Notation de dirac - braket

[invite39876]

Pas canonique. Le choix du produit scalaire est arbitraire, et ce choix est équivalent (dans le cas réflexif, sinon cela ne s'applique pas) au choix d'un isomorphisme.

Ben, le choix devient canonique une fois que le produit scalaire est choisi. Ce qui est le cas dans un espace de Hilbert.
-----

[Amanuensis]

Ben, le choix devient canonique une fois que le produit scalaire est choisi. Ce qui est le cas dans un espace de Hilbert.

Comme le choix du produit est strictement équivalent au choix de l'isomorphisme, on n'utilise normalement pas le mot "canonique", car alors il n'exprime qu'une trivialité, sans apport d'information.

A contrario, mettre l'accent sur le fait qu'un même espace vectoriel peut être muni de différences structures d'espace de Hilbert ou de différentes structures métriques peut être utile, même en physique.

Question de choix de vocabulaire et/ou pédagogique, pas de fond.

[invite39876]

Comme le choix du produit est strictement équivalent au choix de l'isomorphisme, on n'utilise normalement pas le mot "canonique", car alors il n'exprime qu'une trivialité, sans apport d'information.

Ben, si en fait le mot canonique est important, car il signifie fonctioriel (ce qui n'est pas donné au départ). Chuis désolée, c'est un peu du pinaillage mathématique (ouah, je me reconnais pas là!), mais l'isomorphisme devient canonique (fonctoriel donc) quand on se place dans la catégorie des espaces euclidiens (ou hermitiens) alors qu'il ne l'est pas dans la catégorie des espaces vectoriels, et donc y a vraiment de "l'information en plus".

Mais chuis d'accord, ca fait pas avancer le debat (d'ailleurs wiki le presente bien ainsi http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_...ilin.C3.A9aire)

[invite7ce6aa19]

Merci à vous tous pour ces réponses qui se complètent vraiment et m'ont beaucoup aidé!
Je vois que cette notation est loin d'être anodine.
A ce stade du cours de quantique, c'est dommage que la notation me complique la vie alors qu'elle est plutôt censée faciliter les calculs...
Finalement, comment traduire la notation <f|g> en notation "classique", lorsque f et g sont deux fonctions? Faut-il faire intervenir une intégrale?

Bonjour,

En fait on a <f|g> =


Pourquoi?

Le fait d'écrire |g> laisse entendre que le fonction g(x) est un vecteur.

En effet tu peux considérer que g(x1), g(x2), ....g(xn).... représente les composantes d'un vecteur |g> selon la base des |x>

ce qui veut dire qu'a chaque point x de l'espace tu associes un vecteur |x>

On peut écrire un élément de matrice sous la forme g(xn) = <xn|g>

|g> est représentée par une matrice colonne de grande dimension (selon l’échantillonnage de la fonction g(x))

De même <g| sera représentée par une matrice ligne avec les éléments de matrices g(x1)*, .... g(xn)* etc..


C'est ainsi que |f> et |g> sont 2 vecteurs et <f|g> représente bien le produit scalaire de ces 2 vecteurs.

un exemple simple:

On connait la relation:

exp (i.x) = cos x + i. sin x

que l'on écrira en MQ:

|exp> = |cos> + i. |sin >

qui montre que la fonction exponentielle est un vecteur d'un espace à 2 dimension que l'on obtient par combinaison linéaire des vecteurs |cos> et |sin>

Cela peut paraitre pédant, mais il y a une raison à cela. Dans la plupart des cas les états quantiques sont solutions d'un problème au valeur propres sous la forme:

H.|Fn> = E|Fn>

l'ensemble des |Fn> définit un espace vectoriel qui va servir de support à la description de la dynamique du système.

Il est donc inutile de parler de la fonction |Fn> dans la représentation matricielle spatiale <x|g>

[Amanuensis]

Ben, si en fait le mot canonique est important, car il signifie fonctioriel (ce qui n'est pas donné au départ). Chuis désolée, c'est un peu du pinaillage mathématique (ouah, je me reconnais pas là!), mais l'isomorphisme devient canonique (fonctoriel donc) quand on se place dans la catégorie des espaces euclidiens (ou hermitiens) alors qu'il ne l'est pas dans la catégorie des espaces vectoriels, et donc y a vraiment de "l'information en plus".

En dimension finie réelle (pour simplifier), si on remplaçait "muni d'une forme quadratique non dégénérée" par "muni d'un isomorphisme avec le dual", on ne changerait rien (en gros) ; on ne le fait pas, la notion de "métrique" est plus intuitive. La seconde formulation a l'avantage de souligner qu'il n'y a pas (vu de la structure d'espace vectoriel) d'isomorphisme canonique (i.e., qu'il n'y a pas d'association "naturelle" entre un vecteur et un élément du dual dans n'importe quel espace vectoriel).

C'est juste ce second point que je trouve trop "occulté" dans les présentations générales, et parler d'un isomorphisme canonique renforce cette "occultation". Alors que parler de l'isomorphisme (le morphisme injectif plus généralement) de E dans E* défini par la forme quadratique (par le produit scalaire), sans utiliser le mot canonique (qui devient inutile) me semble aller dans le sens évitant cette occultation.

En physique c'est un point important puisqu'en RG la forme quadratique 4D n'est pas l'euclidienne, et donc définit un isomorphisme avec le dual qui n'est pas celui, plus usuel, venant de la métrique euclidienne. (En terme mariposiens, non seulement faut changer la disposition des composantes de ligne à colonne, mais faut en plus en inverser une...)

Je répète que ce n'est pas un point de fond, juste des "connotations", des idées sous-jacentes qu'on fait passer ou non comme sous-produit d'un choix de manière de s'exprimer. La pratique de ce forum m'a montré, du moins c'est mon analyse, un gros "défaut de compréhension" en général sur la notion de dual vectoriel, et aussi sa relation avec une "métrique".

[Amanuensis]

selon la base des |x>

ce qui veut dire qu'a chaque point x de l'espace tu associes un vecteur |x>

Cas d'écritures impropres. Il n'y a pas de fonction de R vers R correspondant à <x|, cette dernière écriture désignant , la distribution de Dirac en x.

C'est une des raisons pour lesquelles en toute généralité on ne décrit pas une base comme un ensemble de vecteurs (la "base des |x>"), mais comme un ensemble de formes (la base des <x|).

Dans "la base des <x|", les composantes de |v> sont les scalaires <x|v> ! C'est à la fois simple, clair et cela illustre la notion de dual et la notation de Dirac.

Et parler de propre ou d'impropre n'est pas une question de bête respect d'un formalisme ou d'usage, c'est juste que parler de |x> risque de créer une confusion chez les apprenants.

[invite93279690]

Ben, le choix devient canonique une fois que le produit scalaire est choisi. Ce qui est le cas dans un espace de Hilbert.

Salut,

Justement je me posais la question récemment...est ce que L^2(R) est un espace de Hilbert ?
J'aurai tendence à dire que non mais avant d'expliquer pourquoi et de peut être raconter une betise j'aimerai l'avis de forumeurs un peu plus matheux que moi...

[invite39876]

En dimension finie réelle (pour simplifier), si on remplaçait "muni d'une forme quadratique non dégénérée" par "muni d'un isomorphisme avec le dual", on ne changerait rien (en gros) ; on ne le fait pas, la notion de "métrique" est plus intuitive. La seconde formulation a l'avantage de souligner qu'il n'y a pas (vu de la structure d'espace vectoriel) d'isomorphisme canonique (i.e., qu'il n'y a pas d'association "naturelle" entre un vecteur et un élément du dual dans n'importe quel espace vectoriel).

Justement, non! Ce serait beaucoup moins fort de juste specifier un isomorphisme avec le dual, par exemple un minimum a demander serait que les isomorphisme specifiés soient compatible avec l'isomorphisme de bidualité.
Un argument de dimension etre a bien comprendre les choses, le groupe des isomorphisme de E sur Edual, est GL(d) (ou d est la dimension), qui est de dimenion d² (en tant que variété topologique) par contre les isomorphismes donné par un produit scalaire est donné par les matrices symetriques definies positives, qui est lui de dimension d(d+1)/2.

[invite39876]

Salut,

Justement je me posais la question récemment...est ce que L^2(R) est un espace de Hilbert ?
J'aurai tendence à dire que non mais avant d'expliquer pourquoi et de peut être raconter une betise j'aimerai l'avis de forumeurs un peu plus matheux que moi...

Oulah, je ne suis pas trop une matheuse justement (mais j'essaie de me soigner!), mais par contre, je peux repondre, oui c'est un espace de Hilbert (pour le produit scalaire L²), il est meme séparable, et c'est essentiellement le seul (de dimension non finie).
Le fait qu'il soit complet resulte essentiellement du théoreme de convergence dominé.

[Amanuensis]

(Message "entrelacé"...)

Petit développement sur les bases, à titre d'illustration des notations et de la notion de dual...

On se met en dimension finie, pour simplifier.

Dans quel cas peut-on dire que la base (|x_i>), au sens usuel, est aussi la base (<x_i|) ? Réponse : quand elle est orthonormée.

Dans les autres cas, les composantes selon les deux bases sont différentes, ce qu'on trouve de temps en temps sous le nom de coordonnées covariantes et contravariantes.

Par exemple, en 2D euclidien, si |i> et |j> forme un système orthonormé, la base (|i>, |i+j>) correspond (au sens qu'elles définissent les mêmes coordonnées) à la base (<i-j|,<j|). En effet on a bien <i-j|i>=1, <j|i>=0, <i-j|i+j>=0 et <j|j>=1.

Réciproquement, la base (<i|, <i+j|) donne un autre système de coordonnées, dans lequel par exemple |i> a pour composantes ((<i|i>, <i+j|i>) = (1,1)

[invite39876]

Je me permet juste d'ajouter une chose, si le point de vue vecteurs lignes et vecteurs colonnes, permet de se faire une bonne idée des choses. Il faut comprendre que ce point de vue est limité pour 2 raisons.

1) Il n'est pas intrinsèque, et necessite le choix de bases, ainsi une forme linéaire n'est pas canoniquement (on y revient) un vecteur ligne (tout comme un vecteur n'est pas canoniquement un vecteur colonne). C'est assez ennuyeux, et justement le formalisme de dirac permet de s'affranchir de ca. (Deja l'espace des fonctions d'onde c'est L², et la dedans, bah y a bas de base déombrable... donc ecrire des matrices la dedans devient tres rock!).
Donc voir un vecteur comme des colonnes (et des formes linéaires comme des lignes) est limité.

2)En dimension infinie, comme c'est le cas avec L², bah on ne peut pas manipuler des matrices comme en dimension finie (la multiplication matricielle n'a plus de sens).
On peut s'en sortir avec la notion de base Hilbertienne (qui n'est pas une base comme son nom ne l'indique pas!) qui identifie un espace de Hilbert separable a l^2 (petit l cette fois), et finalement quand meme "lire" le produit scalaire sur une telle base.
Encore une fois toutes les notations de dirac ne pose pas de probleme de ce point de vue la, puisque justement tout est intrinsèque.

[Amanuensis]

J
Un argument de dimension etre a bien comprendre les choses, le groupe des isomorphisme de E sur Edual, est GL(d) (ou d est la dimension), qui est de dimenion d² (en tant que variété topologique) par contre les isomorphismes donné par un produit scalaire est donné par les matrices symetriques definies positives, qui est lui de dimension d(d+1)/2.

Je n'ai pas parler de "défini positif", j'ai bien fait attention (dans au moins un message) de parler de forme quadratique non dégénérée pour de ne pas limiter au cas métrique (cause la RG).

[Amanuensis]

Par exemple, en 2D euclidien, si |i> et |j> forme un système orthonormé, la base (|i>, |i+j>) correspond (au sens qu'elles définissent les mêmes coordonnées) à la base (<i-j|,<j|). En effet on a bien <i-j|i>=1, <j|i>=0, <i-j|i+j>=0 et <j|j>=1.

Faute dans la partie en rouge. Lire En effet on a bien <i-j|i>=1, <j|i>=0, <i-j|i+j>=0 et <j|i+j>=1

[Amanuensis]

(Deja l'espace des fonctions d'onde c'est L², et la dedans, bah y a bas de base déombrable...

Léger HS : Tiens, je pensais que si, parce qu'on peut définir une fonction C0 de R dans R en ne donnant que les valeurs sur Q. Mais je dois avouer que je ne saurais pas traduire cette propriété "informationnelle" en une base !

[invite39876]

Je n'ai pas parler de "défini positif", j'ai bien fait attention (dans au moins un message) de parler de forme quadratique non dégénérée pour de ne pas limiter au cas métrique (cause la RG).

Ca ne change pas grand chose en fait, ce sera quand meme de dimension d(d+1)/2 (c'est un ouvert de l'espace des matrices symétriques), au lieu de d² pour tous les isomorphisme.

[invite39876]

Léger HS : Tiens, je pensais que si, parce qu'on peut définir une fonction C0 de R dans R en ne donnant que les valeurs sur Q. Mais je dois avouer que je ne saurais pas traduire cette propriété "informationnelle" en une base !

En fait dans L² y a beaucoup plus que les fonctions continues, mais meme si on regarde que les fonctions continue sur [0,1] par exemple on peut pas trouver de base dénombrable la dedans, pour la raison suivante.
Si on munit C^0[0,1] de la norme uniforme il est complet, s'il y avait une base dénombrable, alors en regardant les espaces engendrés par les n premiers elements de la base, on obtiendrait une famille dénombrable de fermés d'interieur vide, dont la reunion est égale a tout l'espace, et ca c'est exclu par le lemme de Baire. (Ca s'applique a L² aussi, et plus generalement la démo montre que tout espace complet pour une norme est soit de dimension finie, soit de dimension non denombrable)
/HS

[Amanuensis]

Ca ne change pas grand chose en fait, ce sera quand meme de dimension d(d+1)/2 (c'est un ouvert de l'espace des matrices symétriques), au lieu de d² pour tous les isomorphisme.

OK. Faut que je creuse (j'imagine) la condition de compatibilité avec l'isomorphisme canonique avec le bidual (dans le cas réflexif).

[invite93279690]

Oulah, je ne suis pas trop une matheuse justement (mais j'essaie de me soigner!), mais par contre, je peux repondre, oui c'est un espace de Hilbert (pour le produit scalaire L²), il est meme séparable, et c'est essentiellement le seul (de dimension non finie).
Le fait qu'il soit complet resulte essentiellement du théoreme de convergence dominé.

En fait je croyais que dans un espace de Hilbert toutes les suites de Cauchy devaient converger. Or, si je considère une suite de fonctions de L² (la fonction porte dont la taille du support est inversement proportionnelle à la hauteur de la porte par exemple) associée à une distribution bizarre genre un delta de Dirac elle ne converge pas dans L² mais dans autre chose. C'est bien d'ailleurs l'une des subtilités de la mécanique ondulatoire non ? Les fonctions d'ondes (L² donc) sont décomposables sur une base de Dirac (dit grossièrement) alors que cette dernière n'est pas L².

[invite39876]

En fait je croyais que dans un espace de Hilbert toutes les suites de Cauchy devaient converger. Or, si je considère une suite de fonctions de L² (la fonction porte dont la taille du support est inversement proportionnelle à la hauteur de la porte par exemple) associée à une distribution bizarre genre un delta de Dirac elle ne converge pas dans L² mais dans autre chose. C'est bien d'ailleurs l'une des subtilités de la mécanique ondulatoire non ? Les fonctions d'ondes (L² donc) sont décomposables sur une base de Dirac (dit grossièrement) alors que cette dernière n'est pas L².

Ta suite de fonctions n'est pas de cauchy.

[invite93279690]

Ta suite de fonctions n'est pas de cauchy.

Ah bon ? Pourquoi ça ?
Tu veux dire que si je prends la fonction suivante :
si et sinon alors il n'existe pas tel que

Où la norme serait par exemple ?

Ou bien est ce que seulement que je n'ai pas le droit d'étendre la définition des suites de cauchy aux fonctions ?

[invite7ce6aa19]

|V> est un vecteur
<W| est une forme linéaire

Bonjour,

Attention

|V> est un vecteur parce qu'il obéit aux axiomes de l'espace vectoriel (voir cours de math)

<W| est une forme linéaire (opérateur) et donc un vecteur ( à contrario un vecteur n'est pas à priori une forme linéaire ou un opérateur)

D'après ce que tu dis, un vecteur peut être vu comme une forme linéaire...

Et non: voir ci-dessus

Donc |V>=<V| et de même <W|=|W> (une forme linéaire peut être vu comme un vecteur)

Non plus. le vecteur |V> et le vecteur <V| appartiennent à des espaces différents


quelle est la solution?

Il y a 2 méthodes de pensée et il faut manier les 2 à la fois

Première méthode.

|W><V|

Le bra <V| agit à droite donc il faut mettre un vecteur |A> pour comprendre le sens

Soit:

|W><V|A>

<V|A> est un produit scalaire on peut donc écrire:

<V|A>.|W>

ce qui représente le vecteur|V> allongé par le "coefficient "<V|A>

Donc |W><V| est opérateur qui agit sur un vecteur pour donner un autre vecteur (du même espace)

Même exercice en agissant à gauche sur un bra <B|


Deuxième méthode:

On peut écrire |W><V| sous forme matricielle.

En effet il s'agit du produit d'une matrice colonne à gauche par une matrice ligne à droite (cad l'ordre inverse du produit scalaire)

Ce qui donne selon la règle de multiplication des matrices une matrice carré cad la représentation d'un opérateur dans une base déterminée.



On remarquera que la première méthode permet d'effectuer un calcul abstraction faite de toute représentation, alors que la deuxième méthode permet de travailler dans une représentation déterminée.

(Représentation veut dire choix de base)


Exercice suivant (pour ceux que çà intéresse).


En MQ on représente le passage d'un état |A> vers un état |B> sous l'influence d'un couplage lui-même représenté par un opérateur O par l'expression:

< B|O|A>

1- Quelle est la nature mathématique des 3 symboles et quelle est la nature du résultat (On l'appelle amplitude de transition)?

2- Soit M un changement de base tel que |A'> = M.|A>

Comment l'expression <B|O|A> doit être modifiée et pourquoi?


Le but de tout cela est de comprendre par la pratique la pertinence de l'écriture de Dirac et pourquoi il est en pratique impossible de s'en passer.

Bon courage.

[Amanuensis]

Les fonctions d'ondes (L² donc) sont décomposables sur une base de Dirac (dit grossièrement) alors que cette dernière n'est pas L².

C'est du point de vue mathématique un phénomène "normal" quand il n'y a pas réflexivité.

Mais j'ai le même problème de compréhension que toi, depuis la phrase de Bloupou message #2

La notation de dirac illustre juste le phénomène de de refelxivité de L², c'est a dire que L² est isomorphe a son dual (topologique),

Pour moi l'espace des fonctions d'onde n'est pas réflexif, ce qui est immédiatement illustré par le point que tu mentionnes, le fait que la "base des dirac" (qui se décrit fort bien avec des éléments du dual) n'est pas exprimable comme une décomposition en une combinaison linéaire de vecteurs (de fonctions d'ondes).

[Amanuensis]

Caveat lector :

Le mot "vecteur" est utilisé dans ce fil a deux sens différents.

- Comme élément d'un espace vectoriel particulier, dépendant du contexte (l'espace des fonctions d'onde, par exemple et principalement), et alors "forme linéaire" réfère aux formes sur cet espace vectoriel particulier ;

- Comme élément d'un espace vectoriel quelconque (et alors une forme linéaire relativement à un espace E est aussi un vecteur relativement à un AUTRE espace, E*) ; (notons qu'à ce sens un réel ou un complexe est un vecteur, puisque R et C sont des R-espace vectoriel, et C un C-espace vectoriel...)

Sauf erreur tout le monde sur ce fil, sauf un intervenant, évite d'utiliser le second sens pour limiter la confusion.

[invite39876]

Ah bon ? Pourquoi ça ?
Tu veux dire que si je prends la fonction suivante :
si et sinon alors il n'existe pas tel que

Où la norme serait par exemple ?

Ou bien est ce que seulement que je n'ai pas le droit d'étendre la définition des suites de cauchy aux fonctions ?

On peut bien sur etendre la notion de suite de Cauchy aux fonctions, ici ta suite de fonction ne verifie pas la condition de cauchy que tu as ecrit toi meme.

[invite39876]

Pour moi l'espace des fonctions d'onde n'est pas réflexif, ce qui est immédiatement illustré par le point que tu mentionnes, le fait que la "base des dirac" (qui se décrit fort bien avec des éléments du dual) n'est pas exprimable comme une décomposition en une combinaison linéaire de vecteurs (de fonctions d'ondes).

Alors de deux choses l'une.
1) L'espace des fonctions d'ondes n'est pas tout a fait L² (en physique on a tendance a considerer que les fonctions d'onde tendent vers 0 en l'infini, ce qui n'est pas le cas des fonctions de L²), mais bon c'est quand meme L², enfin on fait comme si (mais je doute que la confusion vienne de la).
2) L² est bien reflexif c'est un espace de Hilbert, c'est un resultat central en analyse fonctionnelle. (cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_...ompl.C3.A9tude)
3) Je ne sais pas trop ce que vous appelez base de dirac (en fait j'ai l'impression que vous appelez base de dirac, une base duale), mais je crois comprendre d'ou vient votre confusion. La distribution de Dirac ne fait PAS partie du dual topologique de L² (elle est certainement dans le dual, mais n'est pas continue) la suite de fonction (1-x)^n par exemple sur [0,1] et 0 partout ailleurs tend vers 0 dans L² et pourtant sa valeur en 0 est 1, la distribution de dirac n'est pas du tout dans le dual topologique de L².
J'imagine que ce qui vous chagrine vient du fait qu'on definit les distribution comme le dual topologique des fonctions tests, mais la topologie est tres differente de celle de L²! (c'est la limite inductive des topologies de frechet sur les fonctions a support compacts, elles meme definie par une famille de semi normes!)

En esperant avoir levé le mystere.

[invite39876]

Juste une precision quand je parle de L² sans en preciser la topologie, je parle bien sur de la topologie definie par la norme L² (le produit scalaire, l'integrale ds fonctions...). Et je (re)confirme que pour cette topologie la le dual topologique de L² est L².

[Amanuensis]

)
3) Je ne sais pas trop ce que vous appelez base de dirac (en fait j'ai l'impression que vous appelez base de dirac

la base telle que les composantes d'une fonction dans cette base est la liste (f(x))

La distribution de Dirac ne fait PAS partie du dual topologique de L² (elle est certainement dans le dual, mais n'est pas continue)
la suite de fonction (1-x)^n par exemple sur [0,1] et 0 partout ailleurs tend vers 0 dans L² et pourtant sa valeur en 0 est 1, la distribution de dirac n'est pas du tout dans le dual topologique de L².

J'imagine que ce qui vous chagrine vient du fait qu'on definit les distribution comme le dual topologique des fonctions tests, mais la topologie est tres differente de celle de L²! (c'est la limite inductive des topologies de frechet sur les fonctions a support compacts, elles meme definie par une famille de semi normes!)

Ben oui, c'est juste qu'en PhyQ on ne travaille pas avec L² !

Vous avez introduit L² dès le message #2, je vois là la source de la confusion.

[invite39876]

Ben oui, c'est juste qu'en PhyQ on ne travaille pas avec L² !

Vous avez introduit L² dès le message #2, je vois là la source de la confusion.

On travaille toujours avec L²! L'espace des fonctions d'onde est modelisé par un espace de Hilbert des le debut de la mecanique quantique (et on fait juste comme si les fonctions s'annulaient en l'infini!). Ca sert dans la theorie spectrale, dans les bases hilbertiennes, jusque dans la possibilité de voir des ondes comme des superpositions d'ondes planes, sans parler de la decomposition spectrale des operateurs (l'equation de shrodinger que l'on voir comme une quation stationnaire) qui ne fonctionne que dans les hilberts (separables), autrement dit L².
Les fonctions d'ondes sont bien dans l'espace L².

[Amanuensis]

Les fonctions d'ondes sont bien l'espace L².

Et vous venez d'expliquer que c'est contradictoire avec l'utlisation de distributions genre celle de dirac, alors qu'elles sont utilisées à plein d'endroits en PhyQ (comme le montre l'usage de la "base de diracs").

Comme VOUS expliquez cette contradiction ?

[invite39876]

Il n'y a aucune contradiction.
Ou voyez vous une contradiction, la distribution de dirac, n'est pas un element du dual topologique de L².