Problème raisonnement sur exo méca L1

[Cassano]

Bonjour à tous, je viens à vous car j'ai un petit problème de raisonnement sur un exo pourtant basique de L1... et je ne vois pas où le bât blesse.



On considère le dispositif de gauche de la figure, où une masse m1=5 kg et une masse m2=3 kg sont reliées par un fil inextensibles qui passe par deux poulies sans frottements. La masse la plus légère (m2) est reliée à un ressort de constante de raideur k=32 N/m, initialement à sa longueur d'équilibre. On lâche la masse m1 sans vitesse initiale.

Il est demandé dans un premier temps de déterminer jusqu'où la masse m1 ira. Et pour cela, il faut préciser le système que l'on considère : {masse m1}, {m1+m2+ressort+poulies+fils}, etc.

J'ai décidé de réfléchir sur m1 seule. Je considère qu'elle est soumise à trois forces : son poids dirigé vers le bas, et le poids de m2 et la force de rappel du ressort, dirigées vers le haut (elles sont transmises par l'intermédiaire du fil inextensible). Comme ce sont toutes des forces conservatives, j'ai conservation de l'énergie mécanique. Je choisis un repère tel que toutes les énergies soient nulles au départ (le 0 du repère au niveau des masses). En écrivant ça j'arrive à une expression de la hauteur atteinte (valeur absolue) :
, avec .
L'application numérique me donne h=1,23m.

Ok jusque là je pense que c'est bon. Ensuite, on demande la vitesse de m1 au moment où elle passe 1m en dessous du point initial. Même raisonnement, sauf que c'est là que ça coince. A priori, si je veux étudier l'énergie mécanique et que mon système est {m1}, son énergie cinétique est . Et en écrivant la conservation de l'énergie mécanique, on arrive à :
. Or, ça ne peut pas être le bon résultat. Parce que à moins que je ne me fourvoie totalement, le système est en fait strictement équivalent à celui de droite. Et donc pour avoir la vitesse, il faut remplacer par dans l'expression ci-dessus. En plus il n'apparait pas logique d'un point de vue physique que la vitesse dépende explicitement de m1 : elle doit dépendre de la différence de masse!

Je suppose que l'erreur vient du fait qu'en considérant m1 seul comme système, je ne prend pas en compte l'énergie cinétique de m2 (qui va à la meme vitesse que m1 mais en sens contraire), mais je n'arrive pas à démêler tout ça correctement.

Désolé pour le post long, et merci aux courageux qui me liront et auront le courage de me répondre.

Cordialement
-----

[Etrange]

Salut,

Je trouve le même résultat que toi pour la hauteur maximale. En revanche le système n'est pas identique au système simplifié que tu dessines (me semble t-il) car, bien que la force exercée sur le ressort soit effectivement la même, l'inertie du système initial est plus grande que celle du système simplifié. Pour trouver la vitesse cherchée il faut prendre en compte le fait que l'énergie cinétique est celle accumulée par les deux masses et pas seulement par m1 ou m2 car les deux masses sont en mouvement à la même vitesse. Du coup je trouve la même expression que toi pour la vitesse à l'exception du dénominateur sous la racine qui vaut m1+m2 pour moi. J'ai peut-être fait une erreur ... il est tard

@+

[LPFR]

Bonjour.
Vous avez une erreur dans la formule pour calculer 'h'. L'énergie d'un ressort est ½kx² et non ½kx.

Par la suite, l'énergie cinétique du système est ½(m1 + m2)v² et non uniquement m1.
Au revoir.

[Etrange]

Salut LPFR,

Il me semble que l'expression de h est bonne et que le x² de l'énergie emmagasinée par le ressort se simplifie en partie avec le x de l'énergie potentielle du système, non ?
½kx² = (m1 - m2)gx

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Salut LPFR,

Il me semble que l'expression de h est bonne et que le x² de l'énergie emmagasinée par le ressort se simplifie en partie avec le x de l'énergie potentielle du système, non ?
½kx² = (m1 - m2)gx

@+

Re.
Oui.
Vous avez raison. Je n'ai pas vu la simplification. Au temps pour moi.
A+

[Cassano]

Bonjour. Oui Etrange, en effet, les deux systèmes ne peuvent être équivalents à cause de l'inertie du système (c'est ce que je me suis dis juste après avoir posté, mais il été trop tard pour que je corrige .

Du coup je suis d'accord avec vous deux pour le résultat sur v, c'est la somme des masses au dénominateur. Mon problème c'est que pour compter la totalité de l'énergie cinétique (et il faut la compter), il faut prendre comme système {les deux masses, le ressort, le fil, les poulies}. Mais ne peut-on pas trouver le même résultat en ne considérant comme système que la masse m1?

Nan parce que de base comme ça, j'aurai pris en compte toutes les contributions à l'énergie, et j'aurai trouvé la bonne réponse. Mais il faut définir le système sur lequel on travaille. Et je pensais qu'on pouvait prendre n'importe lequel. La conclusion serait que pour avoir le bon résultat, prendre comme système la masse {m1} seule n'est pas possible? Perso, j'ai toujours fait ça "au feeling", en faisant parler le sens physique, et j'ai toujours été nul pour définir les systèmes (encore pire en thermo qu'en méca ^^).

[Etrange]

Salut,

En fait c'est aussi possible, je ne vois pas de contre indication excepté le fait que c'est plus compliqué. En ne prenant que m1 il faut prendre en compte la force appliquée par la deuxième masse sur la première via le fil. Cette force travaille et entre donc en compte dans le bilan énergétique. Le problème est que cette force est non conservative et du coup l'énergie mécanique de m1 seule n'est pas constante. Le raisonnement avec les énergies qui simplifiait les calculs ne tient plus ... me semble t-il .

@+

[Cassano]

Oui, c'est ce que j'ai fait pour la première question. Le truc, c'est que les forces exercées sur m1 par m2 et par le ressort sont transmises via le fil, et ne sont rien d'autre que le poids de m2 et la force de rappel... donc à priori des forces conservatives (elles sont transmises "telles quelles" via la tension du fil). Ces notions de définition de système, ça m'a toujours un peu


Je demanderai bien à l'enseignant, sauf que l'enseignant c'est moi...

[Etrange]

Re

Je pense quand même que la force exercée via le fil n'est pas conservative car elle dépend du chemin suivi ou plutôt de la manière avec laquelle on le suit (le chemin est toujours une droite ^^). Si l'on fait monter manuellement la masse m1 avec suffisamment de vitesse, le fil n'exercera aucune force car m2 sera en chute libre (le fil sera lâche, cas extrême). En revanche si on retient la masse m1 dans son ascension la force sera bien présente (le fil sera tendu). Du coup on ne peut pas inclure la force issue de la tension du fil dans la définition d'un potentiel contrairement à celle due à l'attraction gravitationnelle ou même à celle due au ressort. En fait la force exercée par le fil dépend de la vitesse de m1, ce n'est pas le cas des autres forces qui s'appliquent (poids et ressort).

@+

[LPFR]

Re.
Je pense que vous êtes en train de dériver vers les maths en vous éloignant de la physique.
Je ne me suis jamais préoccupé de la définition de système et je me suis toujours très bien porté (en mécanique, du moins).
Les forces produites par la tension du fil sont parfaitement conservatives. Avec une vraie ficelle, elle sera, au pire, non linéaire, car elle ne peut pas devenir négative. Mais on peut imaginer de remplacer le câble par un tube avec deux pistons, ce qui permettrait d'avoir des "tensions" positive et négatives. Ou avec deux crémaillères et un engrenage à la place de la poulie. Bref, la ficelle peut être remplacée par plusieurs mécanismes (plus ou moins compliqués) qui changent la direction de la force.
Du point de vue de l'inertie, les deux corps se comportent comme s'ils n'étaient un seul. Donc, pour moi, on ne peut pas isoler un de l'autre.
A+

[Cassano]

Re. Oui LPRF, je suis bien d'accord avec toi. Perso, je me suis jamais embarrassé non plus de ces considérations, et ça m'a toujours très bien réussi (bon, ça semble être contredit par mon premier post, mais pas satisfait du résultat, je l'avais refait juste entre temps). Je me suis toujours laissé guidé par mon sens physique. Mais bon, comme là je suis de l'autre côté du bureau, je voulais une méthode un peu plus "automatique" (et peut-être mathématique du coup oui), pour ceux de mes étudiants qui ne posséderaient pas un sens physique très développé... Bon ben, je crois que ça sera tant pis pour eux. n'ont qu'a pas faire de physique

[LPFR]

... Bon ben, je crois que ça sera tant pis pour eux. n'ont qu'a pas faire de physique

Re.
Eh oui. On ne peut pas faire de l'enseignement en fonction des moins doués. Tout le monde n'est pas doué pour toutes les matières. Et remplacer le raisonnement physique par des "recettes de cuisine" pour que même les nuls arrivent à calculer un problème donné sans l'avoir compris ne me semble pas une bonne idée.
A+

[Etrange]

Re

Oui c'est vrai LPFR, je me suis imaginé des situations bizarres mais en fait c'est bien conservatif. Je vais quand même continuer à réfléchir car ce problème me tracasse

@+

[Theophane]

Bonjour,

Si on veut faire des maths et se compliquer la vie, on peut très bien "isoler" la masse m1 et travailler sur le système {m1}.

En fait, le système est équivalent à une masse (m1 + m2) posée sur le ressort avec un ballon d'hélium accroché en haut et qui exerce une force de valeur m1*g. Quand on a compris ça, c'est facile.


Ce qu'il ne faut donc pas faire !!!

Je dirige l'axe des z vers le haut. Je fixe mon z=0 au niveau de la masse m1 au début de l'expérience.

Je considère d'abord le système {m1}.
Bilan des forces :
Le poids :
La force du fil sur la masse m1 :

Je dois donc considérer le système {m2} maintenant, pour trouver F.
Bilan des forces :
Le poids :
La force du fil sur la masse m2 :
La force du ressort sur la masse m2 :

On sait, le fil étant inextensible, que F côté m2 et la même que F côté m1, d'où les équations ci-dessus. On en déduit également (de l'inextensibilité du fil) que , et .
De plus, à t=0, , et donc et donc donc

Maintenant, on déroule le PFD, pour m2 puis pour m1 :



On fait m1 * (1) + m2 * (2) pour éliminer les accélérations.
On a alors donc
Ouf !

On voit que F dérive d'un potentiel (F=-grad (Ep)) et donc on calcule l'énergie potentielle de la force du fil sur {m1} :

On a donc 3 énergies à considérer pour {m1} :
Énergie cinétique :
énergie potentiel de pesanteur :
énergie potentiel de retenu du fil :

A t=0, toutes ces énergies sont nulles et donc Em=0.
On a donc ce qui se simplifie en soit car m_1 différent de 0.

On trouve alors :


Et le problème est fini.
On répond à la première question grâce à la condition d'existence de v1² qui doit être > 0.


Maintenant, ce qu'il faut faire sans se prendre la tête !!!!!
Je considère le système {m1 + m2 + fil}. On sait que , et .
Énergie cinétique :
énergie potentielle de pesanteur (le seul point un peu compliqué) : soit . Je peux choisir ma constante tel que Epp = 0 au début donc .
Energie potentielle élastique : (par choix du bon offset sur la constante).

On somme tout ce beau monde et on a :
ce qui nous donne comme par hasard :

Ouf, on a le même résultat, mais en 4 lignes seulement



Ce qu'on peut faire d'encore plus compliqué après le PFD :

On égalise F.
On a donc :
Et donc
Posons et .

Alors, .

On trouve alors facilement que
que
et que .

On a alors .

On annule les variables temps car on s'en fout dans le problème :
et donc .
Ouf !!!

Jusqu'où la masse m_1 ira, c'est facile. On part de l'expression z(t) et on trouve , c'est ce que tu as trouvé.
Pour la deuxième question, on calcule v² et on remplace sin²(wt) par 1 - cos²(wt). Autant être maso pour continuer les calculs comme ça.

[Cassano]

OUI!! Merci Theophane! Ca me prenait vraiment la tête!

Pas la peine d'aller jusqu'à la résolution des équations dynamiques pour répondre aux questions. Tu as tout à partir de l'équation sur la vitesse que tu as obtenu (y'a une petite erreur de signe, mais de rien du tout).
Bon sang mais c'est bien sur!!! La tension du fil, à calculer pour pouvoir faire l'analyse sur m1 seul!! Je l'avais éludée directe, la voyant simplement comme un moyen de transmettre la force de rappel, mais c'est plus que ça! Effectivement, je vois le problème comme tu le décris (et pas comme je l'ai fait sur mon dessin ; sauf que moi je suis tordu : je met le ressort en haut, les masses m1 et m2 et un ballon sur m2 ). J'avais pas pensé à calculer le travail de la tension.

Bon sinon dans l'absolu, pour trouver la réponse, j'ai fait comme toi! (j'ai pris tout le système, et c'est vachement plus rapide et facile). Mais ça me prenait la tête de ne pas arriver à appliquer la conservation de l'énergie sur m1 seule, alors que y'avait pas de raison. Merci beaucoup!!

ps : merci surtout d'avoir pris tout le temps de faire tout ça et de rédiger tout ce message (surtout en tex, c'est long). Je pense que tu dois être un peu maso aussi
Mais ça m'a beaucoup aidé!! Merci

[sitalgo]

B'jour,

J'ai jeté un oeil sur ce sujet et il y a un truc qui ne colle pas.
On a deux masses qui créent une force de env. 20N sur le ressort. Celui-ci ayant une raideur de 35N/m, à l'équilibre il ne risque pas de s'allonger de 1m à cause de cette charge.
2.9,81/32 = 0,613m.

Le problème est qu'on ne peut pas partir de l'état initial qui n'est pas en équilibre. Il faut tenir compte que la masse m1 était tenue par quelque chose, le mieux est d'imaginer une réaction d'appui que dans mon calcul j'ai mise à m2. L'énergie élastique de cette réaction répond à la fonction , Kr très grand et delta z très petit, comme ça c'est kif le ressort qui est la réaction d'appui à la fin. Ce serait bête de tenir compte d'une réaction d'appui à la fin mais pas à l'arrivée.

Etat initial :

Final :

Or
Différence :

->
ce qui donne bien 0,61m.

[Theophane]

Bonjour Sitlago,

C'est moi qui ne comprends pas ce que tu dis. En statique, je suis d'accord avec toi. Seulement, quand les masses ne mettent en mouvement, leur inertie donne une "force" supplémentaire à ces masses. Les 20N, ils sont constamment appliqués, et par dessus s'ajoute une énergie cinétique qui vaut 1/2 (m1+m2) * v² non ?

La condition initiale est très importante ici ! On nous dit que le ressort est à sa longueur libre quand on lâche m1, ce qui est tout à fait différent de : on stabilise le système de telle sorte qu'il ne bouge plus sans qu'on ne tienne m1 puis on soulève un peu m1 ou je ne sais quoi d'autres encore.

Je vais prendre un exemple simple, le saut à l'élastique. Il est facile de voir que plus on saute haut, plus l'élastique va se tendre. Ici, c'est pareil. La masse m1 en tombant entraine le ressort au-delà de ce qui est possible en statique pur.

Je ne vois pas où l'erreur dans mon raisonnement précédent quand je dis :

Je considère le système {m1 + m2 + fil}. On sait que , et .
Énergie cinétique :
énergie potentielle de pesanteur (le seul point un peu compliqué) : soit . Je peux choisir ma constante tel que Epp = 0 au début donc .
Energie potentielle élastique : (par choix du bon offset sur la constante).

On somme tout ce beau monde et on a :
ce qui nous donne comme par hasard :

ce qui ne amène à ton résultat multiplié par 2.

@Cassano : Avec plaisir, et oui, je dois être un peu maso

[sitalgo]

J'ai pris le sujet en cours et vu que c'est un peu long je n'ai pas bien lu. J'avais compris qu'on demandait d'abord h à l'équilibre, c'est pourquoi je m'étonnais de voir 1,23m.
Mais bon, j'ai rien dit. On va faire comme si rien ne s'était passé.