Calculs structure cantilever

[inviteec9a04b1]

Bonjour,

je planche depuis quelques jours sur un problème que je n'arrive pas a résoudre.


Il s'agit donc d'une configuration cantilever. La structure est soumise a une charge linéique P sur toute sa longueur.

Je cherche a calculer les réactions aux appuis, les contraintes dans la poutre et la flèche au centre.

Apres avoir écrit les équations de l'équilibre global, et effectuer quelques coupures pour obtenir les efforts aux liaisons et les moments de flexion en fonction de l'abscisse, je n'arrive toujours pas a reduire le nombre d'inconnues pour résoudre le système. Celui-ci étant symétrique j'ai également essayé de résoudre qu'une seule moitié.

Avez vous une astuce pour m'aider a avancer dans ce problème ?

Merci
-----

[Jaunin]

Bonjour, Alexxx85,
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Votre pièce jointe n'étant pas encore validée, je suppose que vous avez mis vos calculs pour que l'on puisse voir ou vous êtes bloqué ? ainsi que le croquis ?
Cordialement.
Jaunin__

[inviteec9a04b1]

je n'est pas mis les calculs, juste le croquis qui represente 3 poutres, une pourte articulée a ses extrémités et de chaque coté une poutre encastré a l'autre extremité.

mes calculs actuel sont les équations d'équilibres statiques, et les equations des efforts dans les liaisons. je suis en train d'essayer de resoudre en utilisant les formule de bresse entre les deux encastrement.

[sitalgo]

B'soir,

je n'est pas mis les calculs,

Dommage, c'est ce que demande Jaunin (Hello !).
On pourra alors te dire à quel endroit tu t'es gaufré dans le caniveau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jaunin]

Bonjour, Alexxx85,
Les points B et C sont des supports ou des liaisons mobiles ?
Cordialement.
Jaunin__

[inviteec9a04b1]

Les points B et C sont des articulations !

J’essaierais d'écrire mes calcul au propre demain pour vous les présenter !

[inviteec9a04b1]

Articulations donc liaisons mobiles désolé pour le double post

[inviteec9a04b1]

Donc pour le moment fléchissant le long de la structure j’obtiens :

Mf(x)=(4L-x)²P/2 + Y_E*(4L-x) + M_E + (3LP+Y_E)L + 3L(LP+Y_E)

Ou Y_E est la reation selon Y au point E de l'encastrement
M_E le moment au point E de l'encastrement
P la charge linéique de la structure

J'ai ensuite appliqué BRESSE entre A et E : intégrale de A a E de (4L-x)Mf(x)/EI = 0

ce qui me donne un M_E assez moche mais au moins j'obtiens quelque chose !

qu'en pensez vous ?

[inviteec9a04b1]

Apres avoir refait les calculs, cette solution ne fonctionne pas, je tombe sur Y_E=0

une idée de mon erreur ?

[sitalgo]

Sans doute mes études sont-elles trop loin, je ne vois pas d'où tu sors cette formule de Mf.
Vu qu'il y a 3 poutres différentes, je vois mal une équation unique pour les 3 tronçons. Es-tu tenu à suivre cette méthode ?
Quant à Bresse, tu viens de me rappeler que ce nom existe en RDM.
C'est un problème très simple à résoudre avec les méthodes classiques.

[inviteec9a04b1]

Aprés quelques lignes de calculs supplémentaire, et après avoir trouvé mon erreur, j'obtiens : Y_E=-12P/7 et M_E=10L²P/7

Mis a part le fait que Y_E soit négatif les résultats me semblent déjà un peut plus correct !

je vais voir ce que me donne le calcul de la flèche

[inviteec9a04b1]

Je ne suis pas tenu de suivre cette méthode, mais je n'ai pas réussi a obtenir de solution avec les méthodes classiques ( coupure ? )

J'obtient Mf en me plaçant a une abscisse x et en faisant la somme des moments a droite du point considéré.

[sitalgo]

Le point E se trouve où (sur un schéma qui va de A à D) ? Je suis largué.

[inviteec9a04b1]

:Oula, méaculpa le point E dont je parle est en fait le point D...

Vraiment désolé

[sitalgo]

Je ne suis pas tenu de suivre cette méthode, mais je n'ai pas réussi a obtenir de solution avec les méthodes classiques ( coupure ? )

Tu as une poutre sur deux appuis au milieu avec charge répartie, de chaque côté tu as une poutre en console avec charge répartie et une charge concentrée au bout. Ca se fait en deux minutes avec les formules toutes faites.

[inviteec9a04b1]

la poutre du milieu est reliée aux deux autres par des articulations style pivots, ce ne sont donc pas des appuis c'est pour ça que je n'arrive pas a résoudre.

[inviteec9a04b1]

En fait, comme le problème est symétrique, j'ai Y_A=Y_D
et l'équation d'équilibre global donne : Y_A+Y_D-4LP=0 soit Y_A=2LP

Et pour le moment : -4P*2L + Y_D*4L + M_D = 0 soit M_D=8LP(1-L)

ce qui simplifie grandement les choses j'aurais du allumer mon cerveau plus tôt

[inviteec9a04b1]

Par contre, est ce que j'ai bien, sur CD Mf(x)=(4L-x)²P/2 + YE(4L-x) + ME ?

et donc si j’intègre ça deux fois, l’obtient la fléché sur cette portion et donc la flèche du point C, ensuite je calcul le moment fléchissant sur la portion BC pour obtenir la flèche sur celle-ci en utilisant les conditions de la portion CD ?

et j'aurais résolu le problème

[sitalgo]

la poutre du milieu est reliée aux deux autres par des articulations style pivots, ce ne sont donc pas des appuis c'est pour ça que je n'arrive pas a résoudre.

Ces articulations ne transmettent donc aucun moment et uniquement une force. Soit tu considères que ça revient à un appui pour BC et tout est simple, soit tu estimes que la déformation entraîne une traction sur l'ensemble de A à D auquel cas tu te retrouves avec un calcul autrement plus compliqué.

Et pour le moment : -4P*2L + YD*4L + MD = 0 soit MD=8LP(1-L)

Donc pour L=1m le moment est nul. Intéressant.

[inviteec9a04b1]

Hum, en effet, j'ai oublié un L, l'équation d'équilibre des moments est en fait : -4LP*2L + YD*4L + 2MD = 0 ce qui avec YD=2PL me donne MD=0 ce qui est juste dans un problème de statique standard.

il y a donc un truc que je comprend pas ... le moment aux encastrement n'est pas censé être nul ? je dois faire une erreur quelque part

[sitalgo]

ce qui avec YD=2PL me donne MD=0 ce qui est juste dans un problème de statique standard.

il y a donc un truc que je comprend pas ... le moment aux encastrement n'est pas censé être nul ? je dois faire une erreur quelque part

C'est en A et D que le moment est maximum. Il est nul en B et C, pour chaque tronçon.

[inviteec9a04b1]

je le sens bien physiquement, et je comprend bien pourquoi le moment est nul en B et C et max en A et D, mais je ne vois pas comment obtenir le moment en A et D

[sitalgo]

l'équation d'équilibre des moments est en fait : -4LP*2L + YD*4L + 2MD = 0 ce qui avec YD=2PL

Au fait, où est passé Ma et pourquoi 2Md?

[inviteec9a04b1]

Hum via la symetrie, j'ai Ma=-Md et en regroupant les deux ça me donne cette expression...
La difficulté viens du calcul des moments aux appuis, mais écrivant les équilibres de chaque poutre, et en faisant une coupure qui ne garde que la partie droite, j'ai réussi a calculer la fleche et le moment flechissant sans utiliser les moments des appuis !

[sitalgo]

Hum via la symetrie, j'ai Ma=-Md et en regroupant les deux ça me donne cette expression...

Donc ce n'est pas -4LP*2L + YD*4L + 2MD = 0 mais MA -4LP*2L + YD*4L + MD = 0 avec Ma=-Md différent de zéro.

La difficulté viens du calcul des moments aux appuis, mais écrivant les équilibres de chaque poutre, et en faisant une coupure qui ne garde que la partie droite, j'ai réussi a calculer la fleche et le moment flechissant sans utiliser les moments des appuis !

Alors tout va bien.

[inviteec9a04b1]

Merci d'avoir suivi mon raisonnement et de m'avoir montrer mes erreurs !

[sitalgo]

De rien.
Mais tu as quoi comme résultat ? Parce que c'est quand même le but de la manoeuvre.

[inviteec9a04b1]

alors pour la flèche sur BC j'obtiens :

EI.Y(x) = -P(L-x)^4/24 + PL(L-x)^3/12 - PL^3.x/54 + PL^3.x/16 - PL^4/3

[sitalgo]

A moins d'une erreur de ma part (je suppose que x part de A) cette formule ne donne pas la même flèche en B et C.

[inviteec9a04b1]

En effet juste une erreur d'écriture, c'est PL^3.x/48 et non PL^3.x/54 et on obtient la meme fleche en B et C, avec x partant de B dans la section BC !