Equation différentielle

invite705d0470 · 17/02/2012, 16h07

Bonjour, je me doute bien que ce titre est utilisé toutes les 5 discussions, mais bon :/

A la suite de l'étude du mouvement d'un pendule simple (sans frottements), j'aboutis à l'équation différentielle suivante: $\text{[math]}$ .
J'aimerais votre avis: est-elle cohérente (ou peut-elle ressembler à une équation différentielle classique ) ?

Pour vous éclairer, quand même, voilà les hypothèses: dans un référentiel galiléen, on considère un point O fixe, autour duquel oscille horizontalement (sur un axe 0y) un point A selon la loi $\text{[math]}$ . A ce point A on accroche un pendule simple, dont l'extremité est un point M de masse m et de longueur du fil l constante.
Il me faut étudier le mouvement du point M (dans le cas de petites oscillations).

Mais même en approximant, $\text{[math]}$ me semble une équation surprenante, surtout puisqu'on me demande de donner le comportement de M en régime permanent établi !
J'ai exprimé $\text{[math]}$ de deux façons différentes pour trouver l'équation différentielle, et j'ai abouti à l'écriture intermédiaire $\text{[math]}$ (la tension du fil n'intervenant pas).

Je ne souhaite évidemment pas que vous "faisiez le travail à ma place"

(d'ailleurs, j'ai cherché !), mais que vous me donniez un p'tit coup de pouce n'est pas de refus.

Amicalement,

Snowey.

**LPFR** · 17/02/2012, 16h41

Bonjour.
Votre équation est mauvaise. Le pendule a un seul degré de liberté: 'y' ou thêta.
Il faut que votre équation ne contienne qu'une seule des variables (thêta est la meilleure).

L'équation est "pourrie" dans le sens où elle contient thêta et sin(thêta). L'approximation des petits angles permet de remplacer sin(thêta) par thêta, ce qui simplifie bien la vie.
Au revoir.

invite705d0470 · 17/02/2012, 17h07

Tout d'abord, merci d'avoir répondu !

Mais ... équation "pourrie" ? Ahah, pourtant le sinus est souvent là ^^ C'est le cosinus qui me surprend !
Je me fiche de la forme "simplifiée" (que j'ai par ailleurs écrite) qui survient en approximant sinus, cosinus, ...

Et puis y(t) traduit le mouvement du point A (qui intervient dans l'équation !), et non pas du pendule simple. Il est de plus parfaitement défini, je ne comprends donc pas pourquoi c'est lui qui pose problème

invite705d0470 · 17/02/2012, 17h38

je veux donc bien de l'aide

S'il vous plait

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**pepejy** · 17/02/2012, 17h55

bonsoir,

Votre problème ressemble fortement à celui du pendule double. Cherchez donc de ce coté, je pense que vous trouverez votre bonheur, et certainement une équation différentielle plus intéressante et plus facilement linéarisable dans le cas des petites oscillations.

PPJ

**albanxiii** · 17/02/2012, 18h40

Bonjour,

Sans vouloir parler à sa place, je pense que LPFR a zappé le fait que le pendule est accroché au point A qui oscille horizontalement sinusoïsalement avec l'amplitude $\text{[math]}$ .

Swoney, comment avez-vous obtenu l'équation du mouvement ? A votre place, je me placerais dans le référentiel lié au point A, qui est non galliléen, et j'écrirais l'équation du mouvement dans ce référentiel, en tenant compte de la composition des accélérations (accélérations d'entraînement et de Coriolis) et des vitesses. J'ai vu passer un exercice de ce genre il n'y a pas si longtemps et si mes souvenirs sont bons, on obtient une équation différentille typique d'un oscillateur forcé (donc, avec un terme en $\text{[math]}$ au second membre (vérifier quand même le $\text{[math]}$ , mais ça a l'air homogène en tout cas) et que des termes en $\text{[math]}$ et ses dérivées dans le premier membre).

**albanxiii** · 17/02/2012, 18h42

Oops.... j'aurai du écrire "référentiel non intertiel lié au point A"... LPFR va me trucider....

invite705d0470 · 17/02/2012, 19h16

Merci Albanxiii

Hum, c'est aussi ce à quoi je m'attends, étant donné que ces équations différentielles sont facilement exploitables.
Mais seulement voilà, je n'ai pas encore vu la mécanique en repère non galiléen (ou autre ^^).
Il nous est conseillé d'étudier justement la dérivée du moment cinétique en A, et de la relier à autre chose, ce que j'ai essayé de faire (la formule que j'ai trouvée est dans le premier message).
Mais voilà, j'ai du me planter :/

**LPFR** · 17/02/2012, 19h40

Re.
Albanxiii a raison, j'ai sauté le fait que le point A était mobile.
Mais dans la mesure où sa position est connue, il suffit de calculer la force de restitution en fonction de la position de A et de M. Donc, on fait l'approximation de petites amplitudes et on appelle "z" la position horizontale de M; On a donc:
md²z/dt² = k(y - z)
où k est quelque chose comme mg/L (vérifier les signes).
Et on se retrouve avec des oscillations forcées sans amortissement.
A+

**Fanch5629** · 17/02/2012, 19h58

Bonsoir.

Le théorème du moment cinétique en A s'écrit : $\text{[math]}$ (toutes vitesses et dérivations par rapport au référentiel fixe)
Il se déduit par simple transport de O en A du moment cinétique d'une part, et du moment des forces extérieures d'autre part.

@+

invite705d0470 · 17/02/2012, 20h32

J'avais donc juste fait une erreur de signe ! (premier message: j'ai un - devant le produit verctoriel des vitesses).
Bon, c'est un bon point (merci à tous de bien vouloir m'aider, c'est vraiment gentil ^^).

J'ai peut-être fait des erreurs dans mes calculs intermédiaires ?
J'ai trouvé, en utilisant le membre de droite $\text{[math]}$ .
Avec la définition $\text{[math]}$ , je trouve $\text{[math]}$ !

Enfin !

Bonne soirée à tous, et merci beaucoup !

**Fanch5629** · 17/02/2012, 22h59

Re.

Votre équation différentielle $\ddot{\theta }\,+\frac{1}{l}\ddot{y_{A}}cos(\theta )+\frac{g}{l}sin(\theta )=0$ est la bonne.

Elle devient $\text{[math]}$ tous calculs faits.

Le passage aux petits angles est trivial et donne l'équation d'un oscillateur harmonique forcé.
Cette approximation n'est cependant plus valide quand le pendule est excité au voisinage de la résonance.

Cordialement.

PS. Cet exo est traité dans le cours de méca de Pérez par les équations de Lagrange. L'équation différentielle obtenue est bizarrement différente.

invite705d0470 · 18/02/2012, 07h35

Vous êtes mon Dieu

Ma question est surement idiote, mais je suppose que je ne dois pas écrire $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$ , n'est ce pas ?
C'est à dire écrire que pour théta très (très) petit, $\text{[math]}$ , et non pas (comme j'ai pourtant toujours eu à le faire) $\text{[math]}$ ?

Mais je suppose que l'ordre de l'approximation dépend du degré de réalité que l'on veut approcher, n'est ce pas (ici, très faible donc) !

Merci infiniment, je n'aurais jamais cru que quelqu'un prendrait le temps de refaire les calculs (c'est à dire l'exo) pour moi.
C'est incroyablement gentil.

Snowey

PS: ces cours de mécanique de Perez, sont ils bien ? et accessibles ?

**Fanch5629** · 18/02/2012, 09h14

Bonjour.

N’exagérons pas. Je ne suis qu'un modeste amateur.

L'approximation des petits angles ayant pour objectif de linéariser l'équation différentielle au voisinage de la position de repos, il est bien clair qu'il ne faut conserver que le terme de rang le plus bas dans le développement de cosθ. Comme déjà dit, cette linéarisation ne vaut que loin de la résonance et les petites valeurs de y₀/l. Quand ω approche de ω_0,une faible valeur de y₀/l finit pas donner une déviation très importante et un comportement non stationnaire. La simulation numérique montre même un comportement franchement chaotique pour certaines valeurs des paramètres.

Le Pérez de méca (je ne possède que celui-là) couvre pas mal de sujets du programme de licence. Quelques lacunes sans gravité si on fait l'effort de chercher ailleurs ce qui manque. Je le recommande, même s'il est un peu cher.

Cordialement.

invite705d0470 · 18/02/2012, 09h16

Il est donc accessible pour un MPSI ?

Equation différentielle