Déterminer le centre de gravité d'un volume pesant par intégrale

[invite995980d4]

Bonjour,
Je suis en plein DM, et quelque chose m'intrigue.
Pour déterminer le centre de gravité d'un volume, on écrit que le produit vectoriel du vecteur NM par dP est le vecteur nul. Seulement, voila : si j'appelle X, Y et Z les composante du vecteur ON, dans le produit vectoriel je me retrouve à un moment donné avec un produit du vecteur y (composante sur y de ON) par y (le poids de l'élément de volume), ce qui est nul, et m'empêche donc d'avoir une quelconque condition sur Y. Cela voudrait dire qu'il n'y a pas de condition (tout l'axe central, ici vertical, convient en effet) ... mais, dès lors, comment donner la coordonnée sur Y de mon centre de gravité ... ?

J'espère avoir été clair ... :/

Merci pour votre aide ...
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[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Non. Pas clair du tout.
Vous parlez du vecteur NM et ON comme si nous suivions tous vos cours. Ceci est la notation de votre prof, que nous ignorons tous (heureusement).
Et je ne vois pas ce que vient faire un produit vectoriel dans le calcul du centre de gravité.
Au revoir.

[invite995980d4]

Vous avez raison, pardon.
On calcule le centre de poussée N du poids sur volume pesant. Le poids qui s'exerce sur ce volume est la somme des poids des éléments de volume qui le composent. C'est donc l'intégrale sur le volume en question de dP où dP est le poids associé à l'élément de volume.
Pour calculer le centre de poussée, on cherche le point N où le moment est nul. Jusqu'à présent, en cours on écrivait cela comme : l'intégrale sur le volume du produit vectoriel NM, où M est un point quelconque parcourant le volume dans l'intégrale, par le poids de l'élément de volume en M est nul.
CodeCogsEqn(1).gif
Dans ce calcul, si on note X, Y et Z les composantes du vecteur ON (O est l'origine du repère) :
CodeCogsEqn.gif

Dès lors, on voit qu'on n'a plus de condition sur Y.
Cela voudrait dire que tout point d'une droite verticale à préciser est solution de cette équation.
Seulement, le centre de poussée est un point unique ... lequel, puisque nous n'avons aucune condition sur celui-ci ...

Faut-il faire autrement ?
Mon prof, tout comme wikipédia, font ainsi (http://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_...3.A9n.C3.A9ral)

Est-ce plus clair ?

[LPFR]

Re.
Bien sur que l'on peut faire autrement !
Deux cas possibles: la gravité est uniforme et tous les vecteurs dP sont parallèles. C'est le cas le plus courant et dans ce cas le centre de gravité coïncide avec le centre de masses.
Dans ce cas la coordonnée xg du centre de masses est :

Et la même chose pour les autres coordonnées.
Les intégrales s'étendent sur tout l'objet (ou tous les objets)
Quand on ne peut pas supposer que 'g' est constant et que les poids sont parallèles (car rare), alors on a :

Où g_x est la composante en 'x' du vecteur 'g'.
Et même chose pour les autres coordonnées.



Et quand vous dites que wikipedia le fait de la même façon que votre prof, il s'agit de la version française. La version anglaise le fait décemment.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60be3959]

Bonjour,

Dès lors, on voit qu'on n'a plus de condition sur Y.
Cela voudrait dire que tout point d'une droite verticale à préciser est solution de cette équation.
Seulement, le centre de poussée est un point unique ... lequel, puisque nous n'avons aucune condition sur celui-ci ...

Faut-il faire autrement ?
Mon prof, tout comme wikipédia, font ainsi (http://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_...3.A9n.C3.A9ral)

Effectivement, si l'on pousse les calculs jusqu'au bout (en explicitant les composantes de ), on ne retrouve que les 2 formules "habituelles"(en considérant que l'axe Oy est la verticale) :





Cela est dû au fait que le moment du poids est identiquement nul en tout point de la droite portée par , qui ici est selon l'axe Oy. Pour trouver la dernière composante, il suffit de calculer le barycentre du segment de droite (portée par )delimité par l'objet.

Même si cette méthode semble donc "lacunaire", il faut bien avoir conscience qu'elle démontre d'où sont issues les formules exposées par LPFR dans le cas général (champs non-uniforme).
D'ailleurs dans le wiki anglais, ils exposent également cette méthode en faisant référence aux Lectures de Feynman, au paragraphe Centers of gravity , qui semble donc être la seule façon d'obtenir le centre de gravité dans des cas complexes(puisqu'elle généralise sa formulation), comme en astronomie.