Questions sur la transformée de Laplace.

[deyni]

Bonjour,

lorsqu'on a une équation différentiel, on utilise souvent les transformées de Laplace( plutôt que fourier, je ne sais pas, sûrement à cause de la partie imaginaire?).
Mais j'ai des questions:

1)Comment on sait que les fontions appartiennent à L^2?

2) Il y a toujours l'échelon de heaviside qui apparait après résolution. Donc, les fonctions trouvées sont causales. Ce qui ne pose pas de problème si c'est une fonction du temps. Mais si c'est une fonctions d'espace, "est-ce que la moitié de la fonction est ignorée"

3) Comment on sait si on fait une transformée monolatéral ou bilatéral?

Merci.
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[dolan-duck]

Salut,

Une fonction est sommable (au sens de Lebesgue) si l'intégrale sur les réels de son carré converge. Je te conseille de regarder ça -> http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_sommablehttp://.

Pour avoir fait un peu de traitement du signal et d'analyse harmonique des systèmes, je sais que passer de domaine temporel au domaine fréquentiel (par la transformée de Fourier) ou du temporel au complexe (par la transformée de Laplace) est quelque chose de très fréquent.
Par contre, à ma connaissance, je n'ai jamais utilisé de transformée de Laplace pour passer du domaine spatial au domaine complexe (si tu as un exemple, donne le moi stp).
Par contre passer d'un domaine spatial au domaine des vecteurs d'onde par la transformée de Fourier ça se fait beaucoup en physique quantique et physique du solide.

Monolatérale ou Bilatérale, à vrai dire je ne sais pas. Mais je peux te donner des pistes : à mon avis, ça dépend du système.
Puisque comme tu le sais, dans le domaine complexe la réponse Y(p) d'un système à un signal d'entrée X(p) se fait par l’intermédiaire d'un gain complexe G(p) tel que : Y(p)=G(p).X(p) où p est un complexe (opérateur de Laplace).
Or, le calcul de G(p) s'effectue grâce à toute l'artillerie lourde de calcul d'intégrales dans le plan complexe.
Parmi ces outils, il y a le théorème des résidus -> http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...s_r%C3%A9sidus

A mon avis, on choisit donc une transformée (et donc une intégration) mono ou bilatérale suivant les pôles de la fonction complexe à intégrer.

[deyni]

Merci de votre réponse.

Néamoins, lorsqu'on a une equadiff, comment on sait qu'elle appartient à l'espace L^2( espace des carrés intégrable). Une fonction peut verifier une équation différentielle sans pour autant être carré intégrable?

En signal, il n'y a pas trop de problème(mis à part que la transformée de fourier fait apparaitre des fréquences négatives). Pour l'exemple, si on considère une équation différentielle qui presente comme inconnue une position, la résolution effacera alors, tout ce qui est<0.

Dans la pratique, on utilise jamais la transformée bilatéral, ou unilatéral. Mais, une table de fonction usuelle toutes calculées à partir de la trnasformée monolatéral. Pourquoi?

Merci.

[stefjm]

lorsqu'on a une équation différentiel, on utilise souvent les transformées de Laplace( plutôt que fourier, je ne sais pas, sûrement à cause de la partie imaginaire?).

La transformée de Laplace permet d'obtenir le transitoire. (grace à la partie réelle de p)

1)Comment on sait que les fontions appartiennent à L^2?

Pour les conditions sur les fonctions temporelles, j'ai plutôt nulle pour les t négatifs et de classe exponentielle (pour qu'il y ait convergence de la TL)

2) Il y a toujours l'échelon de heaviside qui apparait après résolution. Donc, les fonctions trouvées sont causales. Ce qui ne pose pas de problème si c'est une fonction du temps. Mais si c'est une fonctions d'espace, "est-ce que la moitié de la fonction est ignorée"

Toute la partie pour t négative est remplacée par 0 et en 0, on a la condition limite.

3) Comment on sait si on fait une transformée monolatéral ou bilatéral?

Je n'ai jamais utilisé la bilatérale. Je n'ai pas la moindre idée de ce à quoi elle sert. (En plus, il doit y avoir plus d'ennui de convergence...)

En signal, il n'y a pas trop de problème(mis à part que la transformée de fourier fait apparaitre des fréquences négatives).

Je ne vois pas en quoi c'est un problème de manipuler des fréquences négatives.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[b@z66]

Merci de votre réponse.

Néamoins, lorsqu'on a une equadiff, comment on sait qu'elle appartient à l'espace L^2( espace des carrés intégrable). Une fonction peut verifier une équation différentielle sans pour autant être carré intégrable?

En signal, il n'y a pas trop de problème(mis à part que la transformée de fourier fait apparaitre des fréquences négatives). Pour l'exemple, si on considère une équation différentielle qui presente comme inconnue une position, la résolution effacera alors, tout ce qui est<0.

Dans la pratique, on utilise jamais la transformée bilatéral, ou unilatéral. Mais, une table de fonction usuelle toutes calculées à partir de la trnasformée monolatéral. Pourquoi?

Merci.

Bonne dernière question. Effectivement, toutes les transformées inverses dans une table de transformée inverse de Laplace sont monolatérales(et je dirais même plus, causales) mais cela n'est lié qu'à un choix particulier fait pour que cela soit pratique dans le domaine d'application principal qui est celui de l'automatique(les systèmes causaux sont beaucoup plus concrets). En réalité, comme l'a signalé dolan, le calcul d'une transformée inverse de Laplace se fait en choisissant un contour d'intégration dans le plan complexe et suivant l'emplacement des pôles de la fonction de transfert dans le plan complexe, on peut obtenir des réponses temporelles causales et même anti-causales pour une même fonction de transfert(et en combniant les deux linéairement, on obtient des réponses bilatérales). Un exemple simple est celui d'un circuit stable du premier ordre passe-bas. Tu connais sans doute sa réponse causale convergente mais on peut aussi montrer qu'il posséde une réponse anti-causale divergente en t égal -l'infini.

@stefjm: je vous avais déjà indiquer que la transformée bilatérale de Laplace n'était qu'une généralisation de la monolatérale. Bien à vous.

http://forums.futura-sciences.com/ph...transfert.html

[stefjm]

@stefjm: je vous avais déjà indiquer que la transformée bilatérale de Laplace n'était qu'une généralisation de la monolatérale. Bien à vous.
http://forums.futura-sciences.com/ph...transfert.html

Je n'ai aucun usage pratique de cette transformée bilatérale, ni en commande de procédé (automatique), ni en maths pour la résolution des EDO ou système d'EDO.

[b@z66]

Je n'ai aucun usage pratique de cette transformée bilatérale, ni en commande de procédé (automatique), ni en maths pour la résolution des EDO ou système d'EDO.

Je n'ai jamais dit le contraire mais des exemples d'application étaient donné dans l'article wikipédia de la transformée bilatérale de Laplace que je vous avais mentionné dans cette discussion antérieure.

[stefjm]

Oui, j'avais vu.
Pour moi, cela reste des maths dont l'application m'échappe. (et la philosophie qui va avec)
Si vous avez un exemple éclairant de TL bilatérale qui solutionne facilement un problème, je vous lirai avec plaisir.
Cordialement.

[dolan-duck]

Bonjour à tous,

J'ai déjà utilisé la transformée de Laplace bilatérale pour calculer la fonction de transfert d'un filtre optimal de Wiener (qui permet d'extraire le signal utile d'un signal bruité).
Mais le seul exemple que je connaisse où l'on utilise la transformée bilatérale....
En plus, ce n'est même pas une véritable application puisque le calcul de cette fonction de transfert se fait très bien aussi par transformée de Fourier.

Bonne journée à tous.

[deyni]

Merci de vos réponses.

Cependant, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris.
En revenant sur l'espace L^2. Qu'est ce qui prouve que toute fonction vérifiant une équation différentielle est carré intégrable?

Pour l'échelon il y a un problème, si on étudie le mouvement d'un particule , toute grandeur sera relative à l'abscisse. Donc xi<0( xi est l'abscisse initial) est ignorée.


Pour la transformée bilatéral, on peut penser aux équations intégrales?
Pour votre exemple b@z66, si on choisit un chemin homotope où est le problème? Pour le passe-bas, lorsqu'on a sa fonction de transfert, en variable de laplace, on le passe en variable temporel, l'échelon apparait. Comment on fait pour prouver que sa réponse est divergente en t<0?

[deyni]

Je ne veux pas paraitre "lourd", mais je ne comprends toujours pas.

[dolan-duck]

Salut,

Qu'est ce qui prouve que toute fonction vérifiant une équation différentielle est carré intégrable?

Absolument rien. On fait juste ce que l'on a l'habitude de faire en physique : on essaye de trouver des solutions à nos équations qui soient d'une forme simple et qui décrivent au mieux ce que l'on observe.
Généralement, on choisit pratiquement toujours implicitement des solutions dans L² car ces dernières sont, disons, "physiquement acceptables". En effet, les solutions, (je préfère dire) les signaux qui ne sont pas dans L² ont une énergie moyenne infinie, ce qui n'est pas physiquement acceptable pour une solution décrivant l'évolution du système masse+ressort, par exemple...

Mais il existe des cas où on doit traiter des signaux d'énergie moyenne infinie et on y peut rien (les solutions attendues ne sont alors pas dans L²).
Mais la physique a horreur des infinis, on se débrouille donc pour définir une autre grandeur physique convergente : la puissance moyenne.

[GrisBleu]

En revenant sur l'espace L^2. Qu'est ce qui prouve que toute fonction vérifiant une équation différentielle est carré intégrable?

Bonjour
Comme dit plus haut, on le suppose. Mais en fait, on sous entend plusieurs choses. Je prends l'exemple de Fourier que je connais mieux
+ La fonction est sommable mais ses dérivées aussi. et donc, pour faire simple, autant prendre un ensemble fonction qui vont bien (C infini, convergence rapide). Cet ensemble est dense dans L2, donc tu pourras approcher comme tu veux une fonction à énergie fine (c'est déjà assez physique comme raison). Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_..._sens_usuel.22
+ On travaille directement sur les distributions (où il y a moins de "contraintes")

Pour les TL bilatérales, je crois me rappeler qu'elle pose un problème pour la définition de leur convolution

[deyni]

Rebonjour.

Merci de vos réponses.
En fait, pour l'espace L², c'est les "math à la physicien". Comme le produit de convolution, il y a le matheux:

Si u et v sont deux mesures -finies sur R^d, on appelle produit de convolution de u et v, et on note u*v l'image de la mesure par l'application de dans R^d définie par (x,y) ->x+y

Ainsi, u*v est une mesure de R^d, est donnéé par:


Cas particulier: si u est une mesure finie sur R^d, et f une fonction borélienne sur R^d, Lebesgue-intégrable, et si u admet elle aussi une densité dison g, la fonction f*u, est aussi noté f*g et elle vaut


(cf mon cours de math)

Et celui du physicien(celle que je préfère ^^):
Le produit de convolution de f par g vaut:


En physique toutes les hypothèses sont là.
Donc, est-ce qu'en physique, il y a toutes les hypothèse toujours?

Pour les TL je ne crois pas, je vais chercher un exemple.

Merci.