Lagrangien et interactions

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
Nous avons dérivé au cours l'expression de tout tenseur énergie-impulsion d'une théorie dans un espace-temps courbe, ceci en faisant varier l'action (Le lagrangien dépendant explicitement de la métrique) par rapport à la métrique.
Cette façon de faire est la seule rigoureuse -nous a dit notre professeur-, qui permette d'obtenir un tenseur énergie-impulsion conservé de manière covariante, et définit dans un système de coordonnées quelconque.
Nous avons obtenu pour expression:
(Le "L" représente bien la densité lagrangienne malgré qu'il soit en majuscules)
On voit qu'on obtient bien ainsi que le vecteur de Poynting standard pour les autres composantes, si on prend le lagrangien standard de l'électromagnétisme sans sources
Ma question est la suivante : sachant que le lagrangien de la relativité générale s'écrit , qu'en effectuant la variation par rapport à la métrique, on obtient (avec T tel que définit ci-dessus de manière générale), ne peut-on pas obtenir des équations générales (reprenant la relativité générale et l'electromagnetisme) à partir du lagrangien où ?
Ceci avec bien sûr en lumière que le lagrangien de la relativité générale fournit la "2ème loi de Newton gravitationnelle" : dp/dt=mg (par variation de la metrique), alors que le lagrangien de l'électromagnetisme fournit les équations de maxwell (par variation des potentiels) et la force de lorentz (par variation des coordonnées). Je peux bien sûr anticiper "dp/dt=mg+qe+qvB" au premier ordre, mais je voudrais savoir si cette façon de procéder est "catholique" avant de me lancer dans ce calcul...
Je précise que je demande cela dans le cadre de ma recherche à réconcilier la théorie de Nordstrom-Reissner pour la self-energy de l'electron, en vue d'expliquer sur base d'une théorie classique l'effet Meissner comme phénomène réellement "antigravifique" et comme effet du second ordre de cette théorie.
Merci pour vos avis.
-----

[mariposa]

Bonjour.
Nous avons dérivé au cours l'expression de tout tenseur énergie-impulsion d'une théorie dans un espace-temps courbe, ceci en faisant varier l'action (Le lagrangien dépendant explicitement de la métrique) par rapport à la métrique.
Cette façon de faire est la seule rigoureuse -nous a dit notre professeur-, qui permette d'obtenir un tenseur énergie-impulsion conservé de manière covariante, et définit dans un système de coordonnées quelconque.
Nous avons obtenu pour expression:
(Le "L" représente bien la densité lagrangienne malgré qu'il soit en majuscules)
On voit qu'on obtient bien ainsi que le vecteur de Poynting standard pour les autres composantes, si on prend le lagrangien standard de l'électromagnétisme sans sources
Ma question est la suivante : sachant que le lagrangien de la relativité générale s'écrit , qu'en effectuant la variation par rapport à la métrique, on obtient (avec T tel que définit ci-dessus de manière générale), ne peut-on pas obtenir des équations générales (reprenant la relativité générale et l'electromagnetisme) à partir du lagrangien où ?
Ceci avec bien sûr en lumière que le lagrangien de la relativité générale fournit la "2ème loi de Newton gravitationnelle" : dp/dt=mg (par variation de la metrique), alors que le lagrangien de l'électromagnetisme fournit les équations de maxwell (par variation des potentiels) et la force de lorentz (par variation des coordonnées). Je peux bien sûr anticiper "dp/dt=mg+qe+qvB" au premier ordre, mais je voudrais savoir si cette façon de procéder est "catholique" avant de me lancer dans ce calcul...
Je précise que je demande cela dans le cadre de ma recherche à réconcilier la théorie de Nordstrom-Reissner pour la self-energy de l'electron, en vue d'expliquer sur base d'une théorie classique l'effet Meissner comme phénomène réellement "antigravifique" et comme effet du second ordre de cette théorie.
Merci pour vos avis.

Bonjour,


Tu as écris:







Je ne pense que ce Lagrangien électromagnétique soit covariant général. il est seulement covariant de Lorentz. L'expression de la métrique devrait apparaitre dans cette expression. Non?

[AnotherBrick]

Bonjour,

Je ne pense que ce Lagrangien électromagnétique soit covariant général. il est seulement covariant de Lorentz. L'expression de la métrique devrait apparaitre dans cette expression. Non?

la métrique apparaît bien évidemment de manière implicite par les diverses contractions. Cette densité lagrangienne est parfaitement covariante si elle est en facteur du déterminant de la métrique.

"2ème loi de Newton gravitationnelle" : dp/dt=mg (par variation de la metrique),

ce résultat décrit la dynamique d'une particule ponctuelle qui subit la force gravitationnelle. Ton lagrangien doit donc également inclure le terme qui correspond à une telle particule. Tel que tu l'as écrit, est uniquement un courant externe, c'est-à-dire une donnée, pas un résultat (alors que si tu fais les choses proprement avec le lagrangien pour une particule ponctuelle chargée inclus tu pourras arriver en plus des équations d'Einstein et de Maxwell à la 2ème loi de Newton pour une particule chargée et massive, cette particule étant source du courant précédent). Ceci après quelques calculs.

[gatsu]

Bonjour,


Tu as écris:







Je ne pense que ce Lagrangien électromagnétique soit covariant général. il est seulement covariant de Lorentz. L'expression de la métrique devrait apparaitre dans cette expression. Non?

Salut,

Le lagrangien en question est invariant a priori si la somme implicite sur des indices haut et bas est à comprendre comme un produit scalaire.
C'est autre chose que de savoir si les equations du mouvement qui en découlent sont covariantes non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Bonjour,

la métrique apparaît bien évidemment de manière implicite par les diverses contractions. Cette densité lagrangienne est parfaitement covariante si elle est en facteur du déterminant de la métrique.

Bonjour,

C'est par exemple une solution de rajouter le déterminant de la métrique comme pour l'action classique D' Einstein-Hilbert. Mais a -t-on le droit de reconduire ceci mécaniquement pour l'expression de l'action d'un autre champ? C'était le sens de mon objection.

Je prend pour repère l'expression de l'action d'un champ scalaire en espace courbe dans le lequel on retrouve bien la racine du déterminant de g mais en plus la partie de l'énergie cinétique du champ (2 dérivées partielles qui forment un tenseur covariant de rang 2) est "scalairisé" (contractée) par un tenseur métrique contravariant.

Plus généralement lorsque l'on construit un scalaire par contraction de tenseurs il y a plusieurs écritures possibles et bien entendu il n y en a qu 'une seule qui corresponde à l'expérience. Donc dans le cas de l'énergie électromagnétique laquelle est la bonne et pourquoi?

[mariposa]

Salut,

Le lagrangien en question est invariant a priori si la somme implicite sur des indices haut et bas est à comprendre comme un produit scalaire.

C'est la moindre des choses que le lagrangien en question soit invariant (mais invariant sous quelles transformation). Mon interrogation est qu 'il ne suffit pas qu 'il soit invariant de Lorentz des lors qu 'il s'agit d'un espace courbe. Il doit être invariant sous toutes transformations curvilignes.

C'est autre chose que de savoir si les equations du mouvement qui en découlent sont covariantes non ?

Bah non, car le fond de la question est que toutes les équations soient indépendantes de forme vis a vis de toute représentation. Donc si le lagrangien est mal foutu, les équations d'Euler qui en dérivent vont dépendre des représentations, ce qui est pas bien du tout.

[gatsu]

C'est la moindre des choses que le lagrangien en question soit invariant (mais invariant sous quelles transformation). Mon interrogation est qu 'il ne suffit pas qu 'il soit invariant de Lorentz des lors qu 'il s'agit d'un espace courbe. Il doit être invariant sous toutes transformations curvilignes.

A partir du moment où les composantes vérifient le critère de tensorialité par changement de carte (ou est défini comme un tenseur point barre), une contraction entre les composantes contravariantes et covariantes (le passage de l'une à l'autre se faisant implictement par applications du tenseur métrique) d'un même tenseur est indépendant de tout changement de carte.

Bah non, car le fond de la question est que toutes les équations soient indépendantes de forme vis a vis de toute représentation. Donc si le lagrangien est mal foutu, les équations d'Euler qui en dérivent vont dépendre des représentations, ce qui est pas bien du tout.

Oui ok mais il ne me semblait pas évident que l'invariance d'un Lagrangien impliquait forcément la covariance des équations du mouvement.

[mariposa]

A partir du moment où les composantes vérifient le critère de tensorialité par changement de carte (ou est défini comme un tenseur point barre), une contraction entre les composantes contravariantes et covariantes (le passage de l'une à l'autre se faisant implictement par applications du tenseur métrique) d'un même tenseur est indépendant de tout changement de carte.

Bonjour,

Certes mais un problème se pose, comme tu le sais, que lorsque que tu as un champ de vecteurs, de tenseurs (ici comme ) il va falloir opérer l'opération dérivation de ce champ de vecteurs, de tenseurs. Cette opération de dérivation permet de décrire l'évolution d'un tenseur comme dans le voisinage d'un point. Cette opération "physique" nécessite de définir des dérivées covariantes dont le but est de "contourner" le changement de cartes (plus simplement une changement de coordonnées curvilignes). C'est le sens de ma question.

En termes simples si l'espace n'était pas courbe, je n'aurais rien à dire.

[inviteb7558fdc]

Pour répondre simplement à des objections de certains, les symétries du système sont toutes encodées dans le lagrangien, c'est en ce sens que cette formulatoin est plus "puissante" : le lagrangien EM fournit son-seulement les équations de Maxwell et la force de Lorentz, mais donne aussi l'invariance de jauge des photons (ou invariance d'échelle --> trace nulle), ...

Pour mettre les choses au clair:

De plus, le lagrangien étant un scalaire, il est invariant (de lorentz, ou de manière générale), automatiquement les équations du mouvement qui en résultent seront covariantes sous changement de coordonnées général. (il n'y a pas de symétrie ou d'invariance dans les équations qui ne soient pas encodées dans le lagrangien, pour ainsi dire)

Merci pour vos réponses, surtout AnotherBrick.
Je voulais justement faire remarquer que je travaillais dans le cadre de l'explication se la self-energy de l'electron (la renormalisation de la masse aurait-elle une origine electromagnetique classique?). Afin de suivre la proposition de AnotherBrick, je dois travailer avec un lagrangien comportant un terme de Dirac. Je voudrais ne pas faire cela car ce terme a été produit avec des résultats de la mécanique quantique. Je veux ici trouver classiquement la dynamique d'un électron.
donc en effet, le est un terme source extérieur, mais ne peut-on pas travailler uniquement avec le lagrangien libre? LE problème est qu'alor,s je pense qu'on retombe sur le cas de Nordtrom-reissner, pour lequel la masse de l'electron devrait être proche de la masse de Plankr si on impose que la singularité que cette formulatoin engendre, soit masquée.
Donc ma question est simple : (sans source externe, je ne considère QUE l'électron)
Merci pour votre aide.

[mariposa]

Pour répondre simplement à des objections de certains, les symétries du système sont toutes encodées dans le lagrangien, c'est en ce sens que cette formulatoin est plus "puissante" : le lagrangien EM fournit son-seulement les équations de Maxwell et la force de Lorentz, mais donne aussi l'invariance de jauge des photons (ou invariance d'échelle --> trace nulle), ...

Pour mettre les choses au clair:

Oui effectivement. merci.

[mariposa]

Je voulais justement faire remarquer que je travaillais dans le cadre de l'explication se la self-energy de l'electron (la renormalisation de la masse aurait-elle une origine electromagnetique classique?). Afin de suivre la proposition de AnotherBrick, je dois travailer avec un lagrangien comportant un terme de Dirac. Je voudrais ne pas faire cela car ce terme a été produit avec des résultats de la mécanique quantique. Je veux ici trouver classiquement la dynamique d'un électron.

Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Voudrais-tu expliquer la renormalisation de la masse de l'électron en dehors de la TQC?

[inviteb7558fdc]

Bonjour.

Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Voudrais-tu expliquer la renormalisation de la masse de l'électron en dehors de la TQC?

Comme je le disais, Nordstrom et Reissner ont tenté d'expliquer la renormalization de la masse de l'electron par les effets de la gravitation.
Cette théorie a cependant 2 aspects qui la discréditent :
- la composante temporelle de la métrique ne s'annule pas lorsqu'on remplace M et Q par la masse et la charge de l'électron. La singularité en r=0 est donc nue.
- La singularité serait masquée si
Cette masse aurait-elle un lien avec la masse du selectron? (en SUSY)

Je pense qu'ils sont partis du mauvais lagrangien, d'où ma question initiale.
Donc pour répondre à la vôtre, oui, c'est ce que j'aimerais faire...
Ma question est toujours ouverte...quel lagrangien dois-je utiliser pour étudier un électron dans un système de coordonnée quelconque, sans autre source de masse et de charge électrique que lui-même?
Merci pour vos réponses.

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
Je pense qu'ils se sont trompés, car :
- en RG, soit on connait la distribution d'énergie, et on peut calculer la métrique, càd les trajectoires de particules aux alentours de cette distribution (comme la métrique de Schwarzschild). Soit on impose la métrique (comme en cosmologie==>métrique RW) et on calcule la distribution d'énergie correspondante (qu'on vérifie par l'observation).
Le fait est qu'ici, le but est d'obtenir la géodésique d'un électron dont la masse M et la charge Q est responsable de la courbure de l'espace conduisant à la détermination de cette géodésique. Ma question persite donc : quel lagrangien utiliser?
Autre formulation : si on impose que la singularité en r=0 (d'une métrique résultant d'une distribution de masse) soit masquée (comme pour le soleil ou un trou noir), existe-il des géodésiques passant par r=0?
Merci

[inviteb7558fdc]

AnotherBrick a dit:

Ton lagrangien doit donc également inclure le terme qui correspond à une telle particule. Tel que tu l'as écrit, j_mu est uniquement un courant externe, c'est-à-dire une donnée, pas un résultat (alors que si tu fais les choses proprement avec le lagrangien pour une particule ponctuelle chargée inclus tu pourras arriver en plus des équations d'Einstein et de Maxwell à la 2ème loi de Newton pour une particule chargée et massive, cette particule étant source du courant précédent). Ceci après quelques calculs.

Vous parlez bien du lagrangien de Dirac, si cette particule chargée est un électron?
Le problème est que ce lagrangien ne permet pas d'expliquer la renormalisation de la masse de l'électron autrement que par la théorie des perturbations, qui pour moi est l'approximation "à la brute" d'une théorie plus fondamentale. (un peu comme les développements en série de si vous voulez...

[doul11]

Bonjour,

Je ne comprends pas comment tu peut expliquer le remplissage en couches avec m et q qui sont des constantes pour tout les électrons ? tu ne prends pas en compte le spin de l'électron ?

D'un façon générale je ne comprends pas comment on peut expliquer des faits quantiques sans utiliser la théorie quantique ? comment tu modélise la diffraction d'un électron par une double fente avec des géodésique ?

[inviteb7558fdc]

Bonjour,

Je ne comprends pas comment tu peut expliquer le remplissage en couches avec m et q qui sont des constantes pour tout les électrons ? tu ne prends pas en compte le spin de l'électron ?

D'un façon générale je ne comprends pas comment on peut expliquer des faits quantiques sans utiliser la théorie quantique ? comment tu modélise la diffraction d'un électron par une double fente avec des géodésique ?

Doucement, chaque chose en son temps D'abord étudier un électron libre, dans le vide.
Ensuite, ajouter un potentiel coulombien (pour modéliser le noyau), mais ne mettons pas la charrue avant les boeufs
On ne sait pas ce que la dynamique de l'electron libre va donner! (ils y a des solutions aux équations de maxwell qui sont des fonctions d'ondes, non? ) (pareil pour les equations d'einstein et les ondes gravitationnelles)
Ca ne sert à rien d'essayer de montrer qu'une théorie qui n'existe pas est fausse, soyons sérieux...Mais surtout, calculons, n'extrapolons pas! Je parle ici UNIQUEMENT d'un lagrangien pour une particule massive, chargée, dans le vide, en utilisant UNIQUEMENT les équations de la RG et de l'EM (équations classiques)
Personne ne peut m'aider pour ce lagrangien?
Merci.

[inviteb7558fdc]

up.......?

[AnotherBrick]

Bonjour,

Je ne parlais pas du lagrangien de Dirac mais de celui d'une particule classique (sans spin). Regarde la section 17 de cet article qui devrait t'intéresser dans son intégralité.

[inviteb7558fdc]

Bonjour.
Merci pour ces documents...je regarde à ça et je reviens à vous
j'espère que vous repasserez dans le coin!