Distribution de Boltzmann

[inviteccb09896]

Bonjour,

Dans le cadre de mon étude en autodidacte des plasmas j'ai systématiquement les auteurs qui utilisent la relation suivante (distribution de Boltzmann):



Dans le cadre de mes études nous avions démontré la distribution (quantique) de Maxwell-Boltzmann:



Je peux comprendre que pour passer de la distribution de Maxwell-Boltzmann à la distribution de Boltzmann pour un plasma qui est chaud, les états d'énergie peuvent être considérés comme infiniment proches et donc qu'il n'y plus lieu de mettre un indice au niveau d'énergie. Par contre, je ne vois pas sous quelles hypothèses on peu se "débarrasser" du potentiel chimique? Peut-être en supposant aucune interaction entre les électrons et l'équilibre du système? Mais je n'en suis pas sûr!

Merci pour votre aide
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[inviteccb09896]

Je pensais aussi à cette autre hypothèse qui me semble plus pertinente: Dans les modèles simples de plasma on travaille dans l'ensemble canonique (à nombre de particules fixé). Donc in extenso, le potentiel chimique est nul.

[albanxiii]

Bonjour,

La distribution de Boltzmann correspond effectivement à un système constitué d'un nombre fixe de particules, et en équilibre avec un thermostat externe.... cela correspond à l'ensemble microcanonique.

[invitef17c7c8d]

Bonjour,

La distribution de Boltzmann correspond effectivement à un système constitué d'un nombre fixe de particules, et en équilibre avec un thermostat externe.... cela correspond à l'ensemble microcanonique.

Non, vous faîtes une confusion entre microcanonique et canonique...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef17c7c8d]

Considérons un gaz en équilibre (ensemble microcanonique).
Que nous dit Boltzmann? Que tous les états sont équiprobables? Q'est ce que cela signifie?
Tout d'abord qu'est ce qu'un état? Un état est défini par une position et une vitesse (ou une quantité de mouvement si on tient compte de la masse)
Prenons maintenant le cas d'une particule. La particule a tout autant de chance d'être en une position x1 avec une vitesse v1 qu'en x2 avec une vitesse v2.
Plus les axes des positions et des vitesses sont grands, et plus il y a d'états accessibles et plus l'entropie est grande. On comprend bien svec cette image le lien entre entropie et désordre.


Dans l'ensemble canonique, c'est un peu différent, car on fait intervenir la notion de température (ou de thermostat).
Le gaz est en équilibre à une certaine température. Du coup, tous les états ne sont plus equiprobables, mais leur probabilité est donnée par la fonction de partition.

[albanxiii]

Re,

Bonjour,

La distribution de Boltzmann correspond effectivement à un système constitué d'un nombre fixe de particules, et en équilibre avec un thermostat externe.... cela correspond à l'ensemble microcanonique.

Je me rend compte que j'ai confondu canonique et microcanonique.... Là je parlais de l'ensemble canonique en fait.
L'ensemble microcanonique correspond à un système isolé qui n'échange ni particules, ni énergie avec l'extérieur.

[invitef17c7c8d]

Pour en revenir à la distribution de Bolzmann, je ne sais pas vous, mais j'ai du mal encore à voir pourquoi cette distribution est une gaussiène.
Le passage de la fonctioin de partition qui fait appel à des sommes d' exponentielles décroissantes à la gaussiène reste un mistère.

Je crois savoir qu'en automatisme aussi on fait un fort usage des sommes d'exponentielles décroissantes (je pense aux transformées de Laplace).
Savez-vous si on obtient aussi parfois des gaussiènes? Et si oui, dans quel cas de figure?

[invite93279690]

Salut,

Si un apparait dans ta formule (en tant que paramètre) c'est que tu es dans l'ensemble grand canonique. Pour les plasmas et les liquides ioniques c'est l'ensemble adapté.
Comme par définition, fixer le potentiel chimique revient à fixer la concentration dans le réservoir de particules, tes deux équations sont équivalentes (à une constante près) si tu écris où est le potentiel chimique de référence et est la racine cubique de la fugacité. Dans un cas dilué, est la longueur d'onde de de Broglie tandis que dans la cas général, elle contient le coeffecient d'activité de ton espèce (qui contient lui même les correlations entre constituants dans ton système).

[obi76]

Salut,

Pour en revenir à la distribution de Bolzmann, je ne sais pas vous, mais j'ai du mal encore à voir pourquoi cette distribution est une gaussiène.

j'ai déjà vu la démonstration pendant un cours (il y a longtemps), il faudrai que je remette la main dessus.

EDIT : j'ai retrouvé ça, c'est toujours mieux que rien => http://master-efe.mmpmsi.fr/telechar...pdf_bultel.pdf

[coussin]

gaussienne.

[invitef17c7c8d]

Je vais essayer d'expliquer avec les mains comment on passe de la fonction de partition Z à la distribution de boltzmann pour les vitesses.

La fonction de partition est




où E est l'énergie totale et T la température (je vous laisse deviner ce qu'est )

Maintenant considérons une vitesse quelconque v, sa probabilité est donc donné par



Donc la distribution de Boltzmann sera

(on considère toutes les vitesses possibles et imaginables)


Ensuite, en intégrant, l'exponentielle décroissante va donner les deux branches de la courbe en cloche de la gaussienne (car on a une vitesse au carré).
Et Z va donner la valeur moyenne ou le pic de la fonction gaussienne.

[invite93279690]

Je vais essayer d'expliquer avec les mains comment on passe de la fonction de partition Z à la distribution de boltzmann pour les vitesses.

La fonction de partition est

Non c'est faux la fonction de partition ne s'écrit pas comme ça, tu as oublié un terme ultra important : la densité d'états.

Maintenant considérons une vitesse quelconque v, sa probabilité est donc donné par



Donc la distribution de Boltzmann sera

(on considère toutes les vitesses possibles et imaginables)

Qu'est ce que tu cherches à faire au juste (à part n'importe quoi) ?

Ensuite, en intégrant, l'exponentielle décroissante va donner les deux branches de la courbe en cloche de la gaussienne (car on a une vitesse au carré).
Et Z va donner la valeur moyenne ou le pic de la fonction gaussienne.

Pas besoin d'intégrer quoique ce soit le Pv que tu donnes plus haut est une distribution gaussienne (même si la mesure d'intégration n'est pas très claire et les bornes encore moins).

[obi76]

La démo est dans le lien que je vous ai donné plus haut, ce n'est pas aussi simpliste...

[invitef17c7c8d]

La démo est dans le lien que je vous ai donné plus haut, ce n'est pas aussi simpliste...

Si c'est simple (si on connait le truc.) Hier, je ne le connaissais pas, mais aujourdh'ui je vous le livre.

Le truc est une formule mathématique.
Je vais l'écrire et prenez vraiment 2 minutes montre en main pour l'étudier.
En conaissant cette formule et son application à la Mécanique Statistique, vous aurez fait de grand progrès dans cette discipline...
Cette formule est la suivante:

Cette formule montre par exemple que la variable c n'apparait plus dans le membre de droite.
Ceci se traduit par une conséquence absolument extraordinaire en Mécanique Statistique, à savoir que la distribution de Boltzmann est valable aussi bien pour les gaz parfaits que pour les gaz réels! Pourquoi cela ? Car le terme c qui pourrait représenter des interactions entre les molécules n'intervient pas dans le résultat final.

Ceci dit, voila comment appliquer cette formule pour retrouver la distribution de Boltzmann à partir de la fonction de partition.

La probabilité pour que la molécule est une vitesse v est donnée par


En applicant notre formule secrète connue que de nous, on retrouve la distribution Maxwellienne des vitesses, à savoir:




Je vous montrerais comment, à partir de notre formule secrète, nous pouvons très facilement retrouver le théorème de l'équipartition de l'énergie cinétique. Le pivot de la théorie cinétique des gaz

[coussin]

Ça s'arrange pas…

[invite93279690]

Cette formule est la suivante:

Connue de tout étudiant de première ou deuxième année en sciences...

Cette formule montre par exemple que la variable c n'apparait plus dans le membre de droite.

C'est quelque chose de "trivial" lorsqu'on connait les changements de variables.

Ceci se traduit par une conséquence absolument extraordinaire en Mécanique Statistique, à savoir que la distribution de Boltzmann est valable aussi bien pour les gaz parfaits que pour les gaz réels!

Pour les systèmes classiques à l'équilibre, la vitesse des particules suit en effet une loi de Maxwell-Boltzmann quelque soit les interactions mais la cause n'est absolument pas celle que tu invoques.

Pourquoi cela ? Car le terme c qui pourrait représenter des interactions entre les molécules n'intervient pas dans le résultat final.

Non le terme "c" dans l'argument de l'exponentielle correspond à la vitesse moyenne de la particule...toutes ces choses sont très bien dites dans le cours donné en lien par obi (qui est très drole en plus).

Ceci dit, voila comment appliquer cette formule pour retrouver la distribution de Boltzmann à partir de la fonction de partition.

Il y a des confusions de vocabulaire depuis le début de la discussion sur la distribution de Boltzmann et la distribution de Maxwell-Boltzmann. La première réfère au poids de Boltzmann conféré aux états appartenant à un ensemble canonique et le second réfère au cas particulier où cette loi est appliquée aux vitesses dans un système. Je ne sais d'aillerus toujours pas si la question originale d'isozv portait sur la première ou la deuxième définition.

Je vous montrerais comment, à partir de notre formule secrète, nous pouvons très facilement retrouver le théorème de l'équipartition de l'énergie cinétique. Le pivot de la théorie cinétique des gaz

Je suis content de l'entrain que tu portes à faire découvrir ce que tu ne "connaissais pas hier encore" pour te paraphraser mais premièrement il existe des bouquins de physique statistique très bien pour ça et deuxièmement au moins la moitié de ce que tu dis est faux et il serait dommageable qu'un non connaisseur prenne ce que tu dis pour vrai donc si tu pouvais t'abstenir ou du moins proposer tes remarques de façon moins affirmatives ça serait bien pour tout le monde.

[invitef17c7c8d]

Ah mais t'as raison, il y a une confusion (de ma part en tout cas) entre le facteur de Boltzmann: , et la distribution de Maxwell-Boltzmann...

Raison sur ce point, pas sur tes remarques acerbes à mon égard...

[invite93279690]

Raison sur ce point, pas sur tes remarques acerbes à mon égard...

C'est un forum de sciences qui est de plus en plus consulté par les étudiants ou personnes désireuses d'apprendre et comprendre des choses. Tu ne peux pas me reprocher de te demander de mettre un peu d'humilité dans les affirmations fausses que tu proposes.