Calcul de trajectoire bille aimant et équation différentielle qui me dépasse

[invitec562a72d]

Bonjour chers physiciens,

Imaginons que j'ai une minuscule bille d'acier qui se dirige vers un aimant ponctuel. On supposera la trajectoire rectiligne, on ne s'intéresse que à la partie du mouvement qui précède le choc.

------o-------X
t=0 ->
d0
v0

à t=0 la bille a une vitesse -v0 en direction de l'aimant, et elle est à distance d0 de cet aimant

soit d(t) la distance de la bille à l'aimant.

L'accélération à un instant t causée par la force magnétique est en : -K/d(t)^2

Si on modélise tout ça et si je ne me trompe pas on aboutit à une joyeuse equation différentielle dont je n'ai aucune idée de la résolution:

d(t) = d0 - v0.t -

et Je veux pouvoir caculer le temps que va mettre la bille pour atteindre une distance d1 < d0. en sachant que la bille est à une distance trop proche de l'aimant pour considérer l'accélération comme constante.

Quelqu'un sait-il comment je peux m'en sortir ?

En vous remerciant par avance ( c'est pour une modélisation informatique )
-----

[gatsu]

Bonjour chers physiciens,

Imaginons que j'ai une minuscule bille d'acier qui se dirige vers un aimant ponctuel. On supposera la trajectoire rectiligne, on ne s'intéresse que à la partie du mouvement qui précède le choc.

------o-------X
t=0 ->
d0
v0

à t=0 la bille a une vitesse -v0 en direction de l'aimant, et elle est à distance d0 de cet aimant

soit d(t) la distance de la bille à l'aimant.

L'accélération à un instant t causée par la force magnétique est en : -K/d(t)^2

Si on modélise tout ça et si je ne me trompe pas on aboutit à une joyeuse equation différentielle dont je n'ai aucune idée de la résolution:

d(t) = d0 - v0.t -

et Je veux pouvoir caculer le temps que va mettre la bille pour atteindre une distance d1 < d0. en sachant que la bille est à une distance trop proche de l'aimant pour considérer l'accélération comme constante.

Quelqu'un sait-il comment je peux m'en sortir ?

En vous remerciant par avance ( c'est pour une modélisation informatique )

Salut,

Si l'accélération magnétique est telle que tu l'indiques alors la seconde loi de Newton dit que :



où est l'accélération (i.e. la dérivée seconde de la position par rapport au temps).
Je ne suis pas expert en équations non linéaires donc si il y a une solution triviale à cette équation, elle ne me saute pas aux yeux.

Une chose qui est envisageable est le début du mouvement. Pour cela on peut décomposer la distance , l'équation devient


On peut utiliser le développement en série


Le premier ordre, permet de connaitre le début du mouvement et correspond à la solution d'une équation linéaire :

avec la condition initiale et .

On peut ensuite peut être essayer de résoudre perturbativement cette équation en réinjectant la solution au premier ordre et voir quelle est la correction du deuxième ordre et ainsi de suite.

Après...on peut toujours intégrer ça numériquement...

[lucas.gautheron]

Bonjour,

Je n'ai pas de réponse précise à vous proposer mais votre problème est similaire à celui d'une chute libre d'un corps dans un champ de pesanteur non uniforme (ici avec vitesse initiale, colinéaire à la force), évoqué assez récemment sur ce forum (je vous laisse faire une recherche)
En gros (pour poser le problème d'une façon peut être plus claire) : l'équation différentielle à résoudre est :

(je précise que d'après ta notation)

S'il s'agit d'une modélisation informatique, vous pouvez résoudre ce problème de façon approchée par intégration numérique.
Le faire vous aidera aussi peut être à le résoudre analytiquement (si c'est possible, cf. le sujet dont je vous ai parlé)

A+,

EDIT : correctement grillé par gatsu..

[lucas.gautheron]

Bon j'ai fait l'intégration numérique avec 3 cas différents : une vitesse initiale nulle, une vitesse initiale intermédiaire et une vitesse 10 fois plus grande.
Ci joint les graphes correspondant (je ne sais pas ça peut servir et j'espère qu'ils seront affichés dans l'ordre)
(désolé pour le doublon)

A+,

EDIT : le titre du graphique est généré automatiquement donc pas très adapté

[A voir en vidéo sur Futura]

[Magnétar]

Bonjour,

Il y a une solution analytique à cette équation, pour la trouver il suffit de multiplier l'équation par la dérivée première de d, puis de faire séparation de variable. Mais la honnêtement j'ai pas envie de faire le calcul détaillé. En fait le même calcul se trouve ici (pas les mêmes notations mais la même équation) : mouvement rectiligne non uniformément accéléré.

[gatsu]

Bonjour,

Il y a une solution analytique à cette équation, pour la trouver il suffit de multiplier l'équation par la dérivée première de d, puis de faire séparation de variable. Mais la honnêtement j'ai pas envie de faire le calcul détaillé. En fait le même calcul se trouve ici (pas les mêmes notations mais la même équation) : mouvement rectiligne non uniformément accéléré.

Effectivement on peut trouver une relation analytique intégrale entre le temps et une intégrale sur la position dans le cas général d'un champ généré par un potentiel. Ca s'appelle soit "la méthode de l'énergie" ou "résolution par quadrature" ou encore "résolution par intégrale première". La question est de savoir si cette relation peut conduire à une résultat explicite pour la position en fonction du temps.

En effet, si on suit ce que tu dis on obtient tout simplement la conservation de l'énergie Ec+ Ep = E, il s'en suit qu'à un signe près on a un truc du genre :



Si je ne me suis pas trompé, on peut calculer l'intégrale en intégrant par parties et on a (à des erreurs de signe près) :



Voilà...et maintenant bon courage pour inverser.

[invitec562a72d]

Merci beaucoup à tous pour ces éléments, vos réponses ont été tres formatrices,

L'expression de t en fonction de la distance est parfait pour moi : c'est précisément ce dont j'ai besoin ( savoir le temps d'arrivée en un point ), je vais vérifier les calculs pour les signes.

pour l'anecdote c'est pour une détection de collision dans un moteur physique temps réel, donc le calcul doit etre rapide et l'integrale numérique aurait été trop gourmande en cpu.

J'ai pas compris cependant comment on passe de la conservation de l'énergie E = Ec + Ep (piste que j'avais également envisagé de mon coté ) à une integrale sur le temps... je vois bien comment on trouve l'expression de la vitesse en fonction de la distance avec cette loi, mais ensuite j'arrive pas à intuiter pourquoi le temps est l'integrale de la vitesse sur la distance ( désolé c'est dans doute trivial mais je bloque )

[lucas.gautheron]

Bonjour,

Merci beaucoup à tous pour ces éléments, vos réponses ont été tres formatrices,

L'expression de t en fonction de la distance est parfait pour moi : c'est précisément ce dont j'ai besoin ( savoir le temps d'arrivée en un point ), je vais vérifier les calculs pour les signes.

pour l'anecdote c'est pour une détection de collision dans un moteur physique temps réel, donc le calcul doit etre rapide et l'integrale numérique aurait été trop gourmande en cpu.

J'ai pas compris cependant comment on passe de la conservation de l'énergie E = Ec + Ep (piste que j'avais également envisagé de mon coté ) à une integrale sur le temps... je vois bien comment on trouve l'expression de la vitesse en fonction de la distance avec cette loi, mais ensuite j'arrive pas à intuiter pourquoi le temps est l'integrale de la vitesse sur la distance ( désolé c'est dans doute trivial mais je bloque )

J'imagine que gastu vous recommande de partir de cette expression :

Puis d'isoler dt, et enfin d'intégrer... Mais je ne trouve pas le même résultat que gatsu (qui ne me parait pas homogène par ailleurs). J'obtiens de mon côté :



A+,

[gatsu]

Puis d'isoler dt, et enfin d'intégrer... Mais je ne trouve pas le même résultat que gatsu (qui ne me parait pas homogène par ailleurs). J'obtiens de mon côté :

Il me manque un facteur 2 en effet. Pour les histoires d'homogéneité, j'ai utilisé le fait que K était directement associé à l'accéleration et donc je n'ai pas la masse qui se ballade dans le problème. En conséquence de quoi le E que j'ai introduit n'est pas une énergie à proprement parlé mais l'énergie divisée par la masse.

[lucas.gautheron]

Il me manque un facteur 2 en effet. Pour les histoires d'homogéneité, j'ai utilisé le fait que K était directement associé à l'accéleration et donc je n'ai pas la masse qui se ballade dans le problème. En conséquence de quoi le E que j'ai introduit n'est pas une énergie à proprement parlé mais l'énergie divisée par la masse.

Oui, mais je le précise parce que je n'ai pas l'habitude de parler d'énergies massiques

A+,