schrodinger tu doit te familiariser avec des concepts mathématiques tel que la transformé de fourier, les calculs de probabilité, les opérateur et surtout l' algébre linéaire...
Eh oui il ne faut pas oublier que les ondes de proba ne sont que des être mathématique

[invitef17c7c8d]

En mécanique classique, le principe de moindre action est équivalent aux équations de Newton. Pour traiter un problème, on peut utiliser à notre guise soit l'un, soit l'autre.

En mécanique quantique, compte tenu de la dualité onde-corpuscule, en fait on "mélange" les deux approches.
L'approche Hamiltonienne (basée sur un principe énergétique) et l'approche "équation du mouvement" qui régit l'évolution dans le temps du système physique.
L'aspect ondulatoire se trouve dans le premier, l'aspect corpusculaire dans le second.

Du coup, pour pouvoir concilier les deux, il faut renoncer à décrire ou à se représenter le système par "classiquement" la position et la vitesse de la particule.
La représentation se fait aux travers d'opérateurs et d'observables.
C'est un peu plus compliqué à s'en faire une représentation mentale mais pas tant que cela...

En mécanique ondulatoire, on se représente le système soit comme la superposition d'ondes se propageant dans diverses directions soit comme une superposition d'ondes stationnaires; les deux approches sont équivalentes.

En mécanique quantique, on calcule tout d'abord les "ondes stationnaires" (aspect ondulatoire): C'est la méthode hamiltonienne. Puis on regarde l'évolution de ce paquet de modes au travers de l'équation de Schrodinger qui régit son évolution au cours du temps (aspect corpusculaire)

[Micki2a]

Bonjour,

Merci pour cette explication.

Puis je maintenant en savoir un peu + sur l'équation en elle-même?

Merci d'avance.

[invitef17c7c8d]

Dans l'équation de Schroshro, il y a :
* 2 actions : la constante de Planck h et l'Hamiltonien du système.
* La "position" et la "vitesse" du système aux travers de la fonction d'onde et de sa dérivée
* i

La constante de Planck est une limite infranchissable.
Cette limite est une action.

Comme dans la théorie de la relativité, la limite est la vitesse de la lumière.

Si on essaie de se présenter l'équation sur un graphique.

En abscisse on a la "position"
En ordonnée on a la "vitesse".

L'amplitude de la position est donnée par l'hamiltonien.
L'amplitude de la vitesse est donnée par la constante de Planck.

Si l'hamiltonien est très grand devant la constante de Planck, alors on a l'approximation classique.

Si l'hamiltonien est du même ordre grandeur que la constante de Planck, alors on comprend bien pourquoi on a obligatoirement les relations d'incertitudes d'Heisenberg entre la "position" et la "vitesse".

[Seirios]

Puis je maintenant en savoir un peu + sur l'équation en elle-même?

Tout d'abord écrivons l'équation : ou encore .

Il faut donc comprendre deux termes : et .

Pour le premier : en mécanique quantique, on décrit une particule par un vecteur d'un espace de Hilbert (ce vecteur est un "état"), donc une particule est modélisée par une onde. D'ailleurs, on retrouve le principe de superposition. Physiquement, le module représente la densité de probabilité de présence de ladite particule, c'est-à-dire que si l'on fait la même expérience un nombre important de fois, on devrait retrouver cette distribution dans la détection de la particule.

Pour le second : A chaque grandeur physique (par exemple l'énergie), on associe une observable (l'hamiltonien pour l'énergie), qui agit sur le vecteur pour donner de manière analogue à la position une densité de probabilité associée à cette grandeur physique. On peut trouver les observables de position ou de quantité de mouvement par exemple (c'est ceux que l'on retrouve dans la première formulation de l'équation de Schrödinger ci-dessus). Un point intéressant, c'est que les valeurs propres des observables correspondent aux résultats effectivements mesurés par l'observateur.

Donc l'équation de Schrödinger donne l'expression de l'hamiltonien (de l'observable associée à l'énergie).

[Seirios]

Tu trouveras ici un exemple de résolution de l'équation de Schrödinger à un puits de potentiel infini : http://www.sciences.ch/htmlfr/chimie...uantique01.php

[Micki2a]

Bonjour,

- La notation: | > signifie: Vecteur?

- La notation ^ signifie observable?

Qu'est ce que c'est une observable? C'est une application linéaire?

Je ne comprends pas trop ce que signifie observable de p par exemple.

Merci d'avance.

[maxwellien]

L' observable correspond à la nature des valeurs que tu as mesurées c' est à dire l' énergie, l' impulsion, le spin...
On met un chapeau car c' est un opérateur qui agit sur des vecteurs dans un espaces hilbert.

[Seirios]

Qu'est ce que c'est une observable? C'est une application linéaire?

Oui, c'est un opérateur linéaire. Tu peux peut-être voir sur la page de wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Observable pour t'éclaircir les idées.

Tu peux également lire les premiers chapitres d'un cours de MQ pour te faire une idée (12 leçons de mécanique quantique pourrait peut-être t'intéresser).

[Micki2a]

Bonsoir,

J'ai une remarque à faire...

p²/(2m) C'est bien l'énergie cinétique de la particule?

Pouvez vous m'en dire un peu plus sur la fonction d'onde?

Merci d'avance !

[invitef17c7c8d]

Qu'est ce que c'est une observable? C'est une application linéaire?

Une observable est un opérateur.
Qu'est ce un opérateur? : c'est un ensemble de nombre positionné dans une matrice.

Pourquoi a-t-on besoin de tous ces nombres pour définir une mesure de l'énergie par exemple?

A cause du chat de schrodinger : il peut être mort, ou vivant, ou mort-vivant ou vivant-mort. Pour représenter tous ces cas de figure, il es nécessaire de passer par l'écriture matricielle.

La mesure de l'énergie du chat vivant sera ;

La mesure de l'énergie du chat mort-vivant sera ;

[quen_tin]

Je pense qu'il faut déjà commencer par le formalisme, si ce n'est déjà fait. En gros c'est du calcul matriciel (en gros, espace vectoriel=espace des états, vecteur=fonction d'onde=superposition/combinaison d'état, opérateur=opération de mesure, vecteurs propres de l'opérateur=états possibles après la mesure, valeurs propres=valeurs mesurées correspondante...) C'est un prérequis, sinon l'équation elle même est incompréhensible.

Une fois le formalisme maitrisé, l'équation de Schrödinger est simplement la description de l'évolution temporelle de la fonction d'onde d'un système. Elle consiste grosso-modo à appliquer l'opérateur correspondant à l'observable énergie (l'hamiltonien) à la fonction d'onde.

Dans le temps il y avait des cours de mecaQ gratuit en ligne ici : http://www.librecours.org/
Le lien ne marche pas aujourd'hui, à voir.

[albanxiii]

Bonjour,

Une observable est un opérateur.

Votre définition d'une observable est loin d'être complète, et c'est dommage vu que la personne à qui vous répondez n'a pas l'air de connaître les bases de la mécanique quantique.

Voulez-vous terminer votre post ou bien voulez-vous que je donne moi même la définition correcte de ce qu'est une observable ?

[invitef17c7c8d]

Bonjour,



Votre définition d'une observable est loin d'être complète, et c'est dommage vu que la personne à qui vous répondez n'a pas l'air de connaître les bases de la mécanique quantique.

Voulez-vous terminer votre post ou bien voulez-vous que je donne moi même la définition correcte de ce qu'est une observable ?

Ne vous gênez pas pour moi. Pas la peine de me demander à l'avenir.

[Seirios]

Dans 12 leçons de mécanique quantique, on trouve (page 55) :

A toute grandeur physique A, il correspond un observable , être mathématique, qui est un opérateur linéaire hermtien agissant dans l'espace des fonctions d'onde, tel que la valeur moyenne du résultat d'une mesure de la grandeur A sur le système dans l'état est donnée par le nombre : .

[albanxiii]

Bonjour,

Ne vous gênez pas pour moi. Pas la peine de me demander à l'avenir.

Le problème est bien là, vous racontez à peu près n'importe quoi, souvent hors-sujet, en vous faisant visiblement très plaisir !!! et vous laissez ensuite les autres corriger vos dires..... Vous devriez penser sérieusement à ne pas intervenir sur des sujets que vous ne maîtrisez pas, ou alors pour poser des questions.



Pour complèter ce qu'a écris Serios, il faut ajouter que les vecteurs propres d'une observable forment une base de l'espace des états du système considéré (ref. Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë).

[invitef17c7c8d]

Bonjour,



Le problème est bien là, vous racontez à peu près n'importe quoi, souvent hors-sujet, en vous faisant visiblement très plaisir !!! et vous laissez ensuite les autres corriger vos dires..... Vous devriez penser sérieusement à ne pas intervenir sur des sujets que vous ne maîtrisez pas, ou alors pour poser des questions.



Pour complèter ce qu'a écris Serios, il faut ajouter que les vecteurs propres d'une observable forment une base de l'espace des états du système considéré (ref. Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë).

Ok, puisque vous êtes si fort, vous n'avez qu'à essayer de nous expliquer la formule au lieu de recopier bêtement une définition, sans aucune interprétation derrière! Ca, même moi je saurai le faire.
Montrez moi ce que vous valez! Expliquez-moi! et pas de paraphrase SVP

[invite401b9562]

Bonjour,



Le problème est bien là, [...]


Pour complèter ce qu'a écris Serios, il faut ajouter que les vecteurs propres d'une observable forment une base de l'espace des états du système considéré (ref. Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë).

Bonsoir,

En même temps, voyant le niveau de celui qui pose la question :

Bonjour à tous.

La physique quantique me passionne déjà malgré mon petit niveau, je lis pas mal de livres de vulgarisation mais j'aimerais passer à une étape supérieur.

Je ne pense pas que ça l'avancera a grand chose de savoir qu'une observable est un opérateur linéaire hermitien agissant sur un espace de fonction...

Bien sur pour faire de la science et de la physique en particulier, il faut nécessairement être rigoureux mais pour expliquer la science, il faut peut être savoir être laxiste parfois non ?

D'un autre coté, celui qui pose la question a l'air de vouloir vraiment comprendre l'équation, et pour cela, il lui faut obligatoirement maitrisé l’attirail mathématique qu'il y a derrière.

Donc si l'on veut bien lui répondre, il faut soit lui conseillé des livres (et il y en a des exellents, le cohen par exemple) soit lui expliqué avec beaucoup de pédagogie, et non pas en lui lancant de but en blanc, que la fonction d'onde est un vecteur d'un espace de hilbert ou autre...

[invitef17c7c8d]

L'équation écrite par Seirios (Phys2) 3 messages plus bas

est d'une telle subtilité, que l'écrire aussi laconiquement traduit une incompréhension profonde de sa signification.

Cette intégrale, comment l'interpréter? Eh bien comme une base continue de Dirac. Si vous ne voyez pas cela, vous ne pouvez rien comprendre.

Maintenant vous pouvez commencer à comprendre ...

[invitef17c7c8d]

Pour continuer l'explication...
Dans le cas qui nous intéresse, l'espace des états est défini de telle sorte qu'en chaque point de l'espace, on place une fonction de Dirac. Donc le nombre d'état est infini. Chaque fonction de Dirac a une certaine amplitude.

Une fois que la base est définie, l'énergie en un point de l'espace est la contribution d'une part de l'énergie en ce point et d'autre part de l'énergie aux autres points qui agissent aux point considéré.

[invite401b9562]

Pour continuer l'explication...
Dans le cas qui nous intéresse, l'espace des états est défini de telle sorte qu'en chaque point de l'espace, on place une fonction de Dirac. Donc le nombre d'état est infini. Chaque fonction de Dirac a une certaine amplitude.

Une fois que la base est définie, l'énergie en un point de l'espace est la contribution d'une part de l'énergie en ce point et d'autre part de l'énergie aux autres points qui agissent aux point considéré.

Wahou !

Je rejoint le point de vue de albanxi !

Je pense que tes post embrouille plus le poseur de question qu'autre chose...

ça me fait penser aux type, ui lorsque tu leurs pose une question, aprés la réponse, tu comprend meme plus ta question lol.

Parce que ce que tu dis dans le message citer, meme moi qui est un niveau certainement plus élevé que celui qui a créer le fil, je n'y comprend rien !!

L'intégrale donnée n'est rien d'autre qu'un produit scalaire dans l'espace de hilbert...

[Deedee81]

l'espace des états est défini de telle sorte qu'en chaque point de l'espace, on place une fonction de Dirac.

Chaque fonction de Dirac a une certaine amplitude.

l'énergie en un point de l'espace est la contribution d'une part de l'énergie en ce point et d'autre part de l'énergie aux autres points qui agissent aux point considéré.

Ding, ding, dong. Un traducteur est demandé salle sept, un traducteur est demandé salle sept, merci.

Le plus commique c'est que j'ai réussi à traduire. Pour les connaisseurs, le premier point, par exemple : penser au produit scalaire et à la normalisation avec distribution de Dirac.

Mais je ne ferai pas l'effort de traduire. C'est un peu facile d'écrire des messages "comme ça" (les guillemets m'évitent les qualitificatifs désobligeants) puis de laisser les autres faire le boulot. Je ne suis pas toujours le roi de la clarté ou de la rigueur, mais là, c'est vraiment mais vraiment très fort.

[invitef17c7c8d]

Wahou !

Je rejoint le point de vue de albanxi !

Je pense que tes post embrouille plus le poseur de question qu'autre chose...

ça me fait penser aux type, ui lorsque tu leurs pose une question, aprés la réponse, tu comprend meme plus ta question lol.

Mon but serait plutôt que les personnes se disent après mes réponses:"Ah d'accord! c'est comme cela que ça marche!"

Il faut toujours avoir à l'esprit que la nature est joueuse! La nature aime bien nous faire tourner en bourrique. La complexité se cache souvent là ou on ne l'attend pas.
La nature nous donne la possibilité de comprendre l'Univers mais pas celle de comprendre le mouvement de la fumée d'une cigarette. N'est ce pas là un comble ?

Parce que ce que tu dis dans le message citer, meme moi qui est un niveau certainement plus élevé que celui qui a créer le fil, je n'y comprend rien !!

Peux-tu préciser s'il te plait : Tu n'y comprends rien à quoi ? A mon message ou à la Mécanique Quantique?

L'intégrale donnée n'est rien d'autre qu'un produit scalaire dans l'espace de hilbert...

Cette intégrale ne vous a jamais interloqué?? Ni personne d'autre??
Une intégrale (continue) dans le monde quantique, qui est le monde discret par excellence??

[invitef17c7c8d]

Ding, ding, dong. Un traducteur est demandé salle sept, un traducteur est demandé salle sept, merci.

Le plus commique c'est que j'ai réussi à traduire. Pour les connaisseurs, le premier point, par exemple : penser au produit scalaire et à la normalisation avec distribution de Dirac.

Mais je ne ferai pas l'effort de traduire. C'est un peu facile d'écrire des messages "comme ça" (les guillemets m'évitent les qualitificatifs désobligeants) puis de laisser les autres faire le boulot. Je ne suis pas toujours le roi de la clarté ou de la rigueur, mais là, c'est vraiment mais vraiment très fort.

Quelles sont les deux bases continues les plus usuelles en MQ? R et P!
R sont les fonctions de dirac dans l'espace réel, et P sont les ondes planes! R et P sont transformés de fourier l'une de l'autre!

Avez-vous déja ouvert un livre de MQ!

[invite401b9562]

Mon but serait plutôt que les personnes se disent après mes réponses:"Ah d'accord! c'est comme cela que ça marche!"

Ah d'accord ! ben pour moi ta méthode n'a pas fonctionné

Il faut toujours avoir à l'esprit que la nature est joueuse! La nature aime bien nous faire tourner en bourrique. La complexité se cache souvent là ou on ne l'attend pas.
La nature nous donne la possibilité de comprendre l'Univers mais pas celle de comprendre le mouvement de la fumée d'une cigarette. N'est ce pas là un comble ?

Oh crois moi je découvre tout les jours a quelle point la nature est capricieuse ! Mais notre but n'est il pas de la simplifié pour mieux la comprendre et non pas l'inverse ?

Peux-tu préciser s'il te plait : Tu n'y comprends rien à quoi ? A mon message ou à la Mécanique Quantique?

A ton message ! Meme si je retrouve des notions connus, ce n'est qu'un capharnaüm sans queue ni tete !
On peut trés bien expliqué la méca Q sans etre complètement incompréhensible.
Je crois que je peut dire que je "connais" la méca Q, ou du moins j'en suis famillier aprés quelques année a ses cotés... Alors que pour ton message je ne saurais meme pas dire si c'est faux ou juste !

Cette intégrale ne vous a jamais interloqué?? Ni personne d'autre??
Une intégrale (continue) dans le monde quantique, qui est le monde discret par excellence??

Encore une fois ce n'est rien d'autre qu'un produit scalaire, je crois que je vois de quoi tu parle avec les base continue et autres, mais la méca Q ne fait pas intervenir que des choses discretes !
Tu confond la quantification et la continuité, on peut trés bien utiliser des "outils mathématique continue" pour expliquer des chose quantifier !

[vaincent]

Bonsoir,

Cette intégrale ne vous a jamais interloqué?? Ni personne d'autre??
Une intégrale (continue) dans le monde quantique, qui est le monde discret par excellence??

Attention, toutes les observables ne sont pas quantifiées en MQ ! L'énergie, le moment cinétique, le spin, oui, mais certainement pas la postion et l'impulsion, qui sont par essence des obervables à spectres continues. C'est pour cette raison que l'on parle de densité de probabilité. C'est un des enseignements fondamentaux de la MQ, et c'est pour cela que cette intégrale n'a jamais interloqué qui que ce soit qui aurait étudié la MQ de façon suffisament détaillée.