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conservation energie : symétrie de translation




  1. #1
    membreComplexe12

    conservation energie : symétrie de translation

    bonjour tous,

    pourriez vous me donner la demonstration de la conservation de l'energie à partir de l'invariance en translation ?

    j'ai lu le theoreme de Noether, je comprends l'idée mais je voudrais voir la demonstration de ceci pour en etre convaincu

    merci d'avance pour votre aide

    -----


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  3. #2
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Il faut tout d'abord connaitre le principe variationnel ou le principe de Hamilton ou le principe de moindre action.
    Il faut connaitre ce qu'est l'action.
    Il faut connaitre ce qu'est le Lagrangien.
    Ceci est pour l'aspect mécanique.

    Il faut connaitre ce qu'est un groupe de Lie avec ses générateurs infinitésimaux (c'est pour l'aspect symétrie)

    Si tu connais tout ça, alors on peut commencer à discuter.

  4. #3
    albanxiii

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Bonjour,

    Pour la conservation de l'énergie, c'est l'invariance par translation dans le temps qui intervient !
    L'invariance par translation dans l'espace implique elle la conservation du moment linéaire (quantité de mouvement).

    C'est fait sans la grosse artillerie dans le Landau de mécanique (le tome 1, tout petit), ou alors avec une démonstration du théorème de Noether dans le livre de Gignoux et Silvestre-Brac (Mécanique, de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien).

    Et sinon, dans tout cours de mécanique "analytique" ou lagrangienne ou hamiltonnienne, accessible en 3 clics sur le net.

    Bonne jounrée.
    Not only is it not right, it's not even wrong!


  5. #4
    membreComplexe12

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Merci tous pour votre aide

    on sait qu'il y a conservation de l'energie (c'est un principe que l'on a posé ?) , ça veut donc dire que quelque soit l'hamiltonien que l'on choisit alors on trouvera qu'il est inchangé par translation par le temps ?

    => c'est bien dans ce sens qu'il faut le prendre ?

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Et sinon, dans tout cours de mécanique "analytique" ou lagrangienne ou hamiltonnienne, accessible en 3 clics sur le net.
    Bonne jounrée.
    as tu un exemple s'il te plait de bon cours de meca analytique ? (merci pour les autres références )

  6. #5
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    La loi de conservation doit se vérifier lorsque l'action est extrémale (principe de moindre action).
    C'est à dire lorsque les equations d'Euler-Lagrange sont vérifiées.


    Si X (un champ de vecteur) est un générateur infinitésimal d'un groupe qui laisse invariant le Lagrangien

    alors cette quantité est conservée, c'est la loi de conservation.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Amanuensis

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par 21did21 Voir le message
    on sait qu'il y a conservation de l'energie (c'est un principe que l'on a posé ?) , ça veut donc dire que quelque soit l'hamiltonien que l'on choisit alors on trouvera qu'il est inchangé par translation par le temps ?
    Le principe de conservation de l'énergie s'applique aux systèmes isolés, et hors relativité générale.

    Dire que dans ces conditions il y a conservation de l'énergie est bien équivalent à dire que les formules régissant ces systèmes sont inchangées par une transformation t --> t+T. Autrement, ça se passe pareil que le système soit étudié aujourd'hui ou demain. Ou encore, on se fiche de savoir quelle est l'origine du calendrier
    Dernière modification par Amanuensis ; 23/03/2012 à 17h00.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  9. #7
    mariposa

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Le principe de conservation de l'énergie s'applique aux systèmes isolés, et hors relativité générale.
    Bonjour,

    Pour la conservation de l'énergie il n'est pas nécessaire que le système soit isolé. Il peut-être couplé à un potentiel extérieur quelconque.

    Par contre pour la conservation des moments linéaires et angulaires le système doit être isolé.

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  11. #8
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Bon je vous fais la démo pour une translation dans l'espace.

    Considérons un Lagrangien


    Supposons qu'il existe une translation h qui laisse invariant ce Lagrangien.

    On calcule alors la quantité


    et on obtient



    Donc si h varie, alors mv est constant : la quantité de mouvement mv est conservée.
    Dernière modification par lionelod ; 23/03/2012 à 18h16.

  12. #9
    albanxiii

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Re,

    Le "bon" sens c'est : invariance par translation dans le temps ==> conservation de l'énergie.

    Citation Envoyé par 21did21 Voir le message
    as tu un exemple s'il te plait de bon cours de meca analytique ? (merci pour les autres références )
    Ceux que vous avez trouvé avec Google ne vous conviennent pas ? Que leur reprochez-vous ?

    Bonne soirée.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  13. #10
    albanxiii

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Re,

    Citation Envoyé par lionelod Voir le message
    Bon je vous fais la démo pour une translation dans l'espace.
    [blablabla]
    Il doit manquer quelque chose, ou alors vous racontez n'importe quoi quand vous écrivez :

    Citation Envoyé par lionelod Voir le message
    Il faut tout d'abord connaitre le principe variationnel ou le principe de Hamilton ou le principe de moindre action.
    Il faut connaitre ce qu'est l'action.
    Il faut connaitre ce qu'est le Lagrangien.
    Ceci est pour l'aspect mécanique.

    Il faut connaitre ce qu'est un groupe de Lie avec ses générateurs infinitésimaux (c'est pour l'aspect symétrie)

    Si tu connais tout ça, alors on peut commencer à discuter.
    Bonne soirée.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  14. #11
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Je ne sais pas si les choses sont claires pour tout le monde.

    Ou est la symétrie ?
    Il y a symétrie lorsque quelquechose reste invariant lors d'une transformation.
    Ici, ce qui reste invariant, c'est le Lagrangien.

    Donc la symétrie se traduit par l'invariance du Lagrangien.

    Ou est la conservation??

    L'invariance du Lagrangien + les équations d'Euler-Lagrange est equivalent à la conservation d'une certaine quantité.
    Cette conservation se traduit (mathématiquement) par le fait que la divergence de cette quantité est nulle.

    Cette quantité s'écrit
    L est le Lagrangien, X est la transformation infinitésimale.

    Si X est particularisé à une rotation par exemple, alors les calculs montrent que la quantité conservé est le moment cinétique

  15. #12
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Je pense qu'on pourrait créer un exo niveau 1èreS pour comprendre le théorème.

    L'application se ferait sur la chute des corps (d'une bille en l'occurence).

    On place une bille de masse m à H mètre du sol.

    1. Ecrire le Lagrangien dans un repère "sol"


    2 Calculer le Lagrangien entre 0 et 1seconde puis entre 4 et 5seconde.
    Vérifier que le Lagrangien est invariant.

    3. Placer le repère à 10m du sol,recalculer le Lagrangien dans ce repère.
    Vérifier que le Lagrangien est encore invariant.
    Dernière modification par lionelod ; 24/03/2012 à 08h33.

  16. #13
    albanxiii

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Re,

    Du blabla et aucune réponse aux questions, comme d'hab.... Dès qu'il faut un peu de connaissance opérationnelle (c'est à dire faire autre chose que régurgiter approximativement des trucs vaguement lus...) y'a plus personne.

    Bonne journée.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  17. #14
    membreComplexe12

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    mdr, sacré débat.

    merci en tout cas pour les éléments de réponses

    ps : en relativité général le théorème n'est plus valable

  18. #15
    membreComplexe12

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    en fait dans un cas particulier je comprends mais le théorème de Noether est plus faste qu'un cas particulier et dis que ceci est vrai pour tout Lagrangien ? du coup comment le montrer simplement qu'une invariance de translation est equivalent à une conservation de qqt de mvt ?

  19. #16
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par 21did21 Voir le message

    ps : en relativité général le théorème n'est plus valable
    C'est pour cela qu'il y a deux théorèmes.

    Le deuxième théorème a permis de répondre à la question de la conservation d'énergie en RG.
    Klein et Einstein était dans l'impasse sur cette question jusqu'à ce que Noether y réponde de façon magistrale.

  20. #17
    vaincent

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par 21did21 Voir le message
    en fait dans un cas particulier je comprends mais le théorème de Noether est plus vaste qu'un cas particulier et dis que ceci est vrai pour tout Lagrangien ? du coup comment le montrer simplement qu'une invariance de translation est equivalent à une conservation de qqt de mvt ?
    Tu trouveras ton bonheur ici : Noether's theorem

  21. #18
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par vaincent Voir le message
    Tu trouveras ton bonheur ici : Noether's theorem
    Vaincent, tu ne peux te contenter de donner un lien vers une page wiki... C'est trop facile!
    Tu dois nous dire pourquoi c'est le bonheur!
    Prends le risque de nous dire ce que tu as compris de la lecture de la page wiki.

  22. #19
    Amanuensis

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par lionelod Voir le message
    C'est pour cela qu'il y a deux théorèmes.
    Peut-être utile d'indiquer la différence entre les deux.

    Le premier théorème, celui en général évoqué, s'applique aux cas où le groupe de Lie concerné (celui des symétries invoquées) est de dimension finie. Le théorème parle de quantités conservées, qu'on peut voir comme des équations différentielles simples, dX/dt=0, avec X une expression dérivée du lagrangien et de l'algèbre de Lie du groupe (cf. les messages de Lionelod).

    Le second théorème s'applique aux dimensions infinies, sous certaines conditions. Il implique aussi des équations différentielles intéressantes déduites du lagrangien et du groupe de symétries, mais plus compliquées qu'une simple conservation.

    La RR et la mécanique classique travaillent avec des modèles d'espace-temps dont le groupe de symétrie est de dimension finie (10, dans les deux cas), et un lagrangien possède (entre autres) comme symétries un sous-groupe du groupe des symétries de l'espace-temps. L'énergie est la quantité dérivée du générateur des translations temporelles si celles-ci sont dans le sous-groupe laissant invariant le lagrangien.

    Les modèles d'espace-temps de la RG ont pour symétries un groupe de difféomorphismes, de dimension infinie, ce qui fait qu'on ne peut pas invoquer le premier théorème facilement. Mais le deuxième est applicable.
    Dernière modification par Amanuensis ; 25/03/2012 à 10h35.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  23. #20
    harmonique

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Bonsoirs !

    Le mot le dit , une symétrie de translation, c'est a dire que cette énergie transite vers un autre états, bien souvent par accumulation d'énergie, cette accumulation ayant un seuil, elle subit une transition de phase. ( et ou ) .

    La thermodynamique défffinie asser bien, cette états transformassion des énergies, jamais un énergie ou groupe d'énergies ne peut s'autosuffire, certain trou noir ont mathématiquement cette possibilité, d'ou vien la possibilité q'un trou noir puisse s'associé a un autre ayant la même armonique quantique, créan ainssi un trou de vers viable, mais sa ! c'est un autre histoire.

    Un jours ou l'autre, une symérie énergétique se transforme en assymétrie énergétique.

    Cats . .
    Dernière modification par harmonique ; 25/03/2012 à 10h50.

  24. #21
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Il est vrai que les théorèmes de Noether sont très généraux.
    Certainement parceque le travail de Noether s'est fait en arrière plan de la RG

    Mais disons le tout net.
    Ce qui est présenté comme le 1er théorème de Noether n'est en réalité qu'une particularisation faite par Arnold.

    Mais bon, Arnold, ce n'est pas n'importe qui tout de même!

    Arnold ne considère, on va dire, que le lagrangien suivant:

    à savoir un lagrangien qui ne dépend que des coordonnées q et de leur dérivées première (les vitesses donc).
    C'est largement suffisant pour traiter des problèmes de mécanique classique.

    Et je crois aussi les questions de RR...??

    Mais même le premier théorème est plus géneral que ceci car on peut considérer des lagrangiens dépendant des dérivés n-ièmes.

  25. #22
    vaincent

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par lionelod Voir le message
    Vaincent, tu ne peux te contenter de donner un lien vers une page wiki... C'est trop facile!
    Tu dois nous dire pourquoi c'est le bonheur!
    Prends le risque de nous dire ce que tu as compris de la lecture de la page wiki.
    Ce que j'en ai compris ?? N'importe qui ayant fait un master de physique théorique a fait au moins 1 fois la démonstration du théorème de Noether(et encore ça peut être fait plutôt en licence et en prépa où un cours de mécanique analytique est enseigné suffisament dans le détail). Il n'y a aucune difficulté particulière et vraiment pas grand chose à dire. A chacun de passer assez de temps dessus pour la comprendre et être capable de déterminer un courant conservé.
    Dernière modification par vaincent ; 25/03/2012 à 11h34.

  26. #23
    ordage

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par 21did21 Voir le message
    bonjour tous,

    pourriez vous me donner la demonstration de la conservation de l'energie à partir de l'invariance en translation ?

    j'ai lu le theoreme de Noether, je comprends l'idée mais je voudrais voir la demonstration de ceci pour en etre convaincu

    merci d'avance pour votre aide
    Salut
    Il y a une FAQ tirée de la FAQ de J. Baez

    http://www-cosmosaf.iap.fr/Noether_et_le_Lagrangien.htm

    cordialement

  27. #24
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Vaincent, tu me prends pour une bille ou quoi?

    Alors le théorème de Noether est suffisamment simple pour ne pas en parler.
    Par contre rechercher la page wiki sur le théorème est tellement compliqué pour que tu daignes écrire un message.

  28. #25
    vaincent

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par lionelod Voir le message
    Alors le théorème de Noether est suffisamment simple pour ne pas en parler.
    Par contre rechercher la page wiki sur le théorème est tellement compliqué pour que tu daignes écrire un message.
    21d21 voulait une démonstration(c'est sûr qu'il aurait pu la trouver seul), je la lui donne, comme vient de le faire ordage. Qu'y a-t-il à dire d'autre ? La démonstration (puisque c'est le sujet) ne pose aucun problème conceptuel, c'est purement des maths. Je ne vais certainement pas donner ma façon de voir les choses sur un sujet déjà éprouvé, et d'autant plus puisque 21d21 ne demande pas une explication du théorème mais une démonstration. Tu vois c'est ça ne pas être hors sujet, hors contexte, car chaque nouveau fil n'est certainement pas une nouvelle occasion d'étaler sa science(aussi faible soit-elle).

  29. #26
    Amanuensis

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Sans préjudice de mon opinion sur des messages de sa part dans d'autres discussions, je ne vois pas trop ce qui dans les messages de Lionelod dans ce fil justifie la hargne de certains. Et cette hargne est en train de pourrir ce fil...
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  30. #27
    invite6754323456711
    Invité

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par lionelod Voir le message
    Il est vrai que les théorèmes de Noether sont très généraux.
    La régularité se trouverait ou ? Dans l'action/représentation d'un groupe abstrait et donc une propriété du groupe ou dans l'espace des objets abstraits sur lequel agit le groupe abstrait ?

    Patrick
    Dernière modification par invite6754323456711 ; 25/03/2012 à 14h02.

  31. #28
    lionelod

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Noether se place dans un cadre beaucoup plus général que celui d'Arnold (1er théorème), car elle utilise des variables qui ne sont pas les coordonnées et les vitesses. Mais plutôt des variables indépendantes x_i et des variables dépendantes u, , , ...

    Pour comprendre ce que sont ces variables indépendantes, dans le cadre de la mécanique classique, ce serait le temps t. Il n'y a dans ce cas là qu'une seule variable indépendante.

    Les variables dépendantes sont des variables de champ: coordonnées, vitesse, accélération, etc...

    Il n'y a absolument aucune restriction sur les dimensions et c'est une des forces de ce théorème.

    Ce qui différencie le premier théorème du deuxième est la dimension du groupe.
    Dans le premier cas, le groupe est de dimension finie, dans le second cas il est de dimension infinie.
    Dernière modification par lionelod ; 25/03/2012 à 18h52.

  32. #29
    Amanuensis

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    La régularité se trouverait ou ? Dans l'action/représentation d'un groupe abstrait et donc une propriété du groupe ou dans l'espace des objets abstraits sur lequel agit le groupe abstrait ?
    C'est un peu la même chose, non? La régularité est une propriété de l'espace abstrait, se présentant comme un groupe agissant, groupe dont toute une collection de propriétés sont décrites par le groupe abstrait correspondant. Les théorèmes de Noether utilisent explicitement l'algèbre de Lie du groupe abstrait, algèbre qui se "concrétise" sous forme d'opérateurs infinitésimaux sur l'espace.

    Ceci dit, je rejoindrais là ceux qui disent qu'on s'éloigne trop de la question initiale.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  33. #30
    invite6754323456711
    Invité

    Re : conservation energie : symétrie de translation

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    C'est un peu la même chose, non? La régularité est une propriété de l'espace abstrait,
    Structure Isomorphe à certain ensemble d'applications sur l'espace d'objet abstrait non ?

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Ceci dit, je rejoindrais là ceux qui disent qu'on s'éloigne trop de la question initiale.
    Je ne sais pas le doute m'habite (du peut être à mon degré d'ignorance sur le sujet), ce point interpelle et le lien n'est peut être pas neutre.

    Patrick
    Dernière modification par invite6754323456711 ; 25/03/2012 à 19h43.

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