Problème de relativité

invited05cf1df · 29/08/2011, 17h30

Bonjour,
j'ai un petit problème a détecter la faille dans les réponses aux problème donné ci-dessous.

Un vaisseau spatial voyage dans l'espace devant une station orbitale avec une vitesse ( $\text{[math]}$ ) par rapport a la station orbitale.La station orbitale utilise un télescope pour observer le déplacement des vaisseaux sachant qu'a l'arrière de chaque vaisseau un phare très lumineux qui émet la lumière. dans le référentiel de la station orbitale (noté $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$ la position limite pour laquelle le télescope n'est plus capable de distinguer le phare du vaisseau.

Question: Au moment ou le vaisseau se trouve à la position limite, quelle est la distance entre la station orbitale et le vaisseau un dans le référentiel de vaisseau (noté $\text{[math]}$ ).

pour résoudre ce problème j'ai trouvé deux méthodes qui ont donné des résultats différents, mais j'arrive pas a trouvé l'erreur.

méthode 1:
coordonnées de l'événement position de la station orbitale, à l'instant ou le vaisseau atteint la position $\text{[math]}$ :
dans le réf. $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

j'ai appliqué la transformée de Lorentz, pour trouvé la coordonnée $\text{[math]}$ qui est la position de la station orbitale dans le référentiel $\text{[math]}$ . j'ai trouvé:

$\text{[math]}$
méthode 2:
on sais que.
$\text{[math]}$
où $\text{[math]}$ est la Longueur impropre
$\text{[math]}$ est la Longueur propre
d'où le résultat:
$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$

merci d'avance a tous ceux qui peuvent m'aider a trouver la méthode erroné et me montrer l'erreur dans mon raisonnement.

**phys4** · 29/08/2011, 18h09

Envoyé par bestofad1

Bonjour,
j'ai un petit problème a détecter la faille dans les réponses aux problème donné ci-dessous.

Un vaisseau spatial voyage dans l'espace devant une station orbitale avec une vitesse ( $\text{[math]}$ ) par rapport a la station orbitale.La station orbitale utilise un télescope pour observer le déplacement des vaisseaux sachant qu'a l'arrière de chaque vaisseau un phare très lumineux qui émet la lumière. dans le référentiel de la station orbitale (noté $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$ la position limite pour laquelle le télescope n'est plus capable de distinguer le phare du vaisseau.

Question: Au moment ou le vaisseau se trouve à la position limite, quelle est la distance entre la station orbitale et le vaisseau un dans le référentiel de vaisseau (noté $\text{[math]}$ ).

Je vois plusieurs étapes :
1 - la distance Xlim, n'est bien définie que pour un vaisseau fixe par rapport à la station, si le vaisseau s'éloigne, il faut tenir compte de l'affaiblissement du phare à la vitesse d'éloignement donnée.
2 - Le vaisseau et la station n'ont pas le même repère temps, donc lorsque le phare disparait, ce moment est défini dans le temps de la station. Il faut ensuite remonter la faisceau lumineux pour trouver où était le vaisseau puis faire le changement de repère.

**phys4** · 29/08/2011, 18h49

Je suis aller trop loin avec l'effet d'affaiblissement, les données sont insuffisantes pour en tenir compte.
Il suffit alors de dire que le vaisseau est à la distance Xl au moment où il émet le dernier signal visible.
Cette distance parcourue par la lumière est la même dans les deux repères.

Pour résoudre la question , il suffit de se placer dans le repère du vaisseau : la station s'éloigne à la vitesse 0.2c et sera à la distance Xl lorsqu'elle recevra le signal donc sa distance au moment de l'émission est Xl*(1 -0.2) = 0.8 Xl
Je n'est pas encore trouvé le raisonnement dans le repère de la station.

invited05cf1df · 29/08/2011, 19h28

Cette distance parcourue par la lumière est la même dans les deux repères.

ce n'est juste qu'en mécanique classique, mais en relativité il aura une contraction des longueurs.

2 - Le vaisseau et la station n'ont pas le même repère temps, donc lorsque le phare disparait, ce moment est défini dans le temps de la station. Il faut ensuite remonter la faisceau lumineux pour trouver où était le vaisseau puis faire le changement de repère.

c'est ce que j'ai fait dans la méthode 1

je développe:

Le vaisseau s'éloigne a une vitesse Ve alors
l'équation horaire est sous la forme: $\text{[math]}$
d'où $\text{[math]}$
alors a l'instant t₁ qui correspond a l'instant où le vaisseau atteint Xlim (dans le repère Rso) est $\text{[math]}$
d'autre part:
x=0
y=0
z=0
correspondent au coordonnées de la station orbitale dans le référentiel Rso.
quand j'ai appliqué la transformée de Lorentz j'ai trouvé les coordonnée de la station orbitale dans le réferentiel Rv.

si c'est se que je dit est correcte alors il me reste juste de chercher l'erreur dans la 2eme méthode.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**phys4** · 29/08/2011, 20h07

Envoyé par bestofad1

ce n'est juste qu'en mécanique classique, mais en relativité il aura une contraction des longueurs.

Attention !
La contraction des longueurs ne s'applique que pour une longueur dont les extrémités sont prises au même moment dans le repère utilisé.
Pour un trajet parcouru par un rayon lumineux elle ne s'applique donc pas.

Je suis sur de la réponse dans le repère du vaisseau, reste à trouver la méthode dans le repère de la station ?

invited05cf1df · 30/08/2011, 11h34

Envoyé par phys4

Attention !
La contraction des longueurs ne s'applique que pour une longueur dont les extrémités sont prises au même moment dans le repère utilisé.
Pour un trajet parcouru par un rayon lumineux elle ne s'applique donc pas.

Je suis sur de la réponse dans le repère du vaisseau, reste à trouver la méthode dans le repère de la station ?

à l'instant où je sens que je commence a comprendre la relativité je me rend compte que j'ai rien compris.
je bloque sur trois points qui représente des obstacle épistémologique pour moi:

si comme vous dite

Cette distance parcourue par la lumière est la même dans les deux repères

et puisque la vitesse de la lumière est une constante dans les deux repères alors je me retrouve avec :
(le temps dans le repère Rso)= (temps dans le repère Rv)=(distance parcourus par la lumière)/c
Or puisque les deux repères sont en translation rectiligne l'un par rapport a l'autre le temps dans le premier référentiel (Rso) doit être différent de celui du deuxième référentiel (Rv)
Aussi quand vous dites

La contraction des longueurs ne s'applique que pour une longueur dont les extrémités sont prises au même moment...

je suis entièrement d'accord avec toi et c'est peut être la l'erreur dans la méthode 2 où j'ai utiliser les longueurs propre et impropre. mais il n'y a aucune indication sur la méthode de calcule de la longueur entre la station et la position limite pour dire si on les a pris au même moment ou non.
A moins que se soit une donné que je n'ai pas mentionner. on dit dans l'énoncé

au moment où le vaisseau croise la station, l'horloge interne du vaisseau se synchronise avec l'horloge de la station

.
ou sinon quand on dit que:

la station observe à l'aide d'un télescope pour observer le déplacement des vaisseaux

il fallait déduire que les extrémité ne sont pas prises au même moment?
finalement, je trouve toujours pas l'erreur de la méthode 1 que j'ai cité dans mon premier message.
excusez moi pour le faite que j'insiste sur ce point mais si j'arrive a trouver l'erreur dans mon raisonnement c'est la que ça va être instructif, et merci pour vos réponses.

**phys4** · 30/08/2011, 14h44

Ce problème est plus ardu qu'il n'y parait à première vue. Il faut prendre le problème de détection à distance comme un moyen indirect de créer une correspondance entre un signal émis par le vaisseau et sa réception par la station.
Vu de cette façon il faut modifier le raisonnement précédent.

Méthode du repère vaisseau V émettant un signal reçu par S à la distance X pour S :
Le vaisseau doit émettre un signal à la distance D de la station telle que le temps de parcours t = Y/c corresponde à une distance Y pour le vaisseau avec
$\text{[math]}$
X est la distance pour la station.
Comme la station s'éloigne à la vitesse v, le temps de parcours vaut aussi
$\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
par conséquent $\text{[math]}$
et la distance recherchée est
$\text{[math]}$

Méthode du signal continu vu par la station :
Le vaisseau émet un signal continu vers l'arrière à une longueur d'onde lambda v, la station reçoit cette lumière a une longueur d'onde $\text{[math]}$
Les périodes sont $\text{[math]}$ pour la station et
$\text{[math]}$ pour le vaisseau.
Lorsque le vaisseau est à la distance X de la station, le nombre de périodes émises est de
$\text{[math]}$ avant extinction.
Pour le vaisseau, ces n périodes sont émises en un temps
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

La rédaction de l'énoncé tend à orienter vers une solution de ce type

La tentative de résolution dans le repère de la station (méthode 1 de bestofad1)conduit à une impasse car elle donne pas l'instant correct d'émission par le vaisseau. Un coup de chapeau à celui qui trouve la solution par cette méthode. Avis aux spécialistes !

A propos des distances parcourues par la lumière, il ne faut pas leur appliquer la contraction de Lorentz mais la contraction Doppler, comme ci-dessus.

**mach3** · 30/08/2011, 15h26

Salut,

Le problème principal de ce problème, c'est de bien comprendre l'énoncé : il y a plusieurs interprétation possibles qui n'appellent pas la même réponse.

Question: Au moment ou le vaisseau se trouve à la position limite, quelle est la distance entre la station orbitale et le vaisseau un dans le référentiel de vaisseau

Tout est dans les parties en gras.

Au moment où le vaisseau se trouve à la position limite : si on prend comme origine de l'espace-temps l'évènement "vaisseau croise la station" et qu'on pose par simplicité c=1 et xlim=1, alors dans le référentiel de la station cette position est ( $\text{[math]}$ ), ce qui nous donne dans le référentiel du vaisseau ( $\text{[math]}$ soit un peu moins que 5).
Quelle est maintenant la position de la station à ce moment là, dans le référentiel du vaisseau? La station orbitale se déplace à 0,2c par rapport au vaisseau et en $\text{[math]}$ elle a parcouru $\text{[math]}$ , elle est donc en ( $\text{[math]}$ soit environ 0,98 $\text{[math]}$ ). Cette distance est donc ~0,98, soit xlim/ $\text{[math]}$

m@ch3

**phys4** · 30/08/2011, 16h02

Envoyé par mach3

Cette distance est donc ~0,98, soit xlim/ $\text{[math]}$

m@ch3

En plein dans le piège, c'est bien tentant et c'est bien ce que donne un raisonnement simpliste.

Il suffit de passer à la limite classique pour voir que cela ne fonctionne pas.
Pour le vaisseau, la station s'éloigne à la vitesse v, pour que le signal l'atteigne à la distance X, il faut qu'il soit émis avant que la station soit proche de cette distance.
La station va s'éloigner de X/c pendant le trajet lumineux, la distance pour émettre vaut donc
approximativement X(1 - v/c)
Il faut que la bonne réponse admette cet équivalent aux basses vitesses.

Le problème de la solution complétement résolue dans le repère de la station reste ouvert.

**mach3** · 30/08/2011, 16h18

En plein dans le piège, c'est bien tentant et c'est bien ce que donne un raisonnement simpliste.

Il suffit de passer à la limite classique pour voir que cela ne fonctionne pas.
Pour le vaisseau, la station s'éloigne à la vitesse v, pour que le signal l'atteigne à la distance X, il faut qu'il soit émis avant que la station soit proche de cette distance.

dans un problème de relativité, l'expression "au même moment" fait appel à la notion de simultanéité. Dans un référentiel donné, sont simultanés (ou se produisent au même moment) les évènements qui se produisent à la même coordonnée temporelle propre à ce référentiel. C'est une définition.

Si la question avait été : quelle est la distance, dans le référentiel du vaisseau, entre le vaisseau et la station lorsqu'elle reçoit le dernier signal, alors là réponse est différente, mais tout aussi simple à calculer.
Dans le référentiel de la station, le vaisseau émet son dernier signal en (x=1,t=5) et il est donc capté par la station en (x=0 et t=6). Si on repasse dans le référentiel du vaisseau, les coordonnées de cet évènement sont x'=-1.22 et t'=6.12 à la louche et la distance au vaisseau dans ce référentiel est donc 1.22.

Dans un problème aussi simple, tout est parfaitement calculable (voire même mesurable avec un schéma pour chaque référentiel sur papier) et aucune question n'est ouverte.

m@ch3

invited05cf1df · 30/08/2011, 17h03

Cette distance est donc ~0,98, soit xlim/ $\text{[math]}$

j'ai suivis ton raisonnement j'usqu'a 0.98 mais après j'ai pas su comment ta pu affirmer que c'est Xlim/gamma.
ce le résultat est le même que celui que j'ai mis dans la méthode 2.j'en déduit que la methode 1 est fausse (une petit coup de pousse pour comprendre ou est l'erreur?)
en tous cas merci pour vos réponses a tous.

**mach3** · 30/08/2011, 18h26

j'ai suivis ton raisonnement j'usqu'a 0.98 mais après j'ai pas su comment ta pu affirmer que c'est Xlim/gamma.

c'est implicite parce que je n'ai pas détaillé le calcul. Pour v=0,2c, gamma=1.0206 et les 5 unités de temps nécessaires au vaisseau pour atteindre xlim (que j'ai fixé à 1) deviennent 5/1.0206= $\text{[math]}$ . Ce qui multiplié par le 0,2 de vitesse donne la position 0,2x5/1.0206=1/1.026, c'est bien xlim divisé par gamma.

j'en déduit que la methode 1 est fausse (une petit coup de pousse pour comprendre ou est l'erreur?)

alors, reprenons :

méthode 1:
coordonnées de l'événement position de la station orbitale, à l'instant ou le vaisseau atteint la position $\text{[math]}$ :
dans le réf. $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

L'évènement n'est pas considéré dans le bon référentiel : tu le considères dans le référentiel de la station. Cet évènement est simultanée à l'envoi du dernier signal par le vaisseau dans le référentiel de la station, mais pas dans celui du vaisseau (la simultanéité est relative). Ce qu'il faut c'est trouver l'évènement qui est simultané à l'envoi du dernier signal par le vaisseau dans le référentiel du vaisseau, c'est à dire un évènement auquel la station va se trouver et où le temps coordonné sera le même que le temps propre du vaisseau quand il envoie son dernier signal.

m@ch3

invited05cf1df · 30/08/2011, 18h51

Envoyé par mach3

c'est implicite parce que je n'ai pas détaillé le calcul. Pour v=0,2c, gamma=1.0206 et les 5 unités de temps nécessaires au vaisseau pour atteindre xlim (que j'ai fixé à 1) deviennent 5/1.0206= $\text{[math]}$ . Ce qui multiplié par le 0,2 de vitesse donne la position 0,2x5/1.0206=1/1.026, c'est bien xlim divisé par gamma.

alors, reprenons :

L'évènement n'est pas considéré dans le bon référentiel : tu le considères dans le référentiel de la station. Cet évènement est simultanée à l'envoi du dernier signal par le vaisseau dans le référentiel de la station, mais pas dans celui du vaisseau (la simultanéité est relative). Ce qu'il faut c'est trouver l'évènement qui est simultané à l'envoi du dernier signal par le vaisseau dans le référentiel du vaisseau, c'est à dire un évènement auquel la station va se trouver et où le temps coordonné sera le même que le temps propre du vaisseau quand il envoie son dernier signal.

m@ch3

Clair net et précis. ça fait des semaines que je cherche la faille! mais la bravo!
merci a vous deux phys4 mach3.

Problème de relativité