Modélisation numérique d'un mouvement

[invite819ed59e]

Bonjour,

Je voudrais vérifier que la transition d'une particule dans un écoulement de couette cylindrique (visqueux) est bien réversible et comme je ne peux pas prendre de mesure pour cela lors de l'expérience je me suis tournée vers la simulation numérique.
J'ai trouvé un document sur internet mais j'ai un peu de mal à le comprendre, le logiciel freefem++ est utilisé, je l'ai téléchargé mais je suis complètement novice en programmation.
Si quelqu'un s'y connaissait ce serait génial.

Voici le lien : http://scallop-motion.wikispaces.com...ylindrique.pdf


Les points qui me posent problème (il y a aussi bien des maths que de la physique donc je vais poster sur les deux forums) :

1)
- Que signifie formulation variationnelle ?
- J'aimerais avoir des idées simples sur la notion d'espace de Hilbert et le théorème de Green, pourquoi le terme sous forme de dérivée partielle disparait de l'intégrale entre (2) et (3) ?

2)
- Je ne vois pas vraiment comment on obtient ces expressions pour la trajectoire. Je ne connais pas la méthode du point milieu mais par exemple si on ne considère qu'une variable x on aurait (D=delta) x(t+Dt)=x(t)+v(t)Dt je vois les choses comme ça bon si on considère une subdivision à la limite je peux comprendre x(n+1)=x(n)+v(n)Dt mais je ne vois pas d'où sortent les demis etc etc.

Pour la suite je n'arrive plus à suivre le raisonnement.

Merci d'avance pour vos réponses
-----

[invite93279690]

Bonjour,

Je voudrais vérifier que la transition d'une particule dans un écoulement de couette cylindrique (visqueux) est bien réversible et comme je ne peux pas prendre de mesure pour cela lors de l'expérience je me suis tournée vers la simulation numérique.

Salut,

Au delà des aspects techniques que tu soulèves je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu cherches à montrer. Tu peux préciser svp ?

[invite819ed59e]

Oui alors en fait un écoulement de Couette cylindrique que j'étudie dans le cadre d'un TIPE est un écoulement d'un fluide visqueux entre deux cylindres concentriques.
Dans mon expérience j'introduis dans du glycérol une goutte d'un mélange de colorant et de glycérol, je met en rotation lente le cylindre intérieur dans le sens trigo (juste quelques tours) puis dans l'autre sens avec le même nombre de tour à la même vitesse dans la mesure du possible et la goutte de colorant qui s'était étalée se reforme à l'identique, exactement au même endroit.

(Cf l'expérience de Taylor "low reynolds number flows" en image : http://video.google.com/videoplay?do...0633959087386#)

J'aurais voulu prendre des mesures, exploiter les trajectoires etc et montrer grâce à une courbe ou autre que le mouvement de la tâche de colorant était réversible mais je ne vois vraiment pas comment faire et je n'ai pas beaucoup de matériel à disposition donc j'ai choisi de faire la simulation numérique comme dans le document que j'ai joint ci dessus.

Voilà voilà

[invite93279690]

Oui alors en fait un écoulement de Couette cylindrique que j'étudie dans le cadre d'un TIPE est un écoulement d'un fluide visqueux entre deux cylindres concentriques.
Dans mon expérience j'introduis dans du glycérol une goutte d'un mélange de colorant et de glycérol, je met en rotation lente le cylindre intérieur dans le sens trigo (juste quelques tours) puis dans l'autre sens avec le même nombre de tour à la même vitesse dans la mesure du possible et la goutte de colorant qui s'était étalée se reforme à l'identique, exactement au même endroit.

(Cf l'expérience de Taylor "low reynolds number flows" en image : http://video.google.com/videoplay?do...0633959087386#)

J'aurais voulu prendre des mesures, exploiter les trajectoires etc et montrer grâce à une courbe ou autre que le mouvement de la tâche de colorant était réversible mais je ne vois vraiment pas comment faire et je n'ai pas beaucoup de matériel à disposition donc j'ai choisi de faire la simulation numérique comme dans le document que j'ai joint ci dessus.

Voilà voilà

C'est très intéressant en effet mais je ne suis pas certain que ça ne relève que de l'hydrodynamique.
La très forte viscosité du liquide environnant permet d'atteindre presque instanténément à l'échelle de la manip un régime stationnaire (c'est pour ça qu'on a l'impression que tout bouge d'un bloc).
Mais cette très forte viscosité empeche également les particules d'encre de diffuser dans le liquide de façon irreversible encore une fois à l'échelle de la manip.
Mais reste que sur des échelles de temps suffisament courtes pour le liquide visqueux on observe d'abord un régime transitoire puis un régime stationnaire puis un arret progressif de l'écoulement (qui a l'air d'être instantané sur la vidéo). De même, sur des échelles de temps suffisament longues, les particules d'encre diffusent de manière à remplir tout le récipient de façon uniforme sans qu'on puisse revenir en arrière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite819ed59e]

Oui effectivement il faut tenir compte du phénomène de diffusion tout cela est permis parce que le glycérol est très visqueux. D'ailleurs je ne sais pas trop comment aborder le thème dans mon étude; faudrait-il juste le mentionner sans trop m'y pencher ? Parce que l'on risque de m'interroger plus en détail sur cela, ceci étant dit les examinateurs ne préparent pas leurs questions donc je ne sais pas trop.

[invite93279690]

Oui effectivement il faut tenir compte du phénomène de diffusion tout cela est permis parce que le glycérol est très visqueux. D'ailleurs je ne sais pas trop comment aborder le thème dans mon étude; faudrait-il juste le mentionner sans trop m'y pencher ? Parce que l'on risque de m'interroger plus en détail sur cela, ceci étant dit les examinateurs ne préparent pas leurs questions donc je ne sais pas trop.

Ba je ne sais pas. En fait je trouve personnellement le terme "réversibilité" un peu trompeur pour cette manip. La physique de la manip est définitivement irreversible mais la diffusion de l'encre ne l'est pas, si on veut, à l'échelle de la manip...
Peut être qu'un truc à faire serait de définir la notion de réversibilité usuelle et de dire en quoi le comportement observé dans la vidéo peut être qualifié de "réversible" tout en précisant si la physique sous jacente est bel et bien réversible ou irreversible.

[invite819ed59e]

Je vois.
Alors je dirais que dans la mesure où toutes les conditions sont réunis pour avoir un faible nombre de Reynolds (fluide visqueux, faible vitesse, petit rhéomètre) l'équation de Navier Stokes devient linéaire ( le terme inertielle est négligeable devant le terme de viscosité et le régime est permanent ), donc on obtient l'équation de Stokes (étha*laplacien(v)=grad(p)) . Ainsi les lignes de courant sont inchangées relativement au sens de parcours ( (v,p) solution ==> (-v,-p) est aussi solution avec des conditions aux limites opposées) l'écoulement est réversible cinématiquement.

L'écoulement lui est réversible certes mais le mouvement des particules colorées ne l'est pas rigoureusement car elles diffusent légèrement.

Merci d'avoir éveillé le questionnement en moi finalement je n'étais pas au point sur ma problématique parce que je n'avais pas assimilé clairement la définition de la réversibilité d'un écoulement.

Ceci étant dit, maintenant que cela est relativement clair dans mon esprit, je vois que vous avez un doctorat en modélisation alors peut être pourriez vous me conseiller pour ce que devient ma question :

Comment résoudre numériquement l'équation de Stokes ? Je vois dans divers site "discrétiser l'équation" mais je ne vois pas ce que cela signifie. Je voudrais résoudre l'équation afin de déterminer les lignes de courant et montrer qu'elle est la même pour la goutte dans un sens ou dans l'autre.

Merci d'avance pour votre réponse.

[invite93279690]

Je vois.
Alors je dirais que dans la mesure où toutes les conditions sont réunis pour avoir un faible nombre de Reynolds (fluide visqueux, faible vitesse, petit rhéomètre) l'équation de Navier Stokes devient linéaire ( le terme inertielle est négligeable devant le terme de viscosité et le régime est permanent ), donc on obtient l'équation de Stokes (étha*laplacien(v)=grad(p)) . Ainsi les lignes de courant sont inchangées relativement au sens de parcours ( (v,p) solution ==> (-v,-p) est aussi solution avec des conditions aux limites opposées) l'écoulement est réversible cinématiquement.

Tu as donné ici une définition possible de la réversibilité présentée dans la vidéo. J'aurai quand même deux remarques par rapport à cette définition :

- premièrement, elle n'est pas standard il me semble : dans mes souvenirs la réversibilité en mécanique se vérifie si on fait le changement (v -> -v ; t -> -t) sans changer les champs de force (tu remarquera que ça correspond exactement à l'idée qu'on peut se faire de rembobiner un film). Normalement dès qu'il y a un terme dissipatif, même linéaire (comme un simple terme de friction dans une chute libre par exemple), l'équation n'est plus réversible. L'équation de Boltzmann de la théorie cinétique des gaz (dont peut être dérivée l'équation de Navier-Stokes) n'est pas invariante (ou plutot covariante) sous cette transformation, ce qui traduit une irreversibilité mécanique inévitable.

- Tu utilises directement la forme stationaire de l'équation de Navier-Stokes alors qu'il y a un début et une fin au mouvement de ton fluide et donc des régimes transitoires, et par conséquent de l'irreversibilité.

L'écoulement lui est réversible certes mais le mouvement des particules colorées ne l'est pas rigoureusement car elles diffusent légèrement.

Cela m'a fait pensé qu'il y a au moins deux sens communément admis pour la notion de réversibilité : celle que j'ai décrite à l'instant et la réversibilité en thermodynamique. Je pense que tu peux plutot te pencher sur cette définition là pour ta manip : en gros, on peut connaitre tous les états intermediaires entre l'état initial et l'état final et revenir en arrière en passant par les même état en appliquant la transformation inverse (reste à définir correctement la notion "d'état" dans ton cas).

Comment résoudre numériquement l'équation de Stokes ? Je vois dans divers site "discrétiser l'équation" mais je ne vois pas ce que cela signifie. Je voudrais résoudre l'équation afin de déterminer les lignes de courant et montrer qu'elle est la même pour la goutte dans un sens ou dans l'autre.

Faire la simulation avec la goutte d'encre me parait délicat puisqu'il faut nécessairement inclure la diffusion a priori dans le problème. Je pense qu'il est plus important pour ton TIPE que tu ai abordé et compris tous les aspects conceptuels associés aux échelles de temps en hydro et à la définition de la réversibilité pour la vidéo en question.