Les nombres complexes ont-ils une réalité physique ?

[invite1d1f0593]

Question initiale : Les nombres complexes ont-ils une réalité physique ?

La question est en substance "Comment faire pour donner une tangibilité physique à quelque chose qui est représenté dans une dimension imaginaire.

Tout d'abord, il ne fait pas s'arrêter à la définition initiale : racine de -1.

Quelle différence peut-on faire entre z1=2+2i et z2=2+3i ?

1) Cela peut être vu comme des "nuances" différentes d'une valeur. Par exemple, si la couleur bleue vaut 2, on peut imaginer que des nuances à l'intérieur du bleu.

2) En croisant z1 et z2, on obtient des choses réelles à partir de choses virtuelles.
2i.3i=-6

Après tout, en cosmologie, on établit bien l'existence virtuelle de particules (l'énergie du vide) qui peuvent subitement devenir réelle (pour disparaître tout aussi subitement).
-----

[Deedee81]

Salut,

Sortir le nez du guidon et voir la science de l'extérieur de la science elle-même.

Ca ne donnera jamais qu'un modèle de plus. Ca revient au même.

La question est en substance "Comment faire pour donner une tangibilité physique à quelque chose qui est représenté dans une dimension imaginaire.

Tout d'abord, il ne fait pas s'arrêter à la définition initiale : racine de -1.

J'aime bien cette remarque.

Imaginons (c'est de bon aloi pour des imaginaires ) un plan sur lequel sont disposés des objets. Rien de plus tangible que ça. On peut parfaitement représenter la position de ces objets dans ce plan par deux axes et identifier ces axes aux axes du plan de Gauss (axe réel et axe imaginaire). Puis faire des calculs sur ces positions.

Et voilà qu'on a donné une réalité tangible aux nombres complexes.

Rien de plus facile, rien de magique, rien de philosophiquement profond,..... Tout le reste c'est, comme disait pon prof de physique, "se gratter pour se faire rire".

[Amanuensis]

Et voilà qu'on a donné une réalité tangible aux nombres complexes.

On a donné une "réalité tangible" au plan, à la variété Cinfini de deux dimensions, etc.

A-t-on donné une réalité tangibles aux nombres complexes, à leur propriétés algébriques en particulier à la multiplication des complexes ? Je ne pense pas.

Du coup je doute que ce soit une réponse satisfaisante pour ceux qui se posent une question genre celle du titre.

[stefjm]

Tout le reste c'est, comme disait pon prof de physique, "se gratter pour se faire rire".

Le mien disait : «Se chatouiller pour se faire rire.»
On n'a pas eu le même prof.

[Deedee81]

On a donné une "réalité tangible" au plan, à la variété Cinfini de deux dimensions, etc.

En effet.

A-t-on donné une réalité tangibles aux nombres complexes, à leur propriétés algébriques en particulier à la multiplication des complexes ? Je ne pense pas.

Le cas que j'ai pris est un peu simpliste mais on peut certainement faire le lien entre la multiplication des complexes et ce qu'on représente avec. Sinon on n'emploierait jamais les complexes.

Du coup je doute que ce soit une réponse satisfaisante pour ceux qui se posent une question genre celle du titre.

Peut-être.

Il me semble que l'abus de langage que je fais soit la seule réponse possible (déjà vu la position dans ma toute première réponse). On a d'un coté les math, de l'autre, la physique, et entre les deux des relations. On ne donnera jamais de réalité tangible au sens propre aux nombres complexes, pas plus qu'on n'en donnera aux nombres naturels. A moins d'être un platonicien intégriste

Le mien disait : «Se chatouiller pour se faire rire.»
On n'a pas eu le même prof.

Pourtant le mien a aussi travaillé en France. Ca aurait pu

[invitef17c7c8d]

J'ai pu remarqué, à mon niveau, que les nombres complexes( ou disons plutôt le fait d'ajouter une partie imaginaire) se prétaient à merveille pour décrire de façon phénoménologique la dissipation!

Qu'est ce que je peux en déduire ?

1. Il existe une dimension imaginaire (physique ou réelle) où une partie de l'énergie de mon système est transmise de manière irréversible.

2. Mon modèle mathématique (en l'occurence mon hamiltonien) n'est pas réaliste.

[stefjm]

J'ai pu remarqué, à mon niveau, que les nombres complexes( ou disons plutôt le fait d'ajouter une partie imaginaire) se prétaient à merveille pour décrire de façon phénoménologique la dissipation!
Qu'est ce que je peux en déduire ?

Que c'est connu.
Un vecteur d'onde imaginaire rend compte de l'atténuation.

1. Il existe une dimension imaginaire (physique ou réelle) où une partie de l'énergie de mon système est transmise de manière irréversible.

C'est amusant : les électroniciens font le contraire, ils tournent la tête de 90° par rapport à ce point de vu.
La résistance est réelle et modélise les pertes irréversibles par effet Joule.
L'inductance et le condensateur sont imaginaires et modélisent l'oscillation et la conservation des énergies cinétique et potentielle.

Tout dépend du point de vue.

[invite7863222222222]

Ca ne donnera jamais qu'un modèle de plus. Ca revient au même.

Quand ce modèle est trouvé, mais quand il n'existe pas encore, c'est pas possible.

[mach3]

On a donné une "réalité tangible" au plan, à la variété Cinfini de deux dimensions, etc.

A-t-on donné une réalité tangibles aux nombres complexes, à leur propriétés algébriques en particulier à la multiplication des complexes ? Je ne pense pas.

Il me semble me rappeler que la multiplication par un complexe unitaire est une rotation dans le plan complexe, et que la multiplication par un complexe quelconque est une opération géométrique appelée similitude (rotation + scaling). Ne peut-on pas considérer ces opérations géométriques comme des représentations tangibles de la multiplication des complexes??

m@ch3

[Deedee81]

Quand ce modèle est trouvé, mais quand il n'existe pas encore, c'est pas possible.

Désolé, mais je n'ai pas parlé de quelque chose qui pourrait être possible ou pas possible. Peux-tu préciser ce que tu veux dire ????

Merci,

Il me semble me rappeler que la multiplication par un complexe unitaire est une rotation dans le plan complexe, et que la multiplication par un complexe quelconque est une opération géométrique appelée similitude (rotation + scaling). Ne peut-on pas considérer ces opérations géométriques comme des représentations tangibles de la multiplication des complexes??

Je suis entièrement d'accord avec toi. Et le mot clef est "représentation". Je ne crois pas qu'on puisse aller au-delà et en ce qui concerne le coté "représentation" (ou, dans l'autre sens, modèles) c'est plutôt clair.

[invite7863222222222]

Désolé, mais je n'ai pas parlé de quelque chose qui pourrait être possible ou pas possible. Peux-tu préciser ce que tu veux dire ????

Je me suis peut être mal exprimé (cependant ca me semblait pas "incompréhensible"), vous m'aviez répondu : "ca donnera un autre modèle".

Peut être mais on peut aussi sortir de cet autre modèle, et comme vous le dîtes, oui on tombera sur un autre modèle duquel, on pourra aussi sortir etc...

Donc votre réponse ne semble pas argumenter et permettre la conclusion "ca ne change rien".

[invitef17c7c8d]

Une autre chose intéressante, naturelle avec la manipulation algébrique, mais que j'ai du mal à me représenter, est l'écriture de l'exponentielle sous forme d'une série.
Si dans la série, on alterne les signes (+, -, +, -,etc) les différents termes de la série se compensent plus ou moins et on retombe sur l'exponentielle d'un nombre imaginaire (physiquement, cela correspond aux ondes propagatives).

Si dans la série, on conserve le même signe, les différents termes de la série s'additionnent ou se retranchent (suivant le signe) et on retombe sur l'exponentielle d'un nombre réel (physiquement, cela correspond aux ondes évanescentes).

On voit ici très bien le lien entre une simple alternance de signe et le passage du réél a l'imaginaire ou physiquement des ondes propagatives aux ondes évanesentes.

Les ondes sont donc la représentation macrospique d'un phénomène ou non microscopique d'alternance de signe dans la série.

S'il y a alternance, on a des ondes propagatives.
S'il n' y a pas alternance, on a des ondes évanescentes.

Comment la nature sait qu'il faut alterner les signes des coefficients du développement en puissance de la fonction ?

[Amanuensis]

Il me semble me rappeler que la multiplication par un complexe unitaire est une rotation dans le plan complexe, et que la multiplication par un complexe quelconque est une opération géométrique appelée similitude (rotation + scaling). Ne peut-on pas considérer ces opérations géométriques comme des représentations tangibles de la multiplication des complexes??

On pourrait. Deux difficultés me viennent à l'esprit :

1) Les similitudes sont rares en physique, sauf les passives correspondant aux changements d'unités (et elles sont rarement explicitées)

2) Plus sérieux : on parle de deux types d'objets très différents. Imaginons qu'on ait un plan "physique" (le plan de l'écliptique par exemple) et qu'on y "voit" des complexes. On représente alors des points (dans un référentiel) par des complexes.

Si on parle alors d'un complexe unitaire et qu'on le présente comme une rotation, c'est autre chose. Ce n'est certainement pas un point du plan (où serait l'orbite unitaire? L'approximation circulaire de celle de la Terre ???).

Dire qu'un objet (les rotations du plan) peuvent se voir comme les unitaires complexes avec la structure algébrique de groupe multiplicatif, ne permet pas de "voir" les points de l'écliptique comme munis d'une structure algébrique interne. Au mieux on peut y voir un ensemble sur lequel agit un autre ensemble (une opération externe donc). Les deux étant représentés par des complexes on peut arriver à la confusion qu'il s'agit d'une opération interne, mais c'est bien une confusion.

Donc, oui, on peut voir les rotations planaires comme représentées par des complexes unitaires, mais cela n'est toujours pas un exemple d'objets représentés par tout C et avec toute sa structure algébrique (i.e., qu'aussi bien sa structure d'espace vectoriel réel que sa multiplication et que sa métrique correspondent à des propriétés physiques pertinente de la "réalité physique" représentée par ces nombres).

[Deedee81]

Salut,

Donc votre réponse ne semble pas argumenter et permettre la conclusion "ca ne change rien".

Ah oui, pardon, c'est moi alors qui me suit mal exprimé. Je n'employais pas le "ça ne change rien" dans ce sens là mais plutôt dans le même sens que toi : on obtiendra toujours des modèles. Sans préjuger de leur efficacité, qualité, adéquation à la réalité physique, etc....

Mais pour la qualité, je suis clairement d'accord qu'il faut sans cesse aller au-delà de ce que l'on sait déjà. Comme dirait un prévisioniste prudent : "Cherchez, cherchez, cherchez et vous trouverez ou peut-être pas" .

[invite7863222222222]

Salut,



Ah oui, pardon, c'est moi alors qui me suit mal exprimé. Je n'employais pas le "ça ne change rien" dans ce sens là mais plutôt dans le même sens que toi : on obtiendra toujours des modèles.

Je rectifie : je n'ai pas exprimé exactement que l'on obtiendra toujours des modèles, j'ai voulu évoqué qu'au contraire, on pouvait postuler qu'il y a un domaine que les modèles ne peuvent justement atteindre. Pourquoi ais-je dit cela ? Pour signifier que savoir si les nombres complexes ont une réalité physique, c'est un peu justement comme spéculer sur des éléments qui sont dans ce domaine (plus de la métaphysique donc).

[Deedee81]

Je rectifie : je n'ai pas exprimé exactement que l'on obtiendra toujours des modèles, j'ai voulu évoqué qu'au contraire, on pouvait postuler qu'il y a un domaine que les modèles ne peuvent justement atteindre. Pourquoi ais-je dit cela ? Pour signifier que savoir si les nombres complexes ont une réalité physique, c'est un peu justement comme spéculer sur des éléments qui sont dans ce domaine (plus de la métaphysique donc).

Je suis d'accord.

On rencontre même ça directement dans certains domaines théoriques. Comme en MQ avec la réduction de la fonction d'onde (à condition cette fois qu'on ne puisse pas "dépasser" la MQ, ça je n'en sais rien). Il y a certains éléments qui font partie de la philosophie voire de la métaphysique et certains éléments en feront peut-être toujours partie. On peut même s'interroger sur le "comment est-ce possible qu'il en soit ainsi ?" (mais sans aller marcher sur le terrain philosophique ou métaphysique, je vois mal comment faire).

J'ai peut-être tort, mais dans ce cas (pour ces éléments à jamais philo/méta) je dis "insoluble" (avec un bémol). C'est une réaction de physicien. Le bémol c'est qu'il peut-être intéressant d'explorer les différentes possibilités. Ne fut-ce que pour des raisons pragmatiques : bien distinguer ces éléments du reste, trouver les formulations les plus adaptées (par exemple, justement, pour aller plus loin). Là aussi c'est une réaction de physicien. Et je ne saurais prouver la justesse de ce point de vue.

[invite7863222222222]

(...)

Oui je suis d'accord c'est ce que je voulais aussi dire (à savoir que l'on peut parfois se rendre compte des erreurs possibles de compréhension en analysant justement ce qui relève dans ses conclusions de ce qui est "insoluble" de "soluble").

[invite6754323456711]

Bonsoir,

x² = 4 aurait une signification physique (traduirait une réalité physique) car par exemple x peut faire référence au coté d'un carré d'un objet matériel macroscopique dont l'aire égale à 4. Donc, 2 est une solution de cette équation.

x² = –4 n'aurait aucune signification physique car d’un point de vue déductif formel, cette équation fait référence au côté d’un carré dont l’aire est égale à –4. Comment un carré pourrait-il avoir une aire égale à –4 ?


Formellement, la seconde équation peut se résoudre en introduisant le nombre 2√–1, ou 2i, qui lorsqu’il est élevé au carré donne –4. Toutefois, la question demeure : quelle est la signification physique de √–1 ?


La réponse de Gauss :

L’équation x² = –4 a une solution mais que celle-ci est impossible !

Pour Gauss √–1 a une signification physique, non pas dans le domaine visible des carrés mais dans le domaine cognitif du principe d’élever au carré.

Gauss associait ses nombres complexes à ce type d’action physique composée (une rotation combinée avec une extension). Il les a rendues visibles, d’une manière métaphorique, sous la forme d’action spirale projetée sur une surface. Chaque point de cette surface représente un nombre complexe. Chaque nombre
désigne une combinaison unique d’une rotation et d’une extension. Le point de l’origine de l’action désigne une singularité physique, au même titre que le point le plus bas d’une chaînette, ou les pôles de la Terre en rotation, ou le centre de l’aimant.

C'est quoi une "réalité physique" pour un concept ? Un opérateur hermétique de la MQ aurait une "réalité physique" ? Un opérateur normal (qui commute avec son adjoint) n'aurait pas de "réalité physique" ?

Patrick

[inviteccac9361]

Bonsoir,

x2 = 4 aurait une signification physique (traduirait une réalité physique) car par exemple x peut faire référence au coté d'un carré d'un objet matériel macroscopique dont l'aire égale à 4. Donc, 2 est une solution de cette équation.

x2 = –4 n'aurait aucune signification physique car d’un point de vue déductif formel, cette équation fait référence au côté d’un carré dont l’aire est égale à –4. Comment un carré pourrait-il avoir une aire égale à –4 ?

J'ai l'impression que le probleme est beaucoup plus simple que ça.
Maintenant je peux me tromper.

Il se trouve qu'en algebre les operateurs * fournissent que des valeurs
1.++=+
2.+-=-
3.-+=-
4.--=+

Lequel des deux chiffres etait negatif alors que leur multiplication donne le même signe ?
On ne peut plus remonter "dans l'autre sens" d'une equation.
But de la physque tout de même.

Quelle etait le signe des elements d'un carré ?
On n'en sait rien.
S'il est positif, on peu penser que les deux sont positifs ou que les deux sont negatifs.
S'il est négatif, on peut penser que les deux sont de signe inversés.

Donc de deux choses l'une soit on elimine le 0 et donc toute base débute à 0. Tres difficile.
Soit on est obligé d'étendre, l'operateur *.
Difficile...
Soit on dit que finalement, le chiffre etait "imaginaire", négatif pour la deuxieme dimension.
On l'oriente donc sur un axe et on le tag "imaginaire".
Puisque nous travaillons à deux dimension x²
Deux axes. 1 sens par axe.
Donc un nombre complexe est aussi physique qu'un nombre réel, dans le cas des systemes qui le permettent.

[xxxxxxxx]

Bonjour

Bonsoir,

...x² = –4 n'aurait aucune signification physique car d’un point de vue déductif formel, cette équation fait référence au côté d’un carré dont l’aire est égale à –4. Comment un carré pourrait-il avoir une aire égale à –4 ?
...
Patrick

en étant le multiple d'un autre carré, d'aire égale à -4 pour former un espace (temps ?) 4D bien réel ?


cordialement

[invite7863222222222]

x² = 4 aurait une signification physique (traduirait une réalité physique)

Pour moi, même pas. Ca n'a pas de signification physique, mais ca peut être seulement interprété en terme de "langage physique".

x² = –4 n'aurait aucune signification physique

Cela peut aussi être interprété en "langage physique", mais de manière moins directe que x² = 4.

Par exemple les valeurs de telles propriétés de telle particule peuvent être égales au module des solutions complexes de cette équation. Les complexes apparaissent comme un moyen d'accéder à des valeurs qui s'interprètent en langage physique. Mais est-ce pour autant qu'on peut dire qu'ils sont moins interprétable en "langage physique" que les réels par exemple ?

[DarK MaLaK]

Bonjour, je ne comprends pas comment un indice de réfraction peut être complexe, étant donné que c'est une grandeur qu'on peut mesurer et non pas un modèle ou un outil mathématique.

[arrial]

Bonjour, je ne comprends pas comment un indice de réfraction peut être complexe, étant donné que c'est une grandeur qu'on peut mesurer et non pas un modèle ou un outil mathématique.

Parce qu'il intègre a priori un terme d'atténuation [réel] et un terme de rotation [imaginaire]. Tu n'as pas entendu parler des sucres dextrogyres ou lévogyres ? on mesure également la rotation de la polarisation … Et dans une ligne HF, le schéma équivalent comprend une résistance, une self et une capacité.

[DarK MaLaK]

Oui, je connais les substances lévogyres et dextrogyres, car j'en ai entendu parler en chimie à propos des énantiomères et en physique à propos de la polarisation rotatoire (biréfringence, etc.). Mais je ne vois pas le lien avec les nombres complexes justement.

[Tiluc40]

Parce qu'il intègre a priori un terme d'atténuation [réel] et un terme de rotation [imaginaire]. Tu n'as pas entendu parler des sucres dextrogyres ou lévogyres ? on mesure également la rotation de la polarisation …

Bonsoir,

Tu ne ferais pas une confusion entre le formalisme de Jones, qui traite effectivement de la polarisation et l'indice optique complexe, qui permet de traiter la propagation (avec prise en compte de l'atténuation) ?

Pour moi, la norme en optique c'est d'écrire l'indice optique complexe N=n+ik
où n est l'indice optique réel
k le terme lié à l'absorption

Par contre ça n'explique pas les rotations de la polarisation. Pour ça, il faut faire intervenir des milieux présentant des anisotropies optiques.

[DarK MaLaK]

Salut, Tiluc40, je suis d'accord, c'est aussi ce qu'on m'a appris pour le terme d'absorption. C'est justement ça qui me pose problème, c'est la partie imaginaire de l'indice de réfraction, donc comment ça se mesure, de quelle manière ce nombre complexe est-il lié à cette mesure réelle ? Si on prend les ondes, souvent, on dit qu'on peut choisir la partie réelle ou imaginaire pour travailler et qu'au final ça ne changerait pas grand chose car ce sont deux solutions. Mais ce n'est pas du tout le même cas de figure ici.

[arrial]

'Soir,


Il n'est pas impossible que je fasse des confusions, car il y a bien longtemps que je ne travaille plus là dessus.


♦ Pour les micro-ondes, je suis à peu près sûr de moi : dans un diélectrique, il y a déplacement de charges réelle [quand il y en a] et de charges fictives [de polarisation], et l'indice y est caractérisé par un module et une phase.
Les équations du télégraphiste le font aussi : l'impédance d'une ligne est le rapport entre le champ magnétique [B ou H] et celui électrique [E ou D : j'ai oublié], ce qui revient à manipuler un indice complexe.

♦ Quant aux dextrogyres et lévogyres [et les plasmas], je n'ai jamais utilisé le formalisme de Jones, qui est matriciel semble-t-il.
Une onde polarisée rectilignement est décomposable, en accord avec Euler, en une onde tournant vers la droite, et une autre tournant vers la gauche. Les indices pour les 2 ondes étant différents, cela explique la rotation globale. Mais je ne me souviens plus bien de l'écriture des indices : j'aurais tendance à les supposer complexes : non ?



@+ [/QUOTE]


[c'est vrai que le formalisme des fonctions d'ondes peut être traité indifféremment par des matrices ou des fonctions d'ondes complexes … voire des matrices complexes ‼]

[Tiluc40]

Mais je ne me souviens plus bien de l'écriture des indices : j'aurais tendance à les supposer complexes : non ?

S'il y a absorption, oui. Sinon, des indices réels suffisent.

Salut, Tiluc40, je suis d'accord, c'est aussi ce qu'on m'a appris pour le terme d'absorption. C'est justement ça qui me pose problème, c'est la partie imaginaire de l'indice de réfraction, donc comment ça se mesure, de quelle manière ce nombre complexe est-il lié à cette mesure réelle ? Si on prend les ondes, souvent, on dit qu'on peut choisir la partie réelle ou imaginaire pour travailler et qu'au final ça ne changerait pas grand chose car ce sont deux solutions. Mais ce n'est pas du tout le même cas de figure ici.

Bonsoir Dark Malak

Ca apparait dans l'équation de propagation d'une onde monochromatique dans un milieu absorbant. Il n'y a pas à choisir de partie réelle ou imaginaire, puisqu'on obtient l'intensité de la lumière en prenant le carré du module du champ électrique. Lorsque tu mesures l'atténuation à travers une lame absorbante, après avoir pris en compte les réflexions, tu peux déduire k.

Des éléments de réponse dans le premier chapitre de ce document.

[stefjm]

Bonjour,
L'apparition de nombres complexes dans les lois de la physique linéaire est tout sauf surprenante.
Tout système physique linéaire répond en exponentielle, ie en un truc qui vérifie le développement en série

le X étant choisi dans l'ensemble mathématique qui va bien.

Ce peut être de prime abord :
- Les réels :
* Système dissipatif (constante de temps du premier ordre)
* Système non dissipatif optique (indice réel)

- Les imaginaires purs :
* Système oscillant non dissipatif (Oscillateur LC, mécanique masse ressort)
* Système dissipatif optique

- Des complexes : Combinaison des précédents.

- Des matrices : pour les systèmes d'équations linéaires (multi entrée, multi sortie)

- Quasiment tout ce qui supporte l'exponentiation...?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle
http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_exponentielle

Cordialement.

[Amanuensis]

Est-ce que la question porte sur l'usage des complexes dans les modèles physiques ?

Il me semble que non. Et si c'était la question, il est factuel que nombre de modèles en physique utilisent les nombres complexes. Je ne vois pas l'intérêt d'un quelconque débat sur ce point.

La question telle que je la comprends porte sur autre chose, précisément la "réalité physique", comme il est explicite dans la question initiale.

Comme la notion de "réalité physique" n'est pas un concept de la physique, mais un concept métaphysique, il n'y a pas moyen de donner une réponse unique à la question. Ce qui implique, sur un forum comme celui-ci, une discussion qui peut durer autant de messages qu'on voudra tout en faisant du sur-place.

Résumé :

- Les nombres complexes sont utilisés dans les modèles en physique ;

- la notion de réalité physique n'est pas un sujet que la démarche scientifique permet de traiter.