octet de su(3)

[invite69d38f86]

dans http://www.math.oregonstate.edu/~tev..._softlinks.pdf
on lit apres la figure 6
"D'après la figure 6 il est clair que la dimension de su(3) est égale à 8 et que celle de G2 est de 14.
Ca vous parait évident?
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[invite7ce6aa19]

dans http://www.math.oregonstate.edu/~tev..._softlinks.pdf
on lit apres la figure 6
"D'après la figure 6 il est clair que la dimension de su(3) est égale à 8 et que celle de G2 est de 14.
Ca vous parait évident?

Bonjour,

Je ne comprend pas la question de l'évidence.

Si tu te contentes de vouloir déterminer, par simple examen de la figure 6, t le nombre de générateurs en question tu ne pourras trouver 8 pour SU(3)

car la figure est très incomplète. Pour la même raison tu ne trouveras 14 pour G2 et pourtant G2 a bien 14 générateurs.


Même si cette figure est mauvaise, j'ai quand mis de coté cet article. Je prendrais le temps de le lire un jour pour voir ce qu'il y a d'original.

[invite69d38f86]

Je crois avoir compris pourquoi l'auteur trouve les dimensions 8 et 14 evidentes d'apres le diagramme de la figure 6.
mais il faut savoir que ces agebres sont de rang 2!
la figure 6 provient de la figure 5 ou l'on voit qu'il y a respectivement 6 et 12 racines (opérateurs de montee/descentes. Si l'on rajoutes les deux elements de la sous algèbre de Cartan on retrouve 8 et 14..

[invite7ce6aa19]

Je crois avoir compris pourquoi l'auteur trouve les dimensions 8 et 14 evidentes d'apres le diagramme de la figure 6.
mais il faut savoir que ces agebres sont de rang 2!
la figure 6 provient de la figure 5 ou l'on voit qu'il y a respectivement 6 et 12 racines (opérateurs de montee/descentes. Si l'on rajoutes les deux elements de la sous algèbre de Cartan on retrouve 8 et 14..

Absolument.

Si tu veux compter le nombre de générateurs dans la diagramme de racines il faut que tu comptes le nombre de points, mais en n'oubliant les 2 points au centre du diagramme de racines qui effectivement correspondent à la dimension

du sous-algébre de Cartan et qui bel et bien sont par construction des générateurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

@alovesupreme


Petite remarque


Tu as intitulé le titre de ton fil : octet de su(3)

Quand tu dis cela octet renvoie normalement à la notion de représentation d'un groupe

qui est donc un espace vectoriel de dimension quelconque, disons N.

Dans une algébre de Lie les éléments sont également des vecteurs (qualifiés de générateurs si cette algébre est issue d'un groupe continu)

dont la dimension est fixe.

L’algèbre de Lie d'un groupe joue le rôle de la table de multiplication pour les groupes discrets

il y a donc a priori pas de rapport entre l'algébre de Lie, cad la table de multiplication, et le représentation du groupe dans un espace vectoriel.

En fait on peut interpréter la table de multiplication:

g1.g2= g3 pour les groupes discrets

[g1,g2] = A12,3g3 pour les groupes continus

sous la forme

G1.|g2> =|g3>

où G est un opérateur et les|g> des vecteurs.

On peut ainsi construire une représentation à partir de la seule donnée de la table de multiplication.


On voit ainsi que par construction la dimension de la représentation est égal au nombre d'élément du groupe.


Pour les groupes discrets on parle de représentation régulière.

Pour les groupes continus de représentation adjointe.