Ma question porte sur le fait que je ne comprend pas bien pourquoi il a choisis de dérivé la fonction d'onde une et une seule fois par rapport au temps et deux fois par rapport au temps.
Alors que par exemple, l'équation d'onde standard (d'une corde par exemple) relie les dérivées secondes.
Merci de m'expliquer que j'ai rien compris et que c'est le mieux car...
Pourquoi voudrais-tu que l'eq. de Schrödinger soit une eq. d'onde ?Envoyé par rapasite
)
Salut,
Je crois qu'il a choisi ça car.... ça marchait
La construction initiale fut très empirique. On lui a assez reproché d'avoir sorti ça d'un chapeau de magicien. Il a fini par donner quelques explications.
Quelques justifications physiques (après rapprochement avec les ondes) sont parfois données dans les cours/bouquins. Mais ça reste fort empirique.
L'approche de Feynman est meilleure à mon sens (constructions des états, de leurs relations et.... presque à la fin du cours, on déduit l'équation de Schrödinger qui, malgré les gants mis par Feynman, est à mon avis très solide).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Donc solution en exponentielle imaginaire ce qui rassure. (oscillateur)Pourquoi voudrais-tu que l'eq. de Schrödinger soit une eq. d'onde ?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour,
J'ai lu récemment qu'on peut justifier l'équation de Schrödinger à partir de la mécanique analytique : la mécanique classique est la limite de la macanique quantique sous certains conditions (cf. Landau pour plus de détials) et la limite classique de l'équation de Schrödinger sont les équations de Jacobi-Hamilton : voir par exemple http://www.worldscibooks.com/etextbo...271_chap01.pdf (ou chercher Jacobi Hamilton Schrödinger sur le net).
Mais bon, je ne suis pas historien des sciences et je ne peux pas dire si c'est une justification a posteriori ou la démarche initiale (bien que comme Deedee je penche pour la première).
Bonne soirée.
"Dans la vie, rien n'est à craindre, tout est à comprendre." Marie Curie
tous d’abord merci pour vos réponses,
maintenant pour tous vous dire je me sent pas plus avancé car si on reprend la conjecture de "de broglie" pour les ondes de matière a savoir que La foncion d'onde de matière est égale a une amplitude fois le nombre "e" exposer en I * (kz - wt).(si on prend une particule dans le vide se dirigent dans le sens de l'axe des z avec k le vecteur d'onde, w la fréquence et t le temps).
on peut très bien relier la dérivé n ieme temporelle avec la dérivée q ieme spatiale (q et n deux entier).
d’où ma question précédente, pourquoi avoir choisis cette relation la?
pour avoir une relation valable quelle que soit l’impulsion? (je suis sure que c'est pas la seule possible).
encore merci et bonjour chez vous!
L'équation de Schrödinger ne décrit pas l'évolution des « ondes de matière de De Broglie », ne mélangeons pas tout…
Merci de m'éclairer dans ce cas car pour moi l’équation de Schrödinger est simplement une équation dont les solutions sont des ondes de matière de De Broglie.
Considérons une onde psi
- de pulsation oméga
- d'impulsion k
- de masse nulle
- se propageant à vitesse c = oméga/k de la droite vers la gauche (dans le sens d'écoulement du temps passé-futur)
Sa distribution spatio-temporelle est de la forme
psi(x,t) = psi_0 exp(i k x - i oméga t), on a donc :
dpsi/dt = -i oméga psi et dpsi/dx = i k psi donc
[(1/c²)d²/dt² -d²/dx²] psi = [(oméga/c)² - k²] psi = 0
Il s'agit bien d'une équation de propagation des ondes dans un milieu où les ondes se propagent à la vitesse c : (1/c²)d²/dt² -d²/dx² =0 et la dérivée temporelle y est bien du deuxième ordre. Elle possède une solution se propageant vers la droite et une solution de propageant vers la gauche (ou vers la droite mais dans le sens rétrochrone). Sa résolution en temps demande deux conditions initiales.
Cette même équation d'onde s'écrit aussi, dans sa version obtenue par transformée de Fourier :
(oméga/c)² - k² =0
En utilisant les relations de DE BROGLIE énergie/pulsation et impulsion/vecteur d'onde, E = hbarre oméga et P = hbarre k, la transformée de Fourier de l'équation de propagation des ondes s'écrit
(E/c)² - P² =0
On constate donc que l'invariance relativiste de la pseudo-norme du quadri-vecteur énergie-impulsion est, en fait, une équation de propagation des ondes "cachée" sous la forme obtenue après transformation de Fourier. Elle exprime donc l'invariance de Lorentz des équations de Maxwell régissant la dynamique d’évolution des ondes électromagnétiques.
Dans le cas d'une particule de masse m, cette même invariance relativiste s’écrit :
(E/c)² - P² = (mc)²
L'équation d'onde correspondante est l'équation de Klein Gordon ou encore l'équation de Dirac (de façon un peu moins directe toutefois). Elle consiste, notamment, à considérer que:
l'énergie E = hbarre oméga modélise, en fait, la dérivation par rapport au temps (multipliée par i hbarre)
l'impulsion P = hbarre k modélise, en fait, la dérivation par rapport à l'espace (multipliée par -i hbarre)
L’équation ci-dessus peut s'écrire
E = +/-[(mc²)²+(pc)²]^1/2
Le signe moins correspond, en fait, au sens rétrochrone d'écoulement du temps. Ce sens d'écoulement du temps est parfaitement acceptable à l'échelle microphysique en raison de la symétrie T des équations d'évolution. La suppression de l'option rétrochrone d'écoulement du temps dans cette équation (en ne retenant que la solution d’énergie E positive) revient à plaquer à l'échelle microphysique le sens d'écoulement du temps passé/futur que nous percevons à notre échelle macroscopique et la censure que nous subissons vis à vis d'informations se propageant dans le sens rétrochrone ou entre évènements séparés par des intervalles de type espace (1).
En nous restreignant au sens passé/futur d'écoulement du temps (prise en compte des seules ondes retardées, les ondes rayonnant vers le futur, cf mécanique quantique tome 1 de Claude Cohen Tannoudji complément J III, Propagateur de l'équation de Schrödinger, §2 existence et propriétés d'un propagateur, a existence d'un propagateur) l'équation s'écrit :
E = mc²[1+pc/(mc²)]^(1/2) soit, quand l'impulsion p est petite devant mc (cas non relativiste)
E = mc² + p²/(2m)
En considérant que seules comptent les variations d'énergie (pas de niveau d'énergie absolue comme admis en mécanique quantique, et ce, contrairement aux bases de la Relativité Générale) et en choisissant mc² comme nouveau niveau de référence des énergies, l'équation ci-dessus devient :
E = p²/(2m) c'est à dire la forme classique de l'énergie cinétique de la mécanique Newtonienne
Le passage à l'équation d'onde correspondante (l'équation de Schrödinger) se fait en considérant que l'équation ci-dessus est la transformée de Fourier de l'équation d'onde sous-jacente. On l'obtient en appliquant les relations de DE BROGLIE énergie/pulsation et impulsion/vecteur d'onde, E = hbarre oméga et P = hbarre k, puis en appliquant les relations modélisant la transformation de Fourier de la dérivation temporelle d/dt = -i oméga et de la dérivation spatiale d/dx = i k (avec les conventions de signe habituelles attribuant à l’énergie une valeur positive).
On est donc passé d'une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre en temps demandant deux conditions initiales pour être résolue en temps à une équation du premier ordre en temps demandant une seule condition initiale pour être résolue. Pour cela, on a supprimé la solution d'évolution à rebrousse temps associée à la solution d'énergie négative de l’équation d’invariance relativiste de la pseudo norme du quadri vecteur énergie impulsion. L'équation obtenue modélise donc la censure de l'information que nous subissons à notre échelle quant aux évolutions rétrochrones (2).
On a finalement quelque chose de très similaire au passage de l'optique ondulatoire à l'optique géométrique grâce au principe de Maupertuis de Moindre temps (où le paquet d'onde parcourt le chemin de moindre temps) comme rappelé dans le document attaché au lien fourni par Albanxii.
Dans notre cas, l'action A que l'on minimise (pour trouver le chemin classique d'espace-temps suivi par la particule de masse m) possède le Lagrangien mc² ds/dt (où ds désigne l'incrément de temps propre accumulé par la particule le long d'un chemin donné). La phase d'un chemin Gamma suivi par l'onde de matière est alors proportionnelle à A/hbarre (où A désigne l'action A obtenue par intégration du Lagrangien L = mc²ds/dt le long de ce chemin)
Le chemin classique observé à notre échelle est donc celui le long duquel les différents chemins voisins interfèrent constructivement. Il s’agit du chemin le long duquel la phase A/hbarre de l'onde suivant des chemins voisins reste stationnaire (théorème de la phase stationnaire rappelé dans le mécanique quantique tome 1 de Claude Cohen Tannoudji au chapitre I, §C description quantique d’une particule, 2. forme du paquet d’onde et complément J III Propagateur de l'équation de Schrödinger, §3 Formulation lagrangienne de la mécanique quantique, d Limite classique. Lien avec le principe de Hamilton). La particule suit le trajet de moindre temps propre, celui où ses différentes évolutions « virtuelles » (au sens non accessible à l’observation « directe ») interfèrent constructivement.
Cette compréhension du caractère ondulatoire de l'invariance relativiste de la pseudo-norme du quadri-vecteur énergie impulsion est d'ailleurs à la base de la représentation tensorielle de l'équation de Dirac en présence d'un champ gravitationnel proposée par Mayeul ARMIJON, Two alternative Dirac equations with gravitation, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0702048v3 et reposant sur la donnée d’un référentiel privilégié. En effet, la représentation spinorielle, plus classique et mieux connue, de cette équation donne lieu à des problèmes en présence d'un champ gravitationnel. La transformation de Fock-Weyl de la représentation spinorielle de l’équation de Dirac appliquée pour tenir compte de la présence de la gravitation conduit au non respect du principe d’équivalence propre à la Relativité Générale.
Nota : Gerard ‘t hooft rencontre des difficultés pour obtenir une modélisation déterministe de la mesure quantique. Elles sont liées au fait qu’il est problématique, selon lui, d’obtenir des niveaux d’énergie bornés inférieurement dans une telle approche. Il est tentant de se demander si cette difficulté ne découle pas, précisément, du fait que les niveaux d’énergie ne sont, en fait, pas bornés inférieurement quand on ne censure pas, dans un modèle qui se veut microphysique, l'information inaccessible à l'observateur macroscopique. Mezalor, il n’est plus possible de plaquer à l’échelle microphysique la dissymétrie de l’écoulement du temps observée à notre échelle ?
Bref, l’indéterminisme de la mesure quantique, modélisant les limitations d’accès à l’information à notre échelle macroscopique, est directement lié à l’impossibilité d’échanger des informations classiques entre évènements séparés par des intervalles de type espace (ça c’est bien connu et ça n’est pas un scoop) mais il est tentant de penser qu’il est peut-être aussi à l’origine de la censure d’informations classique qui voyageraient dans le sens rétrochrone (pas de "souvenirs" d'évènements futurs). Cela dit, tout cela n’est pas simple puisque la définition de ce que nous appelons la réalité repose sur ce que nous savons observer. Quand on ne sait pas observer un truc (genre particules qualifiées de virtuelles par exemple) on dit qu’il n’existe pas…Ces raisins sont trop verts…
(1) Censure découlant vraisemblablement de raisons qui finiront bien par s'expliquer clairement, un jour ou l'autre (plutôt l'autre d'ailleurs), par des considérations fortement reliées à la théorie de l'information.
(2) C'est dans cette censure de l'information accessible à l'observateur macroscopique que se cachent (probablement) les nombreux mystères de la mesure quantique. Ses résultats sont observés à une échelle macroscopique où nous recueillons de l'information en faisant des statistiques sur des résultats enregistrés par un appareil de mesure (fournissant des informations classiques donc clonables car robustes vis à vis des actions de lecture et vis à vis des agression de l’environnement, robustesse découlant très directement de l’impossibilité de distinguer des états microphysiques distincts et évolutifs mais en restant confinés dans un même état macroscopique.
Cette limitation d'accès à l'information est vraisemblablement à l'origine de l'émergence d'un sens d'écoulement du temps passé-futur, à une impossibilité d'accéder à des enregistrements d'évènements futurs, à l'impossibilité d'échanges d'information entre évènements séparés par des intervalles de type espace, à la notion d'irréversibilité et de création d'entropie et au mystérieux hasard des résultats de mesure quantique (résultats obtenus à l'issue d'évolutions sensées être régies par une dynamique hamiltonienne, donc sensées être déterministes...Et ça n'est pas le cas).
tout d’abord merci d'avoir pris le temps de répondre , tu viens avec des concepts fort compliquer et des idées sur la mécanique quantique très intéressantes qui font écho avec certaine des miennes.
Maintenant je t'avoue que j'ai l'impression d’entendre un surdoué qui a lu en diagonal un traiter de 200 pages et qui fait un résumer en une page et demi.
Ça manque cruellement de définitions, de mathématique et de lien entre les paragraphes.
Je t'en veut pas et je te critique pas c'est juste que je comprend pas ce que tu dis , ça touche a tous mais cela n'explique rien en détails.
Je t'avoue que je n'ai pas le niveau pour me faire une représentation mentale cohérente de tous ces concepts et les lié d'une telle façon bien que je n’exclus pas la possibilité que ton monde mentale sois cohérent et logique.
Ma question est beaucoup plus simple que cela et je vais essayé d’être plus claire dans mes propos pour que l'on puise se comprendre et non balancer des termes technique de science qui me laisse un électroencéphalogramme plat (encore désolé pour mon niveau médiocre mais c'est comme ca que l'on progresse hehe).
Alors voila ma situation: considération du cas de la particule libre (en absence de potentielle d'interaction).
De Broglie émet une hypothèses dans sa thèse de 1923:Toute particules de matière est une onde ou plutôt un paquet d'onde:
il conjecture que la pulsation de l'onde de matière associée a la particule de masse m et de vitesse v est donnée par son énergie cinétique divisée par h[barre]:
ce qui reviens a dire dans notre cas de particule libre que
il conjecture aussi que le vecteur d'onde k est égale a la quantité de mouvement p divisée par h[barre]:
en utilisant c'est deux conjecture et en supprimant la vitesse on obtient:
Définissons maintenant une onde de matière.Prenons pour cela une fonction d'onde plane se propageant parallèlement a l'axe z:
Maintenant prenons un paquet d'onde :
On voit que
et que
et donc en reliant les deux, on trouve l'équation de Schrödinger pour la particule libre a savoir :
Maintenant ma question est la suivante, pourquoi on calcule pas plutôt
en résumer l'équation de Schrödinger marche bien car on a une proportionnalité entre les deux dérivées spatial et temporelle.
Maintenant on peut sûrement driver k fois par rapport au temps et L fois par rapport a l'espace et trouver une proportion entre les deux qui marche et qui n'est pas pour k et L respectivement 1 et 2.dite moi si l'idée a du sens....
enfin bref je m'emballe...merci a tous.
Tu ne risques pas de trouver tous les points évoqués (explicitement pour certains, implicitement pour d'autres) rassemblés en seulement 200 pages (en plus lues en diagonale !!) et ce que j'ai présenté n'a rien d'un résumé. Ce sont seulement quelques indications répondant à ta question plus quelques indications complémentaires. Elles adressent des aspects reliés à ta question, plus particulièrement la façon dont on peut faire émerger une mécanique ondulatoire sous-jacente d'une mécanique classique régie par un principe de Hamilton (comme l'optique ondulatoire est sous-jacente à l'optique géométrique, le lien entre les "deux" optiques s'effectuant via un principe de moindre action, le principe de Maupertuis : principe selon lequel un paquet d'onde lumineux se propage dans un milieu non homogène selon un principe de moindre temps).
Tout à fait. En une page 1/2, on ne peut pas développer beaucoup plus. Par contre, il est vrai que je me suis appuyé sur ta question pour développer certains points en vue de mieux les comprendre (rien de tel que les expliquer pour ça). Souvent, ce sont seulement des jalons, des points clé que je signale de façon à parcourir du chemin dans un texte de longueur raisonnable. Ceux qui seraient intéressés mais qui ne connaîtraient pas certains des points évoqués ont des mots clé pouvant servir de points d'entrée pour rentrer dans les détails non développés et éventuellement émettre un avis différent ou complémentaire.
Pourtant, mon post évoque largement les modèles ou concepts mathématiques servant à décrire les phénomènes physiques reliés à ta question (équation d'onde, invariance relativiste, énergie, impulsion, quadri-vecteur énergie impulsion, action, Lagrangien, invariance de Lorentz, équations de Maxwell, symétrie T, propagateur de l'équation de Schrödinger, formulation lagrangienne de la mécanique quantique, théorème de la phase stationnaire, principe de Hamilton, représentations spinorielle et tensorielle de l'équation de Dirac, transformation de Fock-Weyl ...). Où est-ce que tu n'en as pas vu ?
Tu noteras par ailleurs, si tu lis en détails ce que j'ai écrit, que ma réponse comprends l'essentiel de la tienne plus pas mal d'informations complémentaires visant à donner du sens physique au modèle mathématique de l'équation d'évolution de la fonction d'onde. En particulier je signale la suppression d'une des deux solutions de l'équation d'onde quand on passe d'une équation d'onde (du deuxième ordre en temps, l'équation de Klein Gordon) à une équation de Schrödinger (du premier ordre en temps, donc déterminée par la donnée d'une seule constante d'intégration au lieu de deux).
Je peux t'assurer que les questions physiques et hypothèses implicites se cachant derrière l'omission volontaire de la solution à énergie négative sont loin d'être triviales. Cet aspect là de ma réponse est très directement relié à ta question sur la perte d'un degré de dérivation par rapport au temps quand on passe de l'équation d'onde (relativiste) de Klein Gordon à l'équation (non relativiste) de Schrödinger.
Cette perte d'un degré de dérivation temporelle entrant dans l'équation d'évolution de la fonction d'onde n'a rien à voir avec le passage du caractère relativiste au caractère non relativiste (l'équation de Dirac est relativiste et pourtant la dérivation temporelle y apparaît au premier degré).
En supprimant les ondes dites avancées pour ne retenir que les ondes dites retardées, elle exprime le plaquage d'un sens d'écoulement irréversible du temps émergeant seulement à l'échelle macroscopique (car sans fuite d'information par création d'entropie induite par la myopie de l'observateur macroscopique les équations d'évolution sont invariantes par renversement du temps) sur un modèle d'évolution sensé être microphysique.
Je soupçonne que ce soit dans cette opération que se cache l'attribution d'un caractère purement statistique à un vecteur d'état qui a tout (par ses propriétés d'interférence) d'une entité objective (cf la discussion sur la réalité de la fonction d'onde et l'article de nature qui évoque l'interprétation dite réaliste du vecteur d'état).
Je serrai ravi de passé une semaine avec toi devant un tableau noir, car mon niveau ne me permet pas (encore) d'aborder tous ces concepts, par exemple je ne sais rien de la deuxième quantification, de l'équation de Dirac relativiste, de Klein Gordon.Quand je dis que ça manque de Mathématique mais je veux plutôt dire que les équations dont tu me parle je les connais pas et je suis a mille lieu de pouvoir les relier a ma question en allant voir sur wikipédia.Ils faudrait que je parle avec toi pendant des semaines avec un bic et une feuille ou que je revienne après avoir beaucoup lu.
A tu des ouvrages a me conseiller (avec les développements mathématique)?
Merci encore
Sur ces points là, je ne maîtrise pas le sujet. Je sais (à peu près) comment obtenir l'équation de Dirac (je trouve l'approche non classique de Mayeul ARMINJON intéressante car plus physique que les approches plus classiques) mais je ne comprends pas en profondeur la physique de cette équation.
Les deux tomes de mécanique quantique de Cohen Tannoudji et le tome de mécanique quantique de Feynman.
Je trouve le Feynman très intéressant mais plus difficile à lire que le Cohen car il oblige à réfléchir en profondeur à la physique de ce qu'on calcule (et parfois il force le lecteur à deviner comment il est passé d'un point à un autre en faisant des raccourcis très intéressants basés sur l'intuition physique).
Pour ce qui est d'un tour d'horizon général de la mécanique analytique, je trouve que les documents proposés par LPFR et signalés dans la bibliothèque virtuelle de physique du forum sont très intéressants car très synthétiques.
Pour la Relativité Générale, le Landau et Lifchitz théorie des champs est pas mal, ainsi que le cours de S.CAROLL Lecture Notes on General Relativity http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9712019 (il ne fait que 238 pages et il est plus digeste que le Landau car moins dense et se limite aux bases). Par contre, je n'ai rien compris à la mécanique quantique telle qu'elle est présentée dans le Landau et j'ai laissé tomber ce volume.
En tout cas, selon moi, la bonne façon d'avancer c'est de lire les ouvrages de base vraiment en détail avant de rentrer en détails sur les aspects de la physique qui sont les plus intrigants, mais dont on subodore qu'ils ne sont pas encore très bien maîtrisés (je pense à la notion d'irréversibilité malgré ses plus de 150 ans d'existence et à la mesure quantique par exemple).
Malgré tout, s'intéresser aux aspects les plus mystérieux de la physique avant de maîtriser les bases n'est pas interdit car ça peut être une source de motivation quand on est curieux et qu'on veut comprendre. Toutefois, les questions de novices sur des sujets difficiles (ou pire encore, difficiles seulement pour les novices) agacent car ce sont toujours les mêmes questions qui reviennent (et tout le monde n'est pas patient).
En fait, il faut avoir le courage et la patience d'acquérir les bases si on veut éviter de faire du sur place en se complaisant dans des considérations épistémologiques ou philosophiques improductives (du moins si on reste cantonné à ça) et qu'on fuit systématiquement toutes les discussions vraiment techniques par paresse.
