unités et vecteurs : qui porte la culotte, les coordonnées ou les vecteurs de base??

[Amanuensis]

Je ne vois pas avec quoi contracter un dx_i pour que ça donne soit 1 soit 0...

dx_i, c'est le gradient de x --> x^i (en tant que scalaire). En tant que gradient, sa contraction avec un vecteur est la dérivée directionnelle selon ce vecteur, cela donne 1 avec e_i et 0 avec les autres. Bref, dx_i est juste une autre écriture de e^i si les (x^i) sont les composantes dans le vierbein (e_i). (En utilisant la mise entre parenthèses pour signifier "liste selon i".)

PS : À me relire, j'ai un petit doute... C'est peut-être incorrect. Je laisse pour le cas où c'est faux et quelqu'un le montrera avant moi. Ou pour que quelqu'un confirme que c'est correct. Ce qui suit par contre me semble correct.

et parallèlement, je vois pas avec quoi contracter un dU pour qu'il deviennent un nombre et encore moins ce que ce nombre signifie...

Avec un vecteur, c'est à dire par un petit déplacement infinitésimal dans l'espace des phases thermodynamique. Le résultat sera la variation infinitésimal d'énergie interne.

En version intégrale, l'intégrale de dU le long du chemin est la variation de l'énergie interne entre les deux extrémités du chemin. Soit λ --> P(λ) un chemin dans l'espace des phases, alors


-----

[Amanuensis]

Quelques points de notation. Perso je note <w,v> l'application de la 1-forme w sur le vecteur v.

(Vu les indices dans l'expression dans ton message, il me semble que tu utilises la même convention.)

J'ai vu dans le wiki anglais une convention différente

A smooth function ''f'': '''R'''^''n'' → '''R''' is a 0-form. The exterior derivative of this 0-form is the 1-form



That is, the form d''ƒ'' acts on any vector field ''V'' by outputting, at each point, the scalar product of ''V'' with the gradient ∇''ƒ of ''ƒ''.

The 1-form d''ƒ'' is a section of the cotangent bundle, that gives a local linear approximation to ''ƒ'' in the cotangent space at each point.

Perso, je ne trouve pas vraiment malin d'introduire l'expression "produit scalaire" pour une notion qui se passe totalement de métrique, mais bon...

J'aurais écrit (si je pensais qu'introduire le gradient était une bonne idée) :




-----

À part ça, mon message d'avant me semble correct, à la position des indices près (faut écrire dxⁱ et pas dx_i).

La contraction de dxⁱ avec un vecteur donne la coordonnée xⁱ (un scalaire) du vecteur.

----

Le problème de l'incohérence de notation entre l'indice utilisé pour un élément d'une base et un indice utilisé pour une coordonnée m'a toujours gêné. Les coordonnées de dxⁱ sont (dxⁱ)_j, indices en bas puisque c'est une forme, (et valent ) et en utilisant cela on retrouve le résultat

[mach3]

Bon, ça y est je sens que ça commence à passer, en fait j'ai utilisé ce truc sans le savoir... j'ai déjà fait plusieurs fois des ", en considérant et , ce qui donnait . Il suffit de remplacer les ei par des dxi le gradient par la 1-forme df et le tour est joué.

Par contre ça me pose un problème pour la suite. Je m’était servi de la différentielle de mon gradient, ce qui faisait apparaitre le Hessien dont j'avais besoin (différentielle d'une fonction vectorielle):



le souci c'est que je lis partout d(df)=0 or la différentiel de mon gradient n'est pas nulle donc il n'est pas df... y a un truc que je pige pas. C'est encore bien mélangé.

m@ch3

[Amanuensis]

le souci c'est que je lis partout d(df)=0 or la différentiel de mon gradient n'est pas nulle donc il n'est pas df... y a un truc que je pige pas. C'est encore bien mélangé.

Pour une fonction scalaire, la dérivée extérieure revient à prendre les dérivées partielles, parce qu'on ne peut pas y trouver des termes w x w, simplement parce que le résultat est un tenseur d'ordre 1 (et donc ne peut pas contenir des termes d'ordre 2 !!). Mais quand on applique la dérivée extérieure à des tenseurs d'ordre 1 et +, le "modulo" fait que c'est différent.

Faut antisymétriser.

En partant d'un champ de vecteur de coordonnées v^i, les dérivées partielles donnent un tenseur d'ordre 2 , l'anti-symétrisation (qui revient à virer les w x w) donne le tenseur d'ordre 2 qui est la dérivée extérieure du champ.

Dans le cas de la dérivée extérieure d'un gradient (ou plutôt de la 1-forme correspondante), c'est nul parce que la "dérivée seconde" (au sens du tenseur d'ordre 2) d'un champ scalaire est symétrique :

Bref, toujours pareil : travaille en tensoriel "bête" et on prend le modulo, souvent en anti-symétrisant...

[mach3]

oui, ça je l'avais compris, ça revient au théorème de Schwarz pour les différentielles totales et c'est assez puissant je trouve!

En fait mon problème je pense, c'est que le "d" que j'utilise dans mon expression n'est pas l'opérateur de dérivée extérieure, mais l'opérateur différentiel habituel.
Si je prends une fonction F à valeur dans un espace vectoriel, dF est la matrice Jacobienne multipliée par les coordonnées d'un vecteur infinitésimal dx. Et en particulier, si F est en fait le gradient d'une autre fonction, alors j'ai la matrice Hessienne de cette fonction multiplié par les coordonnées d'un vecteur infinitésimal dx.
Du coup j'arrive pas à faire le lien entre ce que j'ai déjà fait (et qui me semble cohérent malgré la structure vectorielle ad hoc) et les formes différentielles. En fait ça me perturbe plutôt qu'autre chose.

J'ai encore du chemin à faire

m@ch3

[Amanuensis]

En fait mon problème je pense, c'est que le "d" que j'utilise dans mon expression n'est pas l'opérateur de dérivée extérieure, mais l'opérateur différentiel habituel.

Si tu utilises "d" pour autre chose que la dérivée extérieure, pourquoi t'étonnes-tu de ne par avoir d²=0 ??

Si je prends une fonction F à valeur dans un espace vectoriel, dF est la matrice Jacobienne multipliée par les coordonnées d'un vecteur infinitésimal dx. Et en particulier, si F est en fait le gradient d'une autre fonction, alors j'ai la matrice Hessienne de cette fonction multiplié par les coordonnées d'un vecteur infinitésimal dx.

C'est sûr qu'en prenant cette signification pour dF (plutôt que la réserver à la différentielle extérieure et utiliser le moins ambigu DF pour ce qui est défini ci-sseus) ça doit amener de la confusion...

Le problème, bien évidemment, est qu'on a l'habitude de la notion df pour les fonctions à valeurs scalaires, ce qui n'est pas un problème puisque si f est scalaire df=Df...

Avec ces notations et divers abus de notation : d = D modulo les w x w, et D²=0 modulo les w x w

[mach3]

Si tu utilises "d" pour autre chose que la dérivée extérieure, pourquoi t'étonnes-tu de ne par avoir d²=0 ??

parce que j'avais pas encore assimiler que c'était autre chose mais que ça coïncidait dans des cas particulier...

Bref, j'ai quand même pas mal progresser et appris des trucs nouveaux, faut attendre que ça murisse et je pourrais peut-être en faire quelque chose.

Merci de ton aide et à une prochaine, sur un autre fil.

m@ch3

[Amanuensis]

Bref, j'ai quand même pas mal progresser

Moi aussi C'est la première fois que j'essayais d'expliquer à quelqu'un d'autre ce que j'avais compris dans ce domaine, et c'est toujours une excellente manière de "solidifier" ses acquis !

J'espère d'ailleurs ne pas m'être trompé et ainsi risquer de t'induire en erreur...