La notion d'intervalle d'espace-temps

[Anael66]

Bonjour,
ma question est la suivante: en Relativité Restreinte, peut-on dire qu'entre deux événements quelconques (distincts), il existe toujours un intervalle d'espace-temps, au sens d'un intervalle où espace et temps sont inséparables (par oppo à la méca de Newton)?
Je m'explique: en RR, pour deux événements donnés, on parle d'intervalle "du genre espace" si l'un est dans le cône de lumière de l'autre, sinon on parle d'intervalle "du genre temps" (= les deux événements peuvent être joints par un signal lumineux). Ok. Mais reste une chose: pour deux événements quelconques (distincts, et que l'un des deux soit dans le cône de lumière de l'autre ou pas), les mesures de l'écart spatial et de l'écart temporel sont toujours relatives aux divers Référentiels Inertiels. Seul est absolu l'écart spatio-temporel calculé par la formule de l'invariant. Donc, absolument, il n'existe que des intervalles d'espace-temps. Mon raisonnement est-il rigoureux?
Merci à ceux qui m'aideront.
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[Deedee81]

Salut,

Je ne vois pas de contre indication. Ca m'a l'air correct.

[Amanuensis]

on parle d'intervalle "du genre temps" (= les deux événements peuvent être joints par un signal lumineux).

Cela est potentiellement incorrect. Si on peut joindre deux événements par un signal lumineux (au sens "allant à c") allant directement de l'un à l'autre, alors l'intervalle est "du genre lumière".

Si deux événements sont séparés par un intervalle de genre temps (strictement) alors on peut les joindre par un signal allant de l'un à l'autre, mais le signal ne peut pas aller à c.

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Par ailleurs, je ne comprends pas ce que veut dire :

il existe toujours un intervalle d'espace-temps, au sens d'un intervalle où espace et temps sont inséparables

[Anael66]

Ok pour la correction Amanuensis, et merci.
La formulation que espace et temps sont "inséparables" se trouve dans plusieurs textes d'Einstein, de Gödel, etc, et ma question vise à comprendre cela. Je propose donc ceci: entre deux événements quelconques (distincts), il n'existe jamais un intervalle d'espace absolument parlant, ni un intervalle de temps, mais seult un intervalle d'espace-temps. Certes, pratiquement, je peux dire qu'entre mon écran d'ordi et ma tête, il y a un intervalle d'espace de 50 cm. Mais, d'un point de vue fondamental, pour la Rela Restreinte, c'est inexact. Il faudrait dire un truc comme: entre tel évét lié à mon écran d'ordi et tel évét lié à ma tête, il existe un intervalle d'espace-temps. ... Bon, j'aurais pu trouver un meilleur exemple! Mais celui là a peut-être le mérite de pointer la rupture entre le pdv pratique et le pdv fondamental.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

La formulation que espace et temps sont "inséparables" se trouve dans plusieurs textes d'Einstein, de Gödel, etc, et ma question vise à comprendre cela. Je propose donc ceci: entre deux événements quelconques (distincts), il n'existe jamais un intervalle d'espace absolument parlant, ni un intervalle de temps, mais seult un intervalle d'espace-temps.

J'ai bien peur que ce ne soit pas aussi simple. Je vais essayer de ne pas trop amener de confusion.

Partons dans un sens :

Prenons un tir de pistolet. Il y a un événement "départ" et un événement "arrivée sur la cible". Dans une vision classique on voit ces événements séparés par une distance (entre le tireur et la cible) et une durée (la durée entre le départ et l'arrivée). (Du point de la RR, il s'agit d'un intervalle d'espace-temps de genre temps.)

Mais ça, c'est la vision du tireur. Or la relativité (y compris en classique) nous dit qu'on peut choisir de voir selon d'autres points de vue, tout aussi valablement. Si on prend la vision "de la balle", qu'obtient-on ? La balle n'a pas changé de place par rapport à elle-même, elle a juste vu la cible arriver à grande allure vers elle et la percuter ! Le départ et l'arrivée sont "au même endroit", les deux événements (départ du pistolet vers l'arrière, et percussion de la cible venant de l'avant) sont séparés uniquement par une durée.

Donc déjà en classique, il y a une difficulté ; on ne peut pas dire qu'un intervalle a une composition particulière en distance et durée. Plus exactement, la durée est fixe (en classique) et la distance dépend du point du vue (sauf le cas particulier d'événements simultanés).

Dans l'autre sens :

En RR, si un intervalle (non nul) est de genre temps ou lumière, alors il existe un "point de vue" tel que les deux événements sont "au même endroit" et donc, de ce point de vue, séparés seulement par une durée, séparés seulement dans le temps (sous-entendu, dans le temps particulier défini par le point de vue en question). Il n'existe aucun point de vue permettant de voir les deux événements comme simultanés. Et il existe des tas de points de vue d'où l'intervalle est vu comme partie espace, partie temps.

A contrario, si un intervalle (non nul) est de genre espace, alors il existe un "point de vue" tel que les deux événements sont simultanées, autrement dit seulement séparés dans l'espace (sous-entendu, l'espace particulier défini par le point de vue en question). Il n'existe aucun point de vue permettant de voir les deux événements comme "au même endroit". Et il existe des tas de points de vue d'où l'intervalle est vu comme partie espace, partie temps.

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La non séparation du temps et de l'espace réfère au fait qu'en RR la durée entre deux événements dépend du point de vue, contrairement au cas classique où seule la distance dépend du point de vue.

[Anael66]

Merci pour ta réponse Amanuensis, mais je pense que tu laisses un élément de côté: ok, au point de vue de tel ou tel Référentiel Inertiel, un intervalle du genre temps ou lumière peut être purement temporel, et un intervalle du genre espace peut être purement spatial. Mais ma question porte sur l'absolu si je puis dire, pas sur le pdv de tel ou tel RI. Tu me diras: ça veut rien dire l'absolu en relativité restreinte. Justement, c'est ça qui me semble contestable (quoique je ne sois pas sûr, d'où ma question).
Ce qui m'intrigue est la formule de l'invariant relativiste: si tous les RI trouvent le même espace-temps entre deux évéts quelconques, il est tentant de penser que cette quantité correspond à une réalité absolue (= non relative à tel ou tel RI), qui n'est ni espace ni temps, mais les deux.
D'ailleurs, tu commences toi-même tes raisonnements en disant: "si l'intervalle est du genre temps", "si l'intervalle est du genre espace", etc. Ici, tu parles dans l'absolu, et non au pdv de tel ou tel RI. ... Et après, les dénominations "genre temps" et "genre espace", renvoient à la possibilité que certains RI constatent un intervalle purement temporel et purement spatial. Mais si on reste dans l'absolu, c'est toujours des intervalles d'espace-temps.

[Amanuensis]

L'absolu, c'est le genre de l'intervalle. Un intervalle de genre temps est "absolument" séparé par une durée, un intervalle de genre espace est "absolument" un intervalle séparé par une distance.

C'est les voir comme composés partie espace partie temps qui est relatif.

[Anael66]

A vrai dire, je ne suis pas totalt convaincu par ta réponse, Amanuensis, même si je ne sais pas si mon idée est meilleure.
Ta réponse implique la bizarrerie suivante: absolt parlant, il existerait un intervalle purement temporel entre un évét A et tous les évéts situés dans son cône (passé) de lumière, alors que tous ces évéts ne sont pas au même endroit (certains couples d'évéts ne peuvent être au même endroit pour aucun référentiel)??? Et il existerait un rapport purement spatial entre A et tous les évéts situés hors du cône, alors que certains couples d'évéts hors de cône ne peuvent être simultanés pour aucun référentiel???
Mon idée est donc que les expressions "genre temps", "genre espace" renvoient seult à la causalité entre les évéts: peut-il y avoir causalité (= genre temps) ou pas (genre espace) entre deux évéts. Mais indépendmmt de la causalité, reste le prob de savoir quelle est la nature des intervalles entre évéts indépendmmt des divers référentiels. Ce serait tjs des intervalles d'espace-temps.

[Amanuensis]

A vrai dire, je ne suis pas totalt convaincu par ta réponse, Amanuensis

C'est votre problème. Je n'écris pas pour convaincre qui que ce soit. Pour moi la physique n'est pas un domaine rhétorique, comme la philosophie et autre, cela ne consiste pas à essayer de convaincre. Si le but est le partage de connaissance, je suis partant ; si le but est un débat rhétorique, non.

[Par ailleurs, les abréviations ne sont pas bien considérées, sur ce forum.]

[chaverondier]

A vrai dire, je ne suis pas totalement convaincu par ta réponse, Amanuensis, même si je ne sais pas si mon idée est meilleure.

Une bonne solution pour mieux vous en convaincre est la suivante :
1/ relire très soigneusement ce qu'a écrit Amanuensis,
2/ relire soigneusement les textes non (ou pas trop) vulgarisés expliquant ce qu'est un intervalle de type espace, un intervalle de type lumière et un intervalle de type temps.

Pour mémoire

• Un intervalle de type espace sépare des évènements non causalement reliables (c'est à dire ne pouvant être reliés par une interaction se propageant à vitesse inférieure ou égale à celle de la lumière). C'est (le carré de) la plus longue distance séparant ces deux évènements. C'est aussi (le carré de) la distance séparant ces deux évènements dans tous référentiels inertiels où ils se produisent au même instant.
• Un intervalle de type lumière sépare deux évènements reliables par un signal lumineux. Cet intervalle est nul. Il corrrespond à la durée nulle séparant deux évènements du point de vue d'un "voyageur" (un photon en fait, car un objet doté d'une masse ne peut voyager à la vitesse de la lumière) voyageant d'un évènement à l'autre à la vitesse de la lumière.
• Un intervalle de type temps sépare des évènements causalement reliables. C'est (le carré de) l'intervalle de temps le plus grand possible séparant ces deux évènements. C'est encore le (carré du) temps qui s'écoule entre ces deux évènements dans le référentiel inertiel où ils se produisent au même endroit.

Le signe affecté à l'intervalle (noté ds^2) est (le plus) souvent choisi négatif pour les intervalles de type espace (et donc positif pour les intervalles de type temps).

[Anael66]

Bien d’accord que la science n’est pas une rhétorique, Amanuensis. Mais j’ai dit pourquoi je n’étais pas convaincu par ta réponse en donnant un argument. Après réflexion, je pense que mon idée est conforme à la Relativité Restreinte, et que ça ne contredit pas ce qu’explique Amanuensis. Je la reformule en plus clair :
1) La Relativité Restreinte admet que les événements existent absolument (cad indépendamment du fait d’être observés à partir de tel ou tel référentiel).
2) Elle admet donc que des intervalles entre les événements existent absolument.
3) Eu égard à la causalité entre événements, on peut classer ces intervalles en trois catégories : genre temps (causalité possible), genre lumière (causalité possible limite), genre espace (causalité impossible). Je sais cela et ça ne me pose aucun problème.
4) Mais la théorie permet aussi d’affirmer que tous ces intervalles ont un point commun : ce sont des intervalles d’espace-temps. C’est d’ailleurs comme ça que la théorie les appelle. Et cette affirmation a un sens absolu puisque ces intervalles sont des invariants (= ils sont les mêmes pour tous les référentiels). C’est ce que je veux dire en disant que, selon la théorie, entre tout couple d’événements (distincts), il existe un intervalle d’espace-temps, absolument parlant.
Cela n'est pas trivial: on ne peut pas dire cela chez Newton, pour qui, entre tout couple d’événements (distincts), il existe deux intervalles absolument parlant, et non un seul : un intervalle d’espace et un intervalle de temps (=séparés). On peut donc distinguer l’espace-temps de Newton et l’espace-temps de la Relativité avant même de considérer la causalité (même s’il est intéressant de faire cela évidemment pour distinguer ensuite trois types d’intervalle d’espace-temps).
Désolé si je n’ai pas été clair dans mes premiers messages.
Etes-vous d’accord avec cette analyse ?

[Amanuensis]

ce sont des intervalles d’espace-temps.

C'est quoi un "intervalle d'espace-temps" ? Quelle différence avec "intervalle entre deux événements" ?

Cela n'est pas trivial: on ne peut pas dire cela chez Newton, pour qui, entre tout couple d’événements (distincts), il existe deux intervalles absolument parlant, et non un seul

Non, il n'en existe qu'un. De même définition qu'en RR car on est dans les deux cas en présence d'un espace affine. L'intervalle est l'unique segment de droite qui joint les deux événements, dans les deux cas.

: un intervalle d’espace et un intervalle de temps (=séparés).

Non, il existe deux catégories : intervalle de genre temps, si les deux événements ne sont pas simultanés, et intervalle de genre espace, s'ils sont simultanés.

[Amanuensis]

Pour continuer le parallèle, en espace-temps classique (celui de Leibniz, précisons), un intervalle de genre espace n'est jamais décomposé en temps+espace dans un quelconque référentiel galiléen ; pur espace il est, pur espace il reste. Par contre, un intervalle de genre temps est décomposé en une partie espace et une partie temps dans presque tout les référentiels galiléens. Dans un référentiel, il est seulement temps (dans le référentiel galiléen tel que les deux événements soient colocalisés).

Pour les intervalles de genre temps, l'espace-temps classique et l'espace-temps de Minkowski se comportent pareil. Ce n'est pas le cas pour les intervalles de genre espace. Et il n'y a pas d'intervalle de genre lumière en classique.

En Minkowski, le genre est "codé" dans la pseudo-métrique, ainsi que la "longueur".

En classique il n'y a pas vraiment de métrique. Ce qui s'en rapproche le plus serait : dt² si dt non nul et -dx²-dy²-dz² sinon (le signe n'étant là que pour "coder" la différence). Il s'agit bien d'un invariant. Exprimé comme cela, le résultat encode le genre et la "longueur".

[chaverondier]

Chez Newton,..

Je me permets de développer ma réponse en insistant plus particulièrement sur la structure mathématique d'espace-temps de Galilée. En effet, la question que vous posez sur les intervalles d'espace et de temps est (implicitement) au coeur de pas mal de discussions physiques assez délicates. Elle constitue une bonne base pour éclaicir cetaines incompréhensions (liées à une lecture parfois limitée à des textes de vulgarisation).

Chez Newton, entre deux évènements (distincts) d'un couple d’événements, il existe deux intervalles absolument parlant, et non un seul : un intervalle d’espace et un intervalle de temps (=séparés).

On peut donc distinguer l’espace-temps de Newton et l’espace-temps de la Relativité avant même de considérer la causalité (même s’il est intéressant de faire cela évidemment pour distinguer ensuite trois types d’intervalle d’espace-temps).

Oui, tout à fait (et j'aurais mieux répondu si je vous avais lu plus attentivement).

Tout d'abord, lorsque l'on parle d'espace-temps de Newton on évoque en fait, sans le dire, l'espace-temps de Galilée (voir plus loin les détails sur ce point). Dans l'espace-temps de Galilée, on a deux métriques euclidiennes : une métrique temporelle (1D) et une métrique spatiale (3D). On a donc :

• Une mesure de durée (séparant deux évènements) identique pour tous les observateurs quel que soit le référentiel d'observation.
• Une mesure de distance séparant deux observateurs (au repos dans un même référentiel) identique quel que soit le référentiel d'observation de cette distance.

L'espace-temps de Galilée est bien un espace-temps relativiste, mais, dans cet espace-temps, les interactions se propageant à une vitesse indépendante de leur source le font à vitesse infinie. L'espace-temps de Galilée se réfère donc à une structure géométrique précise. La géométrie de l'espace-temps de Galilée, c'est le groupe de Galilée. Il s'agit de la limite des groupes de Poincaré de paramètre c obtenue en faisant tendre la vitesse maximale c de propagation des interactions vers +00, tout en conservant le principe de relativité (1).

Dans l'espace-temps de Galilée :

• il existe une simultanéité absolue (un feuilletage en feuillets 3D de simultanéité) et, de ce fait, il existe un temps absolu (une métrique temporelle indépendante de l'observateur et une simultanéité absolue). Le temps qui s'écoule entre deux évènements et leur simultanéité ne dépend pas de l'état de mouvement du référentiel inertiel d'observation.
  a
• Il n'existe pas de référentiel privilégié unique (contrairement au cas de l'espace-temps de Schwarzschild ou aux espace-temps de Friedmann-Lemaître)
  a
• Il n'existe pas de référentiel d'immobilité absolue (contrairement au cas de l'espace-temps statique hypertorique ou encore au cas de l'espace-temps d'Aristote)
  a
• Il existe par contre une métrique spatiale absolue. La longueur des objets est indépendante du mouvement des observateurs. On peut faire tourner le mètre d'un observateur au repos dans un référentiel inertiel R1 par rapport à un référentiel inertiel R0 sans que les observateurs de R0 ne constatent de contraction de longueur (quand la règle passe d'une position où elle est perpendiculaire à sa vitesse à une position ou elle est parallèle à cette vitesse).
  a
• De ce fait, si on essaie d'introduire des interactions lumineuses dans l'espace-temps de Galilée, cette absence de contraction de Lorentz permet de mettre en évidence une vitesse absolue en utilisant un interféromètre de Morley Michelson. On entre ainsi en conflit avec le principe de relativité du mouvement propre à cet espace-temps. L'expérience de Morley Michelson a confirmé ce que l'on savait déjà avant cette expérience : l'espace-temps de Galilée (avec sa métrique spatiale absolue se traduisant par une absence de contraction de Lorentz) n'est pas la bonne structure d'espace-temps. Cela découle du fait que le groupe de symétrie caractéristique de la géométrie de cet espace-temps n'est pas le groupe d'invariance des équations de Maxwell (2).
  a
• On notera que "la démonstration d'absence d'éther" attribuée à l'expérience de Morley Michelson dans de nombreux textes de vulgarisation est, au mieux, une façon très maladroite d'exprimer le fait que l'invariance de Lorentz (respectée par les équations de Maxwell) n'est pas compatible avec la structure de groupe caractérisant la géométrie de l'espace-temps de Galilée. Dits en termes plus physiques, le caractère fini de la vitesse d'interactions (telles que la lumière) se propageant à une vitesse c indépendante de celle de leur source est incompatible avec l'absence de contraction de Lorentz quand on change l'état de mouvement de l'objet observé ou de l'observateur.

(1) Attention de ne pas confondre l'espace-temps de Galilée avec l'espace-temps d'Aristote. L'espace-temps d'Aristote permet d'héberger des phénomènes respectant le principe de relativité et la vitesse maximale de propagation c mais n'exige pas le respect du principe de relativité du mouvement par tous les phénomènes physiques sans exception. Cet espace-temps possède un référentiel d'immobilité absolue (ce n'est pas le cas pour l'espace-temps de Galilée). Mathématiquement, l'espace-temps d'Aristote est un cadre mathématique autorisant tous les phénomènes respectant l'invariance relativiste tout en autorisant (pas en nécessitant) d'éventuelles violations de l'invariance de Lorentz.

C'est le cadre mathématique implicitement utilisé dans la "relativité de Lorentz-Poincaré". Il ne s'agit pas d'une "deuxième" (première en fait) théorie de la relativité. Physiquement, c'est la relativité d'Einstein. La distinction repose sur des considérations d'interprétation échappant, à ce jour, à toute possibilité de discrimination expérimentale. En effet, on ne sait pas (à ce jour ?) recueillir d'information sur les effets instantanés produits à distance en réalisant une mesure quantique sur une des particules d'une paire de particules intriquées.

(2) L'espace-temps de Galilée ne supporte pas plus la présence d'interactions lumineuses que l'espace-temps de Minkowski ne supporte la présence d'interactions se propageant à vitesse supraluminique. En particulier, l'espace-temps de Minkowski n'est pas compatible avec l'interprétation dite réaliste de la réduction du paquet d'onde.

Pour autoriser à la fois les phénomènes respectant toutes les invariances relativistes et d'éventuelles interactions instantanées à distance (violant la causalité relativiste), il faut passer dans l'espace-temps d'Aristote. Il s'agit de l'espace-temps dont le groupe de symétrie est le groupe à 7 paramètres intersection du groupe de Galilée et du groupe de Poincaré à 10 paramètres (considérés tous deux comme sous-groupes du groupe affine).

[Amanuensis]

Nota : Ce que B. Chaverondier appelle 'espace-temps de Galilée' est la même chose que ce que j'appelle 'espace-temps de Leibniz'. Il n'y a pas d'appellation officielle, l'important est de distinguer de l'espace-temps de Newton qui ne prend pas en compte la relativité de Galilée (espace absolu).

[chaverondier]

Nota : Ce que Amanuensis appelle 'espace-temps de Newton' est la même chose que ce que j'appelle 'espace-temps d'Aristote'. Cette appellation donnée par Jean Marie SOURIAU dans "Structure dynamique des systèmes mécaniques, une vision symplectique de la physique" ainsi que celle d'espace-temps de Galilée ne sont pas toujours très connues, mais l'important est de bien distinguer l'espace-temps de Galilée (où seules les distances, les durées et la simultanéité sont absolues) de l'espace-temps d'Aristote (où immobilité, distances, durées et simultanéité sont absolus). L'espace-temps d'Aristote possède un référentiel privilégié d'immobilité. Il n'exige pas la relativité (mais autorise les phénomènes physiques qui la respectent).

[Anael66]

Merci pour les réponses détaillées.
Un point d’éclaircissement quand même :
Oui, défini de manière générale, un intervalle d’espace-temps est un intervalle entre deux événements.
Ok, la représentation mathématique de cet intervalle est similaire en physique classique et en Relativité Restreinte : c’est un segment de droite.
Mais la nature physique de cet intervalle n’est pas similaire pour les deux théories : en physique classique, l’intervalle d’espace-temps entre deux événements est une distance absolue et une durée absolue, cad deux réalités physiques distinguables quoique considérées ensemble. Ce n’est pas le cas en Relativité Restreinte : un intervalle d’espace-temps est une réalité physique unique. Evidemment, cette réalité ne correspond à aucune intuition immédiate. C’est, si l’on peut dire, une distance-durée !
Si je comprends bien la remarque de Chaverondier, cela revient à dire : pour l’espace-temps classique, on a deux métriques, l’une spatiale l’autre temporelle. Pour l’espace-temps de la Relativité Restreinte, on a une seule métrique, spatio-temporelle.

Sinon une question :
Si on réserve les formules « intervalle de genre-temps » et « intervalle de genre espace » à la question de savoir s’il peut y avoir causalité (genre temps) ou non (genre espace) entre deux événements, ne doit-on pas dire que, pour l’espace-temps classique (de Galilée et de Newton), il n’existe que des intervalles de genre temps ? Pas de vitesse limite = Une causalité est toujours possible entre deux événements distincts?

[Amanuensis]

Mais la nature physique de cet intervalle n’est pas similaire pour les deux théories : en physique classique, l’intervalle d’espace-temps entre deux événements est une distance absolue et une durée absolue, cad deux réalités physiques distinguables quoique considérées ensemble. Ce n’est pas le cas en Relativité Restreinte

Pourtant si. La différence entre classique et RR est limitée, l'ajout du type nul, et "l'élargissement" du "présent". Et bien sûr le côté "inchangeable" de la partie temps quel que soit le référentiel. Mais, bon, les explications ont été données, inutile de les répéter et de continuer cette discussion. Bye.

[chaverondier]

Evidemment, cette réalité ne correspond à aucune intuition immédiate. C’est, si l’on peut dire, une distance-durée !

Quand l'intervalle séparant deux évènements est de type temps, il s'agit de la durée (le nombre de tic tac d'une light clock) qui s'écoule entre deux évènements dans le référentiel inertiel R0 où ils se produisent au même endroit.

Toujours avec une light clock, mais cette fois en mouvement inertiel (par rapport au référentiel R0 où les deux évènements se produisent au même endroit) on voit très facilement, dans le cadre de la métaphore de l'éther (avec contraction de Lorentz des objets quand on les met en mouvement par rapport à ce milieu supposé), pourquoi le nombre de tic tac est plus petit "entre les deux hyperplans de simultanéité (du référentiel de repos de la light clock "en mouvement") passant par ces deux évènements" (1).

Du point de vue du référentiel où les deux évènements se produisent au même endroit, les tics de la light clock en mouvement sont plus lents (dans le sens d'avance du référentiel), les tacs sont au contraire plus rapides, mais le total dure plus longtemps que le tic tac des horloges du référentiel R0 (quand, bien sûr, on utilise les mesures de temps, les mesures de distance et la simultanéité ayant cours dans R0. Il ne s'agit donc nullement d'une violation de la relativité bien entendu).

Si je comprends bien la remarque de Chaverondier, cela revient à dire : pour l’espace-temps classique, on a deux métriques, l’une spatiale l’autre temporelle. Pour l’espace-temps de la Relativité Restreinte, on a une seule métrique, spatio-temporelle.

Oui, tout à fait. Toutefois, je préfère parler d'espace-temps de Galilée (celui, relativiste, dont la construction mathématique repose sur le groupe de Galilée) ou d'espace-temps d'Aristote (celui, non relativiste, contenant la notion d'immobilité, dont la construction mathématique repose sur le groupe d'Aristote).

Ces deux espace-temps sont classiques tous les deux mais, mathématiquement, ils sont très différents. L'espace-temps d'Aristote est compatible avec les interactions lumineuses et, d'une façon plus générale, avec tous les phénomènes respectant les symétries relativistes (via le groupe de Poincaré de vitesse limite c). L'espace-temps de Galilée, bien que relativiste, ne l'est pas (comme l'a d'ailleurs confirmé l'expérience de Morley Michelson).

Si on réserve les formules « intervalle de genre-temps » et « intervalle de genre espace » à la question de savoir s’il peut y avoir causalité (genre temps) ou non (genre espace) entre deux événements, ne doit-on pas dire que, pour l’espace-temps classique (de Galilée et de Newton), il n’existe que des intervalles de genre temps ? Pas de vitesse limite = Une causalité est toujours possible entre deux événements distincts?

C'est tout à fait ça. C'est précisément pour cela que l'espace-temps d'Aristote (espace-temps que l'on peut aussi voir comme un espace-temps de Minkowski doté d'un référentiel inertiel privilégié, au même titre que l'on peut voir un trajet Marseille-Lyon comme un trajet Marseille-Paris suivi d'un trajet Paris-Lyon) :

• permet d'héberger les phénomènes relativistes,
• possède en même temps une structure causale compatible avec d'éventuelles interactions instantanées à distance (interprétation réaliste de la réduction instantanée du paquet d'onde d'un ensemble spatialement étendu formé de deux particules EPR corrélées par exemple).

La structure causale de l'espace-temps d'Aristote autorise un lien de causalité entre évènements séparés par des intervalles de type espace (le "terrain d'Aristote" autorise la construction d'une "structure relativiste", d'ailleurs unique, permettant de donner, dans cet espace-temps, un sens aux notions d'intervalle de type espace et de type temps du point de vue de la classe des phénomènes respectant toutes les symétries relativistes).

La structure causale de l'espace-temps d'Aristote est donc plus "tolérante" que la structure causale de l'espace-temps de Minkowski. Le référentiel privilégié de l'espace-temps d'Aristote peut alors s'interpréter comme le référentiel quantique privilégié évoqué par John Bell, Valerio Scarani, Antony Valentini ou encore Nicolas Gisin par exemple.

(1) La métaphore de l'éther, avec contraction de la light clock dans le sens de son mouvement, permet de très bien visualiser (et modéliser) ce phénomène de ralentissement du tic tac de la light clock en mouvement (ce n'est bien sûr pas une preuve d'existence d'un tel milieu (2)), mais tout ça s'explique bien mieux avec une animation qu'avec des mots et donne bien sûr les bons résultats. Ce point est bien connu. La Relativité de Lorentz-Poincaré est physiquement et mathématiquement indistingable de la Relativité Restreinte. Elle comporte un référentiel privilégié inobservable qui, en principe donc, ne sert à rien (il suffit pour cela d'admettre que la réduction du paquet d'onde, qu'on observe, n'existe pas).


(2) C'est seulement quelque chose qui montre la commodité de cette image, même si elle a le "défaut" (en est-ce bien un ?) de ne pas respecter la relativité au niveau interprétatif et d'introduire une notion superflue du simple point de vue mathématique et physique (du moins si on s'en tient à ce que l'on sait observer à ce jour et si l'on souhaite rejeter l'interprétation réaliste de la mesure quantique parce qu'on estime que c'est mieux de la rejeter).

[Anael66]

Merci pour les réponses.
J'ai quelques questions supplémentaires pour B. Chaverondier, notamment sur l'espace-temps d'Aristote:
1) Chez Lorentz, la notion d'immobilité absolue a un sens, grâce à la notion d'éther. Idem chez Newton, grâce à la notion d'espace absolu. Pas chez Galilée si j'ai bien compris (qui diffère donc de Newton sur ce point)? Et chez Aristote si, mais sur la base de quoi, du sens commun seulement?
2) Pour l'interprétation de certains phénomènes quantiques, l'intérêt de l'espace-temps d'Aristote serait qu'il admet une immobilité absolue, et donc une simultanéité absolue? Si c'est cela, en quoi est-ce plus intéressant que Lorentz ou même Newton?
Connaissez-vous des choses à lire sur l'espace-temps d'Aristote?
3) Enfin une question à propos de la notion de compatibilité d'un espace-temps aux phénomènes relativistes: on peut dire, me semble-t-il, que l'espace-temps tel que Lorentz le pense est compatible avec ces phénomènes, dès lors qu'on introduit l'idée qu'il se produit certains processus physiques: la contraction des longueurs et le ralentissement des horloges. Idem pour l'espace-temps de Newton. Mais alors, idem pour l'espace-temps de Galilée, à condition d'introduire ces processus et donc de changer la formule de transformation? Sauf si, par définition, on appelle espace-temps de Galilée l'espace-temps qui vérifie la transformation de Galilée.
Dans ce cas, un type d'espace-temps se définirait par la formule de transformation qu'il vérifie (d'où la différence Galilée / Einstein) + par l'interprétation de cette formule (d'où la différence Lorentz / Einstein)?

[chaverondier]

J'ai quelques questions, notamment sur l'espace-temps d'Aristote: 1) Chez Lorentz, la notion d'immobilité absolue a un sens, grâce à la notion d'éther. Idem chez Newton, grâce à la notion d'espace absolu. Pas chez Galilée si j'ai bien compris (qui diffère donc de Newton sur ce point)? Et chez Aristote si, mais sur la base de quoi, du sens commun seulement?

Quand j'évoque l'espace-temps d'Aristote, je n'évoque pas une notion un peu philosophique en relation avec Aristote, mais une construction mathématique basée sur le groupe d'Arsitote, groupe rigoureusement défini par Jean Marie Souriau dans "structure of dynamical systems, a symplectiv view of physiscs" § 13 the principles of symplectiv mechanics, Relativistic mechanics, (13.76)

(13.76) The Galilei group and the Poincaré group are two Lie subgroups of the group of affine transformations of space-time. Thus their intersection G is a Lie subgroup of each of them having as its Lie algebra the intersection of their Lie algebra (theorem (6.34)). In view of the standard abuse of identifying space-time transformations with their matrix representatives, we recommend calling G the Arsitotle group.

L'espace-temps d'Aristote est un espace-temps dont la géométrie est définie par le groupe d'Aristote au même titre que l'espace-temps de Minkowski est un espace-temps dont la géométrie est définie par le groupe de Poincaré. L'espace des phénomènes physiques compatibles avec les symétries propres à l'espace-temps d'Aristote contient donc l'espace des phénomènes physiques compatibles avec les symétries propres à l'espace-temps de Minkowski. En effet, le groupe d'Aristote est un sous groupe (à 7 paramètres) du groupe de Poincaré (à 10 paramètres).

Plus précisément, l'espace-temps d'Aristote est un espace-temps dans lequel sont autorisés à se produire tous les phénomènes physiques respectant la géométrie définie par le groupe d'Aristote (c'est l'invariance des lois de la physiques par les transformations appartenant à ce groupe de symétries) à savoir

• la conservation de l'impulsion (l'invariance par translation spatiale)
• la conservation de l'énergie (l'invariance par translation temporelle)
• la conservation du moment cinétique (l'invariance par rotation spatiale)

L'espace-temps de Minkowski est un espace-temps (plus exigeant en termes de symétries à respecter que l'espace-temps d'Aritote) dans lequel sont autorisés à se produire tous les phénomènes physiques respectant la géométrie définie par le groupe de Poincaré

• la conservation de l'impulsion (l'invariance par translation spatiale)
• la conservation de l'énergie (l'invariance par translation temporelle)
• la conservation du moment cinétique (l'invariance par rotation spatiale)
• le principe de relativité du mouvement (invariance par changement de référentiel inertiel)

2) Pour l'interprétation de certains phénomènes quantiques, l'intérêt de l'espace-temps d'Aristote serait qu'il admet une immobilité absolue, et donc une simultanéité absolue? Si c'est cela, en quoi est-ce plus intéressant que Lorentz ou même Newton ?

La seule raison pour laquelle je me suis intéressé à l'espace-temps d'Aristote (qui s'avère, en fait, au vu de ce que l'on dit de l'espace-temps de Newton, être mathématiquement la même chose que l'espace-temps de Newton) est la suivante :

• L'espace-temps d'Aristote autorise tous les phénomènes physiques respectant l'ensemble des invariances relativistes (il peut donc accueillir tous les phénomènes que nous observons à ce jour).
• Il autorise, aussi, d'éventuelle interactions instantanées à distance en violation de l'invariance de Lorentz (c'est à dire, physiquement, en violation du principe de relativité du mouvement), tout en respectant un principe de causalité : les causes précèdent les effets.

Il s'agit d'un ordre défini au sens de la chronologie universelle existant dans l'espace-temps d'Aristote. Cette chronologie range par ordre temporel croissant les feuillets d'un feuilletage privilégié en feuillets 3D de simultanéité universelle (donc indépendant du mouvement de l'observateur contrairement au cas de l'espace-temps de Minkowski). Ce feuilletage 3D définit, avec le feuilletage 1D associé en feuillets 1D d'immobilité, un référentiel inertiel privilégié de l'espace-temps d'Aristote (alors que, dans l'espace-temps de Minkowski, tous les référentiels inertiels sont équivalents en raison d'une exigence de symétrie supplémentaire : l'invariance de Lorentz modélisant le principe de relativité du mouvement).

Il s'avère que A. Valentini a fait le même constat. Je le cite dans "Hidden Variables and the Large-Scale Structure of Spacetime" http://arxiv.org/abs/quant-ph/0504011v2 Journal reference: "Einstein, Relativity and Absolute Simultaneity", eds. W. L. Craig and Q. Smith (Routledge, London, 2008), pp. 125--155

Note that, in the specific hidden-variables theory given by pilot-wave dynamics, even leaving nonlocality aside, the natural kinematics of the theory is arguably that of Aristotelian spacetime E × E3, with a preferred state of rest [59] A. Valentini, On Galilean and Lorentz invariance in pilot-wave dynamics, Phys. Lett. A 228, 215–222 (1997).

Au départ, on m'avait dit (sur un forum moins sérieux que Futura-science) que l'interprétation réaliste de la réduction du paquet d'onde (donc explicitement non locale, en violation de la Relativité Restreinte au niveau interprétatif) posait de gros problèmes car elle entrait en conflit avec tout modèle mathématique apte à respecter les faits d'observation.

C'est faux. Elle entre en conflit avec le modèle mathématique d'espace-temps le plus contraignant possible (donc le plus prédictif) qui soit compatible avec les faits d'observation. Ce n'est quand même pas la même chose.

Connaissez-vous des choses à lire sur l'espace-temps d'Aristote?

Non. Mais à mon avis ça n'est pas nécessaire. C'est suffisamment simple pour que l'on puisse se contenter de sa définition mathématique.

On peut voir l'espace-temps d'Aristote comme un espace-temps de Minkowski + un référentiel inertiel privilégié (mais c'est un peu comme si on disait qu'un trajet Marseille Lyon, c'est un trajet Marseille Paris suivi d'un trajet Paris Lyon). On peut encore dire que c'est un "espace-temps de Minkowski auquel on a enlevé l'invariance de Lorentz".

3) Enfin une question à propos de la notion de compatibilité d'un espace-temps aux phénomènes relativistes: on peut dire, me semble-t-il, que l'espace-temps tel que Lorentz le pense est compatible avec ces phénomènes, dès lors qu'on introduit l'idée qu'il se produit certains processus physiques: la contraction des longueurs et le ralentissement des horloges. Idem pour l'espace-temps de Newton.

Forcément puisque la modélisation de la Relativité Restreinte dans le cadre de l'espace-temps d'Aristote contient aussi la vision de la Relativité Restreinte par Lorentz et Poincaré dès lors que l'on prète une existence physique au référentiel privilégié (inobservable directement à ce jour) de l'espace-temps d'Aristote ayant servi à la construction. Je rappelle que la relativité de Lorentz et Poincaré est identique mathématiquement et physiquement (à ce jour) à la Relativité Restreinte. La distinction s'effectue au niveau inerprétatif seulement.

Mais alors, idem pour l'espace-temps de Galilée, à condition d'introduire ces processus et donc de changer la formule de transformation? Sauf si, par définition, on appelle espace-temps de Galilée l'espace-temps qui vérifie la transformation de Galilée.

C'est tout à fait ça. L'espace-temps de Galilée est la limite, lorsque c tend vers +00, d'un espace-temps de Minkowski. C'est pour cela que l'espace-temps de Galilée est incompatible avec l'électromagnétisme. La vitesse de la lumière n'est pas infinie.

Dans ce cas, un type d'espace-temps se définirait par la formule de transformation qu'il vérifie (d'où la différence Galilée / Einstein) + par l'interprétation de cette formule (d'où la différence Lorentz / Einstein)?

C'est tout à fait ça. La géométrie d'un espace-temps se définit par son groupe de transformations. L'espace-temps d'Aristote ne comprend (à la base) que le groupe engendré par les rotations spatiales et les translations spatio-temporelles. On peut construire dans cet espace-temps les "rotations hyperboliques spatio-temporelles", c'est à dire les transformations de Lorentz et compléter ainsi le groupe d'Aristote par une extension en faisant le groupe de Poincaré. Cela permet d'héberger, dans l'espace-temps d'Aristote, les phénomènes physiques respectant toutes les invariances relativistes. Ils constituent alors une classe de phénomènes vivant dans l'espace-temps d'Aristote, mais respectant toutes les exigences de symétrie de l'espace-temps de Minkowski. Toutefois, on peut, sans sortir de l'espace-temps d'Aristote, y autoriser aussi des phénomènes physiques (comme la réduction du paquet d'onde interprétée de façon réaliste) violant l'invariance de Lorentz.