théorème de gauss contre-exemple genant

[superbebe]

Bonjour,

après avoir "vu" le théorème de gauss en cours, je n'ai pu m’empêcher d'essayer de l'appliquer a des cas... limites hors-limite... dont le cas qui suit qui est, purement virtuel:
Considérons l'espace chargé uniformément de charge volumique constante. L'étude des symétries donne considérons n'importe quelle surface fermée non vide. or Absurde.

Un calcul direct (long et fastidieux sans logiciel adapté) donne bien le cas n'est donc pas problématique, mais comment appliquer honnêtement le théorème de gauss quand on en connaît un contre exemple et qu'on ignore la nature de la famille des contre exemples?

Merci de votre aide...


Bonne soirée.
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[phys4]

Le théorème de Gauss a une limitation contraignante simple : il ne faut pas avoir de charges à l'infini.

Il faut noter que des charges à l'infini sont permises à condition que la surface considérée puisse envelopper complétement la charge à l'infini.
Exemples : un fil chargé infini entouré d'un cylindre lui aussi infini, le théorème est applicable sur le cylindre.

Un plan chargé infini est entouré par deux plans parallèles.

En réalité le théorème reste applicable le cas que vous avez choisi, le champ réel n'est pas nul, c'est le théorème des symétries qui est faux.

[LPFR]

Bonjour.
Effectivement, ce sont les symétries qui foirent.
Si on vient à plus basique que le théorème de Gauss: les équations de Maxwell, on voit que div E = rhô/epsz.
Comme rhô n'est pas nul, la divergence n'est pas nulle. Donc, le champ n'est pas nul.
Avec des charges à l'infini, il faut se méfier de tout.
Au revoir.

[superbebe]

Merci beaucoup de votre éclairage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je ne sais pas trop ce que veut dire que "le théorème des symétries qui est faux" ou autre.

Qu'une équation soit symétrique n'impose pas que la solution le soit. Elle impose seulement que l'ensemble des solutions ait (au minimum) la symétrie de l'équation. C'est le seul "théorème de symétrie" que je vois applicable ici (et qui a été mal appliqué dans le raisonnement du message #1).

Ici, soit l'ensemble des solutions est vide, soit il est infini (non compris l'addition d'une constante) puisque E constant n'est pas solution.

[superbebe]

Par raisonnement de symétrie j’entendais:
tout plan passant par M (point quelconque de l'espace) est un plan de symétrie de la distribution de charge, le champ E est donc compris dans tout plan passant par M... donc est le vecteur nul.

Si j'interprète correctement le message de LFPR, le champ E existe et n'est pas nul (i.e les raisonnements de symétrie sont vrais dans le cas général... sauf quand on a des charges a l'infini, là il faut réfléchir). Les Équations de maxwell permettent de 'traiter le cas' (cela dit, je doute fort qu'elles donnent une direction au champ E en un point de l'espace...)

[obi76]

En fait ce qui peut paraitre contre-intuitif, c'est de penser que vu que les charges sont à l'infini, leur influence sur un point que l'on regarde est nulle, vu que l'interaction électrostatique dépend de 1/r². Seulement voilà, des charges qui ont une influence quasi-nulle, il y en a une infinité...

[Amanuensis]

Par raisonnement de symétrie j’entendais:
tout plan passant par M (point quelconque de l'espace) est un plan de symétrie de la distribution de charge, le champ E est donc compris dans tout plan passant par M... donc est le vecteur nul.

Ce raisonnement est faux, c'est ce que j'indiquais. Il n'est correct que si on a démontré auparavant qu'il y avait une et une seule solution. S'il y a plusieurs solutions, on ne peut conclure que sur la symétrie de l'ensemble des solutions.

L'exemple classique est comment relier avec un total de longueurs de ligne le plus court les 4 coins d'un carré. Un raisonnement comme vous le faites amène à penser que la symétrie de la solution sera celle du carré ; ce n'est pas le cas, il y a deux solutions à 90° l'une de l'autre, chacune avec la symétrie du rectangle.

L'équation à résoudre est div E = constante ; comme E dérive d'un potentiel, c'est une équation de Poisson pour le potentiel (http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Poisson).

le champ E existe

Il faudrait le démontrer.

(i.e les raisonnements de symétrie sont vrais dans le cas général... sauf quand on a des charges a l'infini

Pas correct ; le principe de symétrie tel que je l'indique est toujours applicable. Ce serait plutôt (à vérifier) : en l'absence de charges à l'infini il y a une seule solution (à une constante près) de l'équation différentielle div E = une répartition de charges données sur R3 (cf. la page sur l'équation de Poisson). Auquel cas, il y a une solution qui a, par application du principe, la symétrie de la répartition des charges. Avec des charges à l'infini, faut d'abord s'occuper du nombre de solutions, 0, 1 ou plusieurs.

Les Équations de maxwell permettent de 'traiter le cas' (cela dit, je doute fort qu'elles donnent une direction au champ E en un point de l'espace...)

S'il y a des solutions, chaque solution donnera une direction de E en un point de l'espace donné !

Comme E est défini seulement à une constante près alors, s'il existe une solution, pour tout point P et tout vecteur u il existe une solution telle que E vaille u en P (ce qui fait que le principe de symétrie de l'ensemble des solutions n'est pas contredit par la direction de E en un point). (Note : dans le cas usuel, sans charge à l'infini, la convention est le choix E nul à l'infini).

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Bref, pour votre question originelle : le théorème de Gauss s'applique toujours. C'est la définition de E qui pose problème quand il y a des charges à l'infini.

Notons que la pluralité de solutions pour E n'est pas nécessairement un problème en physique. Suffit que tous les phénomènes observables soient décrits de manière identique par chaque solution. C'est ce qu'on appelle une symétrie de jauge, et c'est très courant.

[Amanuensis]

En fait ce qui peut paraitre contre-intuitif, c'est de penser que vu que les charges sont à l'infini, leur influence sur un point que l'on regarde est nulle, vu que l'interaction électrostatique dépend de 1/r². Seulement voilà, des charges qui ont une influence quasi-nulle, il y en a une infinité...

Cela ne suffit pas, en toute généralité, pour rendre non nulle l'influence. C'est le cas soulevé par la question #1, mais si cette infinité de charges à l'infini se trouve seulement dans un plan (par exemple), l'influence est nulle.

Ici les charges sur une "sphère épaissie" de rayon r et d'épaisseur dr donne un total proportionnel à r²dr, ce qui donne une influence proportionnelle à dr dans la région du centre, qui ne s'annule pas quand r tend vers l'infini.

[LPFR]

Bonjour.
E n'est pas défini "à une constante près". Il est défini comme le rapport entre la force et la charge (limite, etc.).
C'est "le" potentiel qui n'existe pas. Seule la différence de potentiel entre deux endroits est définie.
Et c'est avec la supposition que le potentiel est nul à l'infini (à condition qu'il n'y ait pas de charges à l'infini) que les gens parlent sans précautions "du" potentiel.
Au revoir.

[Amanuensis]

Bonjour.
E n'est pas défini "à une constante près".

En tant que solution de div E = répartition de charges données, et pas d'autres conditions, si. (Pour le cas usuel, c'est indiqué dans mon message, suffit de lire.)

"le" potentiel qui n'existe pas. Seule la différence de potentiel entre deux endroits est définie.
Et c'est avec la supposition que le potentiel est nul à l'infini (à condition qu'il n'y ait pas de charges à l'infini) que les gens parlent sans précautions "du" potentiel.

Certes, mais cela n'a rien à voir avec le problème.

[LPFR]

Re.
Pour un physicien, les grandeurs physiques ne sont pas définies comme les solutions d'une équation. Mais comme le résultat d'une mesure.
A+

[stefjm]

En tant que solution de div E = répartition de charges données, et pas d'autres conditions, si.

Hello,
J'en veux encore un peu à une de mes anciennes prof de physique qui annulait sans explications autres que l'évidence physique, ces p*t**n de constantes mathématiques. Ça m'énervait grâve à l'époque.
J'ai quand même réussi tous mes concours en anonant de façon identique le truc!

Et puis plus tard, j'ai compris que pour des raisons de symétrie évidente, le vent était toujours nul aux pôles.

[Amanuensis]

Re.
Pour un physicien, les grandeurs physiques ne sont pas définies comme les solutions d'une équation. Mais comme le résultat d'une mesure.
A+

Certes, certes !

Mais si je prends les conditions proposées dans le message #1, je ne sais pas faire l'expérience ni les mesures.

Alors de deux choses l'une :

- soit on répond au questionneur "votre question n'a pas de sens physique", et fin de la discussion ;

- soit on explore les aspects mathématiques du modèle poussé "à des cas... limites hors-limite...", comme l'exprime le questionneur même. (Ce qui n'empêche pas, une fois l'exploration faite, de réfléchir au sens physique du modèle.)

Je poursuis la seconde voie. Si vous estimez, ce qui semble être le cas vu vos "objections", que la première voie est celle qu'on doit suivre sur ce forum, suffit de le dire, j'obéirai.

[LPFR]

Re.
@Amanuensis:
Je ne vous demande pas d'obéir. Vos opinions ne m'intéressent pas.
Nous avions convenu de ne plus discuter ensemble et je ne réponds pas à vos interventions même quand je suis en total désaccord.
Mais dans ce cas une limite a été dépassée qui risquait de nuire au foriste qui a posé la question s'il croyait en votre affirmation sur E défini à une constante près.
C'est pour lui que je suis intervenu. Pas pour polémiquer.
A+

[Amanuensis]

Si vous ne polémiquez pas, il ne devrait pas y avoir de problème avec ce que j'ai écrit, qui est entièrement factuel.

Et de mon point de vue, je réponds au foriste (peut-être pas assez simplement, mais je fais ce que je peux). Sa demande est bien ce qu'il se passe "aux limites".

Si vous avez une expression de E pour le cas limite proposé, ce serait une réponse audit foriste.

Ce que j'exprime est que l'équation div E= constante non nulle pose un problème difficile. D'après MissPacMan (échanges privés) cette équation n'a pas de solution sur R3 si on impose la condition aux limites usuelle (1) E tend vers 0 à l'infini.

La question de fond que pose le foriste est très intéressante. On ne peut pas empêcher une petite partie des élèves en physique de se poser des questions de ce genre. Un sujet intéressant est comment on y répond, et la voie que j'ai choisie me semble une approche valable.


(1) Implicite trop souvent dans les explications des profs, comment le souligne stefjm.

[obi76]

Bonjour,

ce type d'équation a effectivement une dépendance aux conditions limites, mais quelle condition limite voulez-vous mettre s'ils se trouvent à l'infini ? Charge nulle ? C'est faux. Charge non nulle ? On ne peut pas connaitre la condition limite.

Les conditions limites ne sont pas un argument permettant de conclure à l'introduction d'une constante dans le système...

[stefjm]

Re.
@Amanuensis:
Je ne vous demande pas d'obéir. Vos opinions ne m'intéressent pas.
Nous avions convenu de ne plus discuter ensemble et je ne réponds pas à vos interventions même quand je suis en total désaccord.
Mais dans ce cas une limite a été dépassée qui risquait de nuire au foriste qui a posé la question s'il croyait en votre affirmation sur E défini à une constante près.
C'est pour lui que je suis intervenu. Pas pour polémiquer.
A+

Bonjour,
Je ne vois aucune intention de polémique dans l'intervention d'Amanuensis.
Il a clairement précisé le cadre.

En tant que naïf, je me permet de souligner les mauvaises relation qu'il y a entre les maths et la physique, surtout dans l'enseignement jusqu'à L3. (prépa incluses)
D'un coté, quand vous avez une vitesse obtenue par intégration, vous insistez beaucoup pour ne pas oublier la constante d'intégration et tenir compte de la vitesse initiale.
De l'autre, pour une même problématique mathématique, vous annulez pour des "raisons physiques évidentes" la même constante d'intégration dans le cas d'un div E.

Autant que je comprends les raisonnements que propose Amanuensis, autant je ne comprends pas votre crispation à son égard.

On ne peut pas plaider le sens physique et refuser l'AD qui permet de le quantifier, plaider le bon sens et refuser les développement mathématiques qui permettent ce même raisonnement.

Bref...

[GillesH38a]

Il me semble qu'Amanuensis a parfaitement répondu à la question posée : il y a une faute logique dans la phrase "L'étude des symétries donne " et il a bien expliqué pourquoi : la seule condition imposée par les considérations de symétrie est que l'ensemble des solutions soit globalement invariant par symétrie, et pas chaque solution individuelle. C'est à dire que l'application d'une symétrie laissant le système invariant doit transformer une solution en une autre solution, mais pas forcément la même. Ce n'est que si on le complète par un théorème d'unicité que ça impose à la solution unique d'être symétrique.

Dans le cas présent, il est facile de construire l'ensemble infini de solutions à partir de sphères de rayon fini : pour une sphère de densité constante , il est facile de montrer (avec le théorème de Gauss) que le champ est , et rien n'empêche de prolonger cette solution à l'infini. Mais il y a une infinité de champs de ce genre puisqu'on est libre de choisir l'origine O. Il est évident que deux champs de centres différents O et O' différent par une constante , et qu'on peut imposer en chaque point M une valeur quelconque du champ, et trouver un champ solution qui corresponde à cette valeur en M. Le champ en chaque point est donc "parfaitement indéfini", mathématiquement parlant - ce qui n'a pas de conséquence pratique puisque la solution est irréalisable physiquement.

[GillesH38a]

Dans le cas présent, il est facile de construire l'ensemble infini de solutions à partir de sphères de rayon fini :

je rectifie après une remarque parfaitement judicieuse en MP, il s'agit d'"UN" ensemble infini, pas de "L'"ensemble infini : le vrai ensemble de toutes les solutions "physiquement admissibles" semble complexe à déterminer, et déjà il faudrait savoir ce que veut dire "physiquement admissible " dans ce cas....

[LPFR]

...
D'un coté, quand vous avez une vitesse obtenue par intégration, vous insistez beaucoup pour ne pas oublier la constante d'intégration et tenir compte de la vitesse initiale.
...

Re.
Il n'y a pas de constante d'intégration car en physique il n'y a pas d'intégrales indéfinies. Toutes les intégrales se font entre des limites.
On peut remplacer les limites et dire "je trouve la primitive et je me demmbrouille pour trouver la constante d'intégration". Mais c'est une mauvaise pratique dans l'enseignement de la physique. Elle devrait être réservée à des "pros" qui savent ce qu'ils font.
A+

[stefjm]

Cette présentation est plus intéressante mais ne solutionne pas la problématique initiale de ce fil.

[LPFR]

Cette présentation est plus intéressante mais ne solutionne pas la problématique initiale de ce fil.

Re.
De toute façon le problème posé dans ce fil n'a pas de solution. Il est physiquement impossible. Alors on peut l'utiliser pour des jeux mathématiques. C'est tout.
A+