Bonjour,
J'ai ouvert le document sur la simplicité de la représentation quadridimensionnelle de relativité restreinte. Merci
Sinon, indépendamment de toute théorie physique, j'aime bien l'idée de disposer de différent opérateur défini sur un certain ensemble pour en extraire les nombres entiers, rationnels, réels, complexes...
Cordialement,
Rommel Nana Dutchou
Merci Magnétar pour cette excellente référence, elle en vaut la peine. Cette discussion avait grand besoin de cet éclaircissement.Envoyé par Magnétar
Comprendre c'est être capable de faire.
Rien n'a de sens en lui-même. Toute notion n'a que le sens qu'on lui donne dans un contexte particulier. En général les personnes acceptent le contexte, discutent ensuite du sens dans ce contexte et non l'inverse.
Bonjour,
Je partage ton point de vue photon 57. Des choses qui ne semblent pas automatiques aujourd'hui peuvent devenir les mathématiques de demain. J'ai un exemple sous les yeux, l'idée des opérateurs de normes finies qui permettent de représenter différents ensemble de nombres, certains pouvant contenir les infinis.
En mathématique surtout des choses obscures peuvent devenir des vérités fondamentales avec de la patience et de la créativité.
Rommel Nana Dutchou
Cela ne correspond pas à la notion usuel de référentiel, qui peut être présentée comme celle d'un ensemble infini de "points matériels" immobiles, dont les trajectoires 4D couvre tout l'espace-temps.
C'est visible... Seulement cela ne peut pas marcher, parce que la notion de référentiel galiléen (rigide) en RR est très particulière. On ne peut pas travailler en RG si on cherche à s'accrocher à la notion de référentiel comme un "cadre rigide".L'hypothèse qui me permet de faire des calculs et qui vient tout droit de la RR
Un observateur peut se "construire" un cadre rigide approximatif, dont l'approximation est d'autant meilleure qu'elle couvre une petite zone autour de lui, tout comme une carte plane de la surface de la Terre est approximative et d'autant meilleure qu'elle couvre une petite zone.
Il n'y a aucune lacune de la RG dans ce domaine ! La difficulté sous-jacente à ce que vous décrivez est, àmha, juste le résultat d'une tentative de s'accrocher désespérément au monde euclidien.Bref ce n'est qu'une théorie que je propose pour combler ce qui me semble être une lacune en RG (point de vue personnel).
Certainement pas. La RG définit l'immobilité le plus simplement du monde : comme une convention commode sans sens physique. Toute trajectoire réelle (tangente de genre temps) peut être considérée comme immobile, si on le désire.La RG me semble avoir oublié d'intégrer la notion d'immobilité dans un ses postulat de base
Il n'intervient pas énormément dans la notion d'immobilité. Juste dans la définition du genre d'une tangente. Et on peut s'en passer en se contentant de définir les cônes de lumière locaux : une trajectoire est de genre temps si sa tangente est en tout point à l'intérieur du cône en ce point.et a préférer se construire en à partir d'une notion séduisante mais un peu obscur (je parle pour moi) qui est l’infinitésimal quadratique fondamental.
Le tenseur métrique (meilleur concept que "'infinitésimal quadratique") définit bien plus que cela : il définit les "unités locales" de durée et de longueur, ce qui permet de parler d'expansion (d'expansion métrique de l'espace) par exemple. La notion d'immobilité n'a pas besoin de cela.
(Au passage, ni en RG ni en RR l'infinitésimal en question ne définit une "longueur". S'il est d'un signe on l'interprète d'une manière, s'il est de l'autre on l'interprète d'une autre. Il n'y a pas d'interprétation unique simple, comme en euclidien. En particulier, on ne peut pas définir la "longueur" d'une portion de courbe quelconque.)
----
Par ailleurs la RG ne demande pas de se passer de référentiel, ni de système de coordonnées proprement divisé en temps et espace. Elle demande d'admettre que ce sont des notions commodes pour les calculs ou la mentalisation, mais néanmoins purement conventionnelles et procédant d'un choix arbitraire, sans sens physique. N'ont de sens physique que le genre des trajectoire et les étalons locaux de durée et de distance, c'est à dire les informations données par le tenseur métrique (ou la connexion, selon la manière de voir).
En cela la RG se différencie de la RR ou l'espace-temps classique, qui sont munis d'une structure affine liée à une classe privilégiée, avec un sens physique, de référentiels (notons que c'est cette structure affine qui permet une modélisation contournant la métrique). Et encore plus des modèles d'espace-temps "du sens commun", où la Terre sert de référence (spatiale comme temporelle), avec un sens physique certes bien perceptible mais pas vraiment universel (ce qui n'empêche les humains de continuer à appeler "temps universel" ce qui n'est que le temps propre de la Terre...).
Rien de bien neuf. Par exemple, aucun navigateur ne cherche à se passer de la notion de longitude, mais admet parfaitement que l'origine des longitudes est purement conventionnelle, sans sens physique. La RG demande d'aller bien plus loin, d'admettre que tout référentiel, toute datation, tout choix d'objet immobile, procède d'un choix arbitraire. Et on dispose des outils mathématiques adaptés pour gérer cette liberté.
Par ailleurs, il y a plein à redire sur nombre de messages plus anciens sur ce fil...
Ironie ? Pas ironie ? C'est le problème d'internet il est parfois difficile de saisir tout le message que veut faire passer son interlocuteur. Dans le doute je vais être plus clair. Les physiciens sont habitués à manipuler des quantités, les dx , dy,Merci Magnétar pour cette excellente référence, elle en vaut la peine. Cette discussion avait grand besoin de cet éclaircissement.qu'ils appellent souvent (mais pas toujours) des infiniment petits. Cependant comme souligné par lionelod et par exemple par Berkeley ici :
ces quantités semblent ne pas être définissables de manière non-ambigüe.They are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them ghosts of departed quantities?
L'analyse non-standard (et les nombres sur lesquels elle se base i.e. les surréels) donne un cadre rigoureux pour la définition de telles quantités et justifie donc leur utilisation en physique (ainsi que leur interprétation intuitive d'infiniment petit). Reste que ce n'est pas la seule façon de voir les "infiniment petits" en réalité la vision majoritairement adoptée est celle de la géométrie différentielle qui interprète les dx dy dnimportequoi comme des formes différentielles agissant sur l'ensemble des champs de vecteurs d'une variété vers l'ensemble des fonctions infiniment différentiables de cette variété, cependant cette interprétation me semble moins intuitive (bien que nécessaire pour la physique un peu plus évoluée en particulier la RG et surtout les théories de jauge de la physique des particules). Alors la question est peut on reformuler la RG (qui est bien formulée dans le cadre de la géo diff) dans un cadre non standard ? Je n'en sais rien je n'ai pas essayé, mais il y a peut-être un intérêt à ça car ça permettrait de réconcilier la vue intuitive du fameux "
Pour finir, en ce qui concerne les références ce qu'il y a de bien avec wikipedia c'est que l'on peut consulter les références bibliographiques en bas de pages.
Ah oui en fait on trouve ça sur (entre autre énormément de choses) les infinitésimaux :
Document Médiat & al.
Message #246 document créé par des membres du forum voir section Infinitésimaux.
Bonjour,
Je suppose que Amanuensis et Magnétar font de l'humour scientifique dans leurs derniers messages, sinon je suis hors sujet.
Cordialement,
Rommel Nana Dutchou
Si je reprends le paradoxe du jeu de flechettes qui dit: "Probabilité nulle de toucher un point précis de la cible alors que non, puisque je touche bien un point à chaque tir", j'en déduis que l'espace physique n'est pas celui modélisé par l'ensemble des nombres réels. L'espace physique ressemble comme deux gouttes d'eau à l'espace des nombres réels, mais ils ne sont pas parfaitement identiques.
Et c'est là que je reviens à ma notion d'opérateur. Et plus particulièrement l'opérateur position.
Cet opérateur (position donc) donne une définition de l'espace physique.
Cet opérateur a un spectre continu: ses valeurs propres sont l'ensemble des nombres réels. Et le vecteur propre associé à chaque valeur propre est un dirac (donc chaque point est à sa place et ne se superpose pas avec son voisin).
Mais si maintenant on suppose que l'espace physique est donné par un opérateur tel que ses vecteurs propres ne soient pas un "pur" dirac, mais une fonction pic avec une certaine "largeur". Alors localement, on a une superposition d'états.
C'est extraordinaire, car l'expérience du jeu de flechettes devient une preuve irrefutable que notre univers est quantique.
Soit vous modélisez une cible comme un continuum (puisque vous parlez de Dirac), et dans ce cas vous le modélisez mathématiquement par l'ensemble des réels (ou R², c'est comme vous voulez), soit vous con,sidérez que c'est discret et dans ce cas vous ne pouvez plus.
Ce n'est pas logique votre truc...
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
C'est un lapsus révélateur ou quoi?
Sinon, ce qu'on peut dire en tout cas, c'est que l'espace physique n'est pas l'espace des nombres réels.
Par analogie avec le théorème fluctuation-dissipation, ce sont les fluctuations(quantique/statistique?) de l'espace au niveau microscopique, qui amène à ce que l'on est sur de toucher la cible avec certitude.
Cest l'incertitude au niveau microscopique qui est responsable du certain (au sens de sur), du déterminisme au niveau macroscopique.
Mon clavier a fourché, désolé...
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
Je ne vois pas en quoi... dans le cas des mathématiques pures, si je choisi au hasard un nombre dans [0,1] (selon une loi uniforme par exemple), la probabilité de tirer un nombre précis est nulle, alors que je tire bien un nombre dans [0,1] à chaque fois. Dois-je pour autant en déduire que [0,1] n'est pas bien modélisé par un segment des nombres réels? Que [0,1] est quantique?
La seule chose que montre le paradoxe du jeu de fléchettes, c'est que les probabilités continues c'est contre-intuitif, et que la théorie de la mesure ça fait mal à la tête
Ce cas ne s'applique pas.
Une mesure ne se fait qu'une seule fois et la flechette ne touche qu'une fois.
C'est aussi mon avis, pour d'autres raisons.
(le paradoxe de Zenon, "Achille et la tortue" disparait lorsqu'on le traite avec des nombres entiers par exemple)
Par contre si on veut parler d'entiers, à mon avis ce n'est pas de 1,2,3,10.. dont on parle mais des nombres entiers bien plus grands.
A diviser alors comme il s'entend, si possible.
Alors le monde microscopique est discret et pas continue.
Je me demande s'il serait possible de trouver un opérateur dont les valeurs propres seraient les nombres premiers...
J'ai une fascination pour cet ensemble.
Bonjour,
Comme il est courant en physique en général ou en mathématique depuis l'invention du calcul infinitésimal...
Cette affirmation est inexacte, la métrique n'est absolument pas infinitésimale, c'est la définition de la distance entre deux points.
Il ne faut pas confondre cette notion avec le tenseur métrique qui n'est pas non plus infinitésimal. Veuillez clarifier à quel objet vous voulez faire référence.
La suite ne me paraît pas non plus claire...
Vous parlez probablement du tenseur métrique et de la RG, cependant, en relativité restreinte vous utilisez également des infinitésimaux :
Deux évènements sont séparés par un intervalle d'espace-temps défini par :
Ou sous forme infinitésimal :
C'est également utilisé en mathématique, en analyse :
Est-ce que vous imposez à votre courbe de passer par des points fixes ?
A priori vous êtes en train de réinventer le Lagrangien...
Cela me paraît faux, à moins que je n'aie pas compris ce que vous dites.
Si vous généralisez abusivement la notion d'intervalle d'espace-temps à des longueurs (ce qui à mon sens est absurde) et que vous prenez une racine carré de ces nombres (qui peuvent être négatifs) on arrive à ce que vous dites, mais je pense que votre généralisation n'a pas de sens.
Le choix de la relativité générale, est d'utiliser une notion mathématique appelée invariance de jauge locale.
En effet, un changement de référentiel en relativité restreinte est une rotation dans l'espace-temps (notion qui fait intervenir des fonctions hyperboliques, et comme argument la rapidité, qui est reliée à la vitesse).
La généralisation naturelle est de supposer que v varie avec les coordonnées d'espace temps, et donc l'argument également. Ceci fait naturellement apparaître les connexions qui sont le champ de gravitation...
Bonjour Monsieur,
humm comme on se retrouve, le monde est petit...
D'abord je regrette mes écris peu agréables de mon dernier message.
Ensuite je retiens, à tord ou à raison, qu'en relativité générale la notion de courbe paramétrée n'a de sens qu'entre des évènements pouvant être causalement liés (par la trajectoire d'un point matériel ou d'un photon.. les modules de leurs vecteurs vitesse étant toujours plus petits qu'une certaine quantité) et que la notion de distance n'a véritablement de sens qu'entre de tels évènements.
Dans cette logique, on peut concevoir des courbe paramétrée qui relient deux quelconques évènements mais celle ne correspondant pas à la situation précédente ne sont pas pertinente pour la définition de la structure métrique de l'espace-temps.
Les notions de trajectoire de vecteurs vitesses sont bien définies en relativité générale mais pas celle d'immobilité.
Beaucoup de fautes de frappe dans mes écris,très souvent des mots en plus, quelques fois des mots en moins.
Merci,
Cordialement,
Rommel Nana Dutchou
De fait, s'il est vrai que cela ne marche pas en RG, ce n'est pas pour la raison évoquée, mais tout simplement parce que la RG modélise l'espace-temps avec une pseudo-métrique et non une métrique. On parle souvent de tenseur métrique en physique, mais avec un sens différent de son usage en maths. Or la distinction entre métrique (signature tout +) et pseudo-métrique (signature mixte) devient essentielle si on veut parler de longueur le long d'une courbe.
Bien d'accord, et cela s'applique tout aussi bien au modèle d'espace-temps de la RR.Si vous généralisez abusivement la notion d'intervalle d'espace-temps à des longueurs (ce qui à mon sens est absurde) et que vous prenez une racine carré de ces nombres (qui peuvent être négatifs) on arrive à ce que vous dites, mais je pense que votre généralisation n'a pas de sens.
Pas exactement.
Déjà, pas besoin d'évoquer la RG, le cadre de la RR suffit.
Ensuite, on peut faire toutes les courbes paramétrées que l'on veut.
Par contre, si on veut que le paramètre ait un rapport avec une "longueur" (i.e., que la différence du paramètre entre deux points représente quelque chose ayant un sens physique), il faut se restreindre à des courbes de genre constant. S'il s'agit d'une telle courbe joignant des points causalement liés, la courbe est de genre de temps et la "longueur" est physiquement une durée (temps propre).
Il est parfaitement loisible de prendre une courbe paramétrée de genre espace, auquel cas le paramètre peut être choisi de manière à représenter une longueur au sens de ce qui se mesure en mètres.
(Ce que peut représenter le paramètre pour une courbe de genre nulle est moins évident. Une réponse est à la fois une distance et une durée, mais d'échelle libre.)
Non. La notion de distance (spatiale, alors) a aussi un sens entre événements non causalement liés. Mais dans les deux cas, cette distance est canonique uniquement en RR. En RG il faut toujours préciser la courbe joignant les deux événements, courbe le long de laquelle est mesurée la distance (longueur ou durée, selon).que la notion de distance n'a véritablement de sens qu'entre de tels évènements.
En fait, la notion d'immobilité n'est même pas bien définie dans l'espace-temps de Leibniz ou dans l'espace-temps de Minkowski ! (Galilée, qui avait bien perçu cela, à même écrit " le mouvement [uniforme] est comme rien ", autrement dit pas de différence entre mouvement uniforme et immobilité !)Les notions de trajectoire de vecteurs vitesses sont bien définies en relativité générale mais pas celle d'immobilité.
Pour parler d'immobilité, il faut un espace absolu (espace-temps de Newton) ou, plus couramment, confondre l'espace-temps avec un référentiel particulier (cas le plus usuel de l'usage de "immobile", avec typiquement comme référentiel le terrestre). Confusion plutôt confortable dans la vie courante !
Je ne comprends pas votre argumentation.
En relativité (générale ou restreinte) ou dans tout autre espace, vous pouvez toujours définir une courbne paramétrée :
Je ne vois pas le rapport entre paramétrisation d'une courbe, et relation de causalité.
De plus, vous semblez confondre intervalle d'espace-temps et distance.
Une distance est une quantité purement spatiale. Vous définissez des coordonnées de deux points, vous pouvez calculer la distance les séparant. Dans l'espace-temps, vous pouvez parler de distance (sans mêler des coordonnées de temps) et dans ce cas ce sont bien des quantités positives, ou d'intervalle d'espace-temps, dont le signe définit une autre notion.
Je ne suis pas du tout d'accord, vous essayez de revenir sur la notion purement spatial de distance avec une définition étendue... Vous ne pouvez pas donner un rôle privlégié à des intervalles positifs, et ne pas considérer des intervalles négatifs. Et vous n'avez pas à considérer la notion de causalité, alors que la notion de courbe paramétrée n'a rien à voir.
Permettez-moi de douter ce cette phrase, bien que les termes employés prêtent à confusion.
Vous êtes bien d'accord qu'une trajectoire, un vecteur vitesse sont définis dans un référentiel donné ?
Dans ce cas, un corps au repos est également bien défini dans un référentiel donné (puisqu'il suffit de considérer les corps dont la trajectoire est un point, ou le vecteur vitesse nul).
L'immobilité n'a aucun caratère absolu, c'est un état de mouvement, qui est le repos dans un référentiel donné.
Il n'y a pas de nécessité d'invoquer la relativité, il suffit de consulter un cours de 1èreS de cinématique.
Bonjour,
L'élément de longueur infinitésimal qui décrit la métrique est une notation (mathématique) et si je calcule son intégrale le long de votre morceau courbe paramétrée, je ne peut interpréter le résultat comme étant un intervalle de temps propre que si ce morceau de courbe relie deux évènements causalement liés. Dans la généralité, même si vous me demandez de multiplier arbitrairement le carré de l'élément de métrique par -1 au cas où j'aurais des courbes de genre espace en RR, je n'obtiendrai pas toujours un nombre réel et il est vrai qu'on est libre de donner une quelconque interprétation pertinente à ce nombre. Quand j'ai initié le sujet ce n'était pas pour dire que ce nombre n'est pas interprétable, mais qu'il devient difficile (pour moi) de donner un sens à la notion de distance en deux points de l'espace-temps autrement dit entre deux évènements.Je ne comprends pas votre argumentation.
En relativité (générale ou restreinte) ou dans tout autre espace, vous pouvez toujours définir une courbne paramétrée :
Je ne vois pas le rapport entre paramétrisation d'une courbe, et relation de causalité.
huumm C'est tout le fond de ma pensée, enfin nous somme d'accord. Il me semble même logique d'affirmer que la notion de référentiel n'a été introduite qu'à cause de cette subtilité.
Je préfère ne pas évoquer votre explication de la formule dy = f'(x) dx.
Cordialement,
Rommel Nana Dutchou
Parce que vous restez toujours dans un raisonnement purement spatial.
Lorsque l'intervalle séparant deux évènements est positifs, vous pouvez trouver un référentiel où ces deux évènements se produisent à l'origine (au point O).
Lorsque cet intervalle est négatif, vous pouvez trouver un référentiel où ces deux évènements sont simultanés.
Je ne comprends pas pourquoi vous voulez tout ramener à la notion de distance ?
Est-ce que vous vous demandez quelle distance sépare la prise de la Bastille et la première fusée en partance pour la Lune ?
Vous pouvez raisonner avec des petit "o" également...
Dans ce cas vous obtenez exactement la même chose.
Pensez au cas plus simple d'une fonction linéaire ou affine. Vous vous figurez bien que si vous avancez d'un pas dans la direction des x, (aussi petit que vous le voulez), vous ferez un pas dans la direction y proportionnel au pas dans la direction x.
Bonjour,
Huumm
Je comprends parfaitement cette analyse en relativité restreinte.
C'est pas moi qui est inventé l'expression pseudo métrique.
Dites le moi si je me trompe. La relativité générale enseigne que lorsque deux tels évènements sont très proches (ça veut dire quoi très proche ?) ils définissent un intervalle d'espace-temps, il existe entre eux une pseudo métrique dont le carrée est un nombre réel.
Ok, si c'est en mathématique, alors un infinitésimal (même de pseudo métrique) étant une notation, on devrait pouvoir reformuler la relativité générale en ne faisant apparaitre que des nombre dérivés et des intégrale. Est-ce qu'une telle formulation, où on ne voit à aucun moment dx, dmachin (se balader tout seul sans être divisé par un autre) existe ?
Je ne vois pas le rapport entre cette formule et le passage en relativité restreinte d'un intervalle d'espace-temps infinitésimal à un intervalle d'espace-temps non infinitésimal.Vous pouvez raisonner avec des petit "o" également...
Cordialement,
Rommel Nana Dutchou
Les équations doivent garder une homogénéité en infinitésimaux, tous les termes doivent avoir le même ordre. L'intégration équivaut à la suppression d'un infinitésimal.
Nous pouvons construire des équations avec des termes infinitésimaux en numérateur seulement. Les quantités représentées n'auront le sens d'une mesure qu'après intégration.
Comprendre c'est être capable de faire.
Ce ne sont pas des infinitésimaux. C'est ça le problème pas autre chose, les dx dmachin ce sont des formes différentielles. La relativité générale s'écrit de manière cohérente dans le cadre de la géométrie différentielle (voir cours de géo diff : cours). L'avantage de telles formalismes est la formulation covariante de la RG, indépendante du choix de coordonnées.Ok, si c'est en mathématique, alors un infinitésimal (même de pseudo métrique) étant une notation, on devrait pouvoir reformuler la relativité générale en ne faisant apparaitre que des nombre dérivés et des intégrale. Est-ce qu'une telle formulation, où on ne voit à aucun moment dx, dmachin (se balader tout seul sans être divisé par un autre) existe ?
Quant au problème de distance négative comme déjà signalé il vient uniquement de la signature de la pseudo-métrique voir ici définition et section suivante pseudo-métrique.
Et contrairement à ce que l'on voit partout ici les dx, dmachins ne se divisent pas entre eux.se balader tout seul sans être divisé par un autre
Justement parce que ce ne sont pas des infinitésimaux (et donc pas des nombres) mais des formes différentielles.Les quantités représentées n'auront le sens d'une mesure qu'après intégration.
Bonjour,
Je ne peux pas contredire phys4 et encore moins Magnétar parce que je n'ai réellement pas suffisamment de compétences.
J'ai envie de dire "ce n'est que partie remise"
Cordialement,
Rommel Nana Dutchou
Dans quelle référence apprends tu la RG ?
Le Wald me semble être le meilleur pour commencer, car il n'est pas totalement dénué d'explication mathématiques et de leur lien à la physque (même si il en manque beaucoup). Mais honnêtement, la meilleurs chose à faire c'est d'abord d'ouvrir un vrai cours de géo diff puis d'ouvrir un vrai bouquin de RG. On peut apprendre la RG sans (il y a plein de cours qui font comme ça) mais vu le manque de précision de ce type de pédagogie j'ai de moins en moins l'impression que ce soit une bonne chose à faire.
Bonjour,
Quand je disais se balader tout seul sans être divisé par un autre, j'entendais pas "autre" le paramètre d'une certaine courbe paramétrée.
Sinon le cours de géo diff semble convainquant dès la table des matières mais je vais quand même essayer de repérer ce qui m’intéresse.
Cordialement,
Rommel Nana Dutchou
Bonjour,
Pour apprendre la RG, j'ai d'abord vraiment appris la RR, puis consulter fréquemment plusieurs cours d'introduction.
Celui que j'ai le plus examiné c'est celui ci :
http://www.luth.obspm.fr/~luthier/go...er/relatM2.pdf
Il me semblait éviter les langages compliqués ou sans démonstration complète dès le départ c'est pour ça que je m'y suis accroché.
Il est évident que je ne suis spécialiste de RG, je pose simplement des questions pour introduire ma théorie.
Cordialement,
Rommel Nana Dutchou
Bonjour,
De la poudre aux yeux...
Comme je m'y attendais on tourne en rond.
Si les dx,dy.. représentent en relativité générale des formes différentielles (leurs coordonnées relativement à un certain système de coordonnées étendu de l'espace-temps) alors il ya un tour de magie pour exprimer la notion de quadri-vecteur vitesse. On divise en effet ces formes différentielles par une quantité infinitésimale sensée représenter un intervalle de temps propre et le problème c'est qu'une quantité infinitésimale n'est pas un nombre réel, et les espaces vectoriel tangent à la variété espace-temps sont réel.
Cela dit, même si on inventait des mathématiques pour justifier tout ça, je ne fais que proposer une théorie qui vaut ce qu'elle vaut, et pour laquelle j'ai très longtemps travaillé et beaucoup sacrifié.
Merci,
Cordialement,
Rommel Nana Dutchou
