Equation differentielle et sens physique

[invite44704f8d]

Bonjour
comme l'indique le titre je cherche à connaître le sens physique d'une équation différentielle , je sais que sa peut paraître bête mais vu les lacunes que j'ai en math (à cause de mon non-sérieux vois où j'en suis) , à titre d'exemple quant on utilise formalisme de Lagrenge pour résoudre un système oscillatoire , on se retrouve avec une équation différentielle et physique je comprends pas son réelle sens physique par exemple:
M d²x / dt² + [ (2 cst*Mg)/(n-1)L ] * x = 0 , on vois très bien l'accélération dans l'équation et le déplacement , es que sa voudrai dire que le changement du déplacement implique un changement dans l'accélération ( ce qui voudrai dire un changement dans la vitesse) ?
Merci.
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[albanxiii]

Bonjour,

Je ne le dirais pas comme ça. Un chamgement dans l'accélération se traduirait par l'apparition d'un terme en .
Je dirais plutôt que dans un oscillateur harmonique, la force subie, donc l'accélération, est proportionnelle au déplacement.

Bonne soirée.

ps : il s'agit de Joseph Louis, comte de Lagrange né à Turin le 25 janvier 1736 et mort à Paris le 10 avril 1813.

[invite7399a8aa]

Bonsoir,

Les ED les plus simples rencontrées en physiques sont celles dites linéaires et à coéfficients constants.

En Méca par exemple il faut savoir que

La vitesse est la dérivée première de la position,
l'accélération le dérivée de la vitesse ou la dérivée seconde de la position.

cordialement

Ludwig

[invite44704f8d]

@albanxiii , donc dans le cas , ou dans notre équa. on a en même temps l'accélération , la vitesse te le déplacement , l'accélération est proportionnelle au deux autre variable , c'est bien ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Re,

Dans l'exemple de l'oscillateur harmonique, il n'y a que la position et sa dérivée seconde, soit l'accélération. La vitesse n'apparaît pas dans ce que vous avez écrit. Et ici l'accélération est proportionnelle à la position.

Ce qqe vous dites est pour le moins ambigu : "l'accélération est proportionnelle au deux autre variable". Si on prend en compte un amortissement de type frottement fluide dans un oscillateur, on obtient une équation où apparaîssent l'accélération, la vitesse et la position. Mais l'accélération est proportionnelle à une combinaison linéaire de la vitesse et de l'accélération. Elle n'est pas proportionnelle aux deux (ce qui voudrait dire qu'elle est proportionnelle à leur produit).

Je suis désolé je ne peux pas écrire de formules, ce matin aucune formule en LaTeX du forum ne s'affiche chez moi...

Bonne journée.

[invite44704f8d]

Bonjour et merci pour votre réponse , si seulement vous pouvez m'expliquer le passage suivant

Mais l'accélération est proportionnelle à une combinaison linéaire de la vitesse et de l'accélération.

Et bonne journée.

[invite7399a8aa]

Bonsoir,

Il ne faut pas chercher des proportionalités ou autres machins,

Il suffit de dériver la position pour obtenir la vitesse

Exemple: soit y(t) la position, alors d/dt de y(t) est l'expression de la vitesse v(t) si on dérive une deuxièmme fois on obtient l'accélération.

Le reste c'est bla bla et bla.

Cordialement

Ludwig

[invite44704f8d]

je sais très bien que la dérivé 1ére par rapport au temps de la fonction est la vitesse et la 2éme est l'accélération mais je veux dire quand on a les 2 ou 3 termes dans une même équation sa veut dire quoi , concrètement
Et merci.

[inviteea028771]

Un exemple simple : un ressort

Le ressort, plus tu l'allonges, plus la force de rappel est grande, c'est à dire que l'accélération (dérivée seconde de la position) va dépendre de la position

De même, les frottements de l'air : plus tu va vite, plus les frottements seront élevés, c'est à dire que l'accélération (la force de frottement) dépend de la vitesse

[invite44704f8d]

Oui je comprends très bien cela , on va prendre l'exemple du pendule simple , dans l'équation du mouvement on a la longueur et g , donc son mouvement dépend de ces deux dernière ceci d'une part , de l'autre par on a accélération et le déplacement qui figure dans l'équation et je voudrai avoir leur sens (désole sa m'arrive d'être long à comprendre ) et Merci

[albanxiii]

Bonjour,

A la citation du massage 6, il faut remplacer le mot en gras par position ! désolé, je suis une buse....

Bonne journée.

[obi76]

Bonjour,

lorsque tous les termes (dérivée seconde, première et position) sont dans la même équation, on peut voir ça comme : l'accélération (donc la force) dépend de la position de l'objet, ainsi que sa vitesse. L'itnervention de la dérivée première peut être vu comme un terme d'amortissement, comme des frottements par exemple. Dailleurs, lorsque vous résolvez une EDO du second ordre avec dérivée première, la solution est une oscillation (du au terme de position et d'accélération) fois une exponentielle décroissante (un amortissement) dû au terme du premier ordre.

J'ai trouvé un exemple : une masse accrochée à un ressort dans de l'eau. La force qu'exerce le ressort sur la masse dépend de la position de la masse. Si vous mettez ça en équation, vous avez un terme en dérivée seconde (l'accélération, donc la force / masse) et un terme de position. Les frottements que l'eau va exercer sur la masse dépendent de la vitesse de déplacement de la masse, donc de la dérivée première de sa position. Si vous regardez le mouvement que fais la masse, elle oscille et diminue... Elle oscille à cause du couple accélération et position, elle s'amorti à cause des termes de frottements (dérivée première).

[invite7399a8aa]

je sais très bien que la dérivé 1ére par rapport au temps de la fonction est la vitesse et la 2éme est l'accélération mais je veux dire quand on a les 2 ou 3 termes dans une même équation sa veut dire quoi , concrètement
Et merci.

Bonjour,


ça veut dire que tu écris une équation homogène en dimension,

en mécanique par exemple,

Une Force = une Force + une Force + une Force

= Masse*Accél + frotement visqueux*vitesse + Position*raideur


Cordialement


Ludwig

[invite7399a8aa]

Bonjour,

lorsque tous les termes (dérivée seconde, première et position) sont dans la même équation, on peut voir ça comme : l'accélération (donc la force) dépend de la position de l'objet, ainsi que sa vitesse. L'itnervention de la dérivée première peut être vu comme un terme d'amortissement, comme des frottements par exemple. Dailleurs, lorsque vous résolvez une EDO du second ordre avec dérivée première, la solution est une oscillation (du au terme de position et d'accélération) fois une exponentielle décroissante (un amortissement) dû au terme du premier ordre.

J'ai trouvé un exemple : une masse accrochée à un ressort dans de l'eau. La force qu'exerce le ressort sur la masse dépend de la position de la masse. Si vous mettez ça en équation, vous avez un terme en dérivée seconde (l'accélération, donc la force / masse) et un terme de position. Les frottements que l'eau va exercer sur la masse dépendent de la vitesse de déplacement de la masse, donc de la dérivée première de sa position. Si vous regardez le mouvement que fais la masse, elle oscille et diminue... Elle oscille à cause du couple accélération et position, elle s'amorti à cause des termes de frottements (dérivée première).

Salut,

petite précision,

Quand les pôles sont réels, décomposable en deux solutions distinctes,
Quand les pôles sont complexes conjugés, alors une solution oscillante amortie.
Quand les pôles sont complexes pur, régime oscillant stationnaire (Schrödinger)

Cordialement

Ludwig

[obi76]

Bonjour,

petite précision,

Quand les pôles sont réels, décomposable en deux solutions distinctes,
Quand les pôles sont complexes conjugés, alors une solution oscillante amortie.
Quand les pôles sont complexes pur, régime oscillant stationnaire (Schrödinger)

je sais, mais le sens physique me semblait plus simple à sentir dans le cas particulier que j'ai donné plus haut.

Cordialement,

[stefjm]

Bonjour,
Une autre façon de comprendre l'équation différentielle :
Le signe "=" de l'équation différentielle est équivalent à une contre réaction, donc à une relation contrainte entre les grandeurs.

Si on prend l'exemple du second ordre amorti, en mécanique masse, ressort, amortisseur (ou électrique RLC ou peu importe...) :



Avec
: masse
: coeffecient de frottement fluide de l'amortisseur (Force proportionnelle à la vitesse)
: coefficient de raideur du ressort (Force proportionnelle à la position)
: position
: force extérieure au système

On peut écrire cette équation différentielle issue du principe fondamental de la dynamique sous la forme :


On constate que le signal est obtenu par différence entre la force extérieure et deux termes obtenus par une et deux intégrations de . (Contre réaction et représentation d'état).
Les deux variables d'état sont et . (ie les sorties des intégrations)
est obtenu par "calcul instantanné " (ici principe fondamental de la dynamique)

On peut faire pareil avec des grandeurs électriques (loi de maille ou de nœud à la place du principe fondamental de la dynamique)

Cordialement.

[invite1a85c30c]

Bonjour à tous,

On peut tirer un renseignement d'une équation décrivant l'évolution temporelle d'un phénomène sur le caractère réversible ou irréversible (dans le temps) du phénomène. Pour cela, il suffit de remplacer la variable t par -t.
Ce faisant, si on obtient exactement la même équation, le phénomène est réversible : c'est le cas de l'équation dynamique d'un oscillateur harmonique : par exemple le système masse+ressort.
Dans le cas contraire, le système est irréversible : c'est le cas de l'équation de l'oscillateur harmonique amorti (masse+ressort avec frottement fluide) -> on s'aperçoit donc que c'est le frottement qui est, en général, responsable de l'irréversibilité par dissipation de l'énergie.

Bonne journée!

[stefjm]

Quand les pôles sont réels, décomposable en deux solutions distinctes,
Quand les pôles sont complexes conjugés, alors une solution oscillante amortie.
Quand les pôles sont complexes pur, régime oscillant stationnaire (Schrödinger)

Quand les pôles sont réels et doubles, solution en produit de rampe et d'exponentielle du pôle. ()

La solution générale pour deux pôles distincts et est de la forme

A noté que c'est la partie réelle du pôle qui détermine la stabilité du système.

La symétrie du conjugué complexe donne les réponses en sinus et cosinus réel. (En fait, c'est la somme d'une exponentielle complexe qui tourne dans un sens et d'une autre qui tourne dans l'autre.) (Merci Michel mmy)
Lorsqu'on retrouve cette symétrie sur la partie réelle, on s'empresse en général d'anuler la partie divergente (réputée non physique) en anulant la constante correspondante.

Bonjour à tous,

On peut tirer un renseignement d'une équation décrivant l'évolution temporelle d'un phénomène sur le caractère réversible ou irréversible (dans le temps) du phénomène. Pour cela, il suffit de remplacer la variable t par -t.
Ce faisant, si on obtient exactement la même équation, le phénomène est réversible : c'est le cas de l'équation dynamique d'un oscillateur harmonique : par exemple le système masse+ressort.
Dans le cas contraire, le système est irréversible : c'est le cas de l'équation de l'oscillateur harmonique amorti (masse+ressort avec frottement fluide) -> on s'aperçoit donc que c'est le frottement qui est, en général, responsable de l'irréversibilité par dissipation de l'énergie.

Bonne journée!

On peut également voir la même chose sur l'analyse fréquentielle :

Le terme en p^2 ou w^2 ne change pas sous changement de signe de la pulsation alors que celui en p ou w change.
Le terme en p est le terme d'amortissement ou d'amplification.

Cordialement.

[invite7399a8aa]

Lorsqu'on retrouve cette symétrie sur la partie réelle, on s'empresse en général d'anuler la partie divergente (réputée non physique) en anulant la constante correspondante.

Salut,

T'es sur de ce que tu avances ???
Explique moi ça ???


Cordialement


Ludwig

[stefjm]

T'es sur de ce que tu avances ???
Explique moi ça ???

Oh oui, j'en suis sûr.
Par exemple pour les ondes :
On ne garde que la partie qui s'amortit et non celle qui s'amplifie.

Ca pose d'ailleurs un problème en physique : zéro n'étant pas une mesure valide, on multiplie par un pouillème et le produit avec l'exponentielle explosive finira par faire un truc non négligeable! (Pas de problème en maths : 0.n'importe quoi =0)

@+

[invite7399a8aa]

Salut,

Pour ce qui me concerne, j'aurai tendance à dire que si la partie réelle passe plus, alors on se retrouve dans le cas du générateur, c.a.d. physiquement parlant, on libère de l'énergie me semble t'il?
Si on suit à la trace l'évolution des pôles, d'abord 2 pôles réels négatifs, puis doubles négatifs, puis complexes conjugués partie réelle négative, puis complexes pur, puis une non linéarité de commutation (Rotation des pôles de 180° sur l'axe imaginaire, NL de commutation) puis complexes conjugués avec partie réelle positive, puis 2 pôles doubles réels positifs, puis 2 pôles réels positifs.

Sauf erreur de ma part, je crois bien ne semble t'il que c'est la dessus que Feynman et autres se sont appuyés pour l'introduction des opérateurs de création et d'hanihilation dans QED (à vérifier)



Cordialement

Ludwig