Electromagnétisme

[jules345]

Bonjour,

Voila je bloque sur un nouvel exercice d'électromagnétisme mais celui là s'avère beaucoup plus dure voici l'énoncé:
"Une sphère de rayon Sp de rayon a, pratiquement ponctuelle et initialement neutre, émet des électrons de manière isotrope à partir d'un instant que l'on prend comme origine des dates. Soit le nombre d'électrons émis par unité de temps et leur vitesse dont la valeur est considérée comme constante en tout point.

1/Quelle est la densité volumique de charges mobiles ? En déduire la densité de courant
2/Déterminer le champ électrique supposé isotrope
3/Déterminer le champ magnétique
4/Vérifier la compatibilité des équations de Maxwell
5/Etudier le bilan énergétique

Voila donc pour débuter j'ai essayé de faire la première question j'ai écris que en étudiant les invariances et le caractère isotropique des électrons. Par contre en discutant avec mon prof il m'a dit que la sphère se charge positivement au cours du temps alors là je ne comprends pas les électrons ont des charges négatives non ? Après je ne vois pas trop comment m'en sortir j'ai beaucoup de mal pour cette première question une petite aide

Merci
-----

[sailx]

salut,

Ton système global doit rester neutre. Donc si la source émet des électrons, elle perd la charge d'un électron pour que le système global reste neute.
L'astuce de cet exo, c'est de considérer des sphère, de dire quelles sont les charges qui sont sorti et d'appliquer le théorème de Gauss.

bonne chance, c'est un exercice très intéressant. je l'avais apprécié en taupe.

[jules345]

Re,

merci de ta réponse je vois bien comment appliquer le théorème de Gauss mais ça c'est pas avant la deuxième question pour déterminer le champ électrique ? Car pour la première question je bloque j'ai écrit mais après je bloque... Un indice ?

[invitef73a730a]

Bonjour,
tu peux utiliser une relation similaire à celle de Gauss pour calculer le flux du courant à travers la surface d'une sphère entourant la source d'électrons.
La loi qui traduit la conservation de la charge possède une forme similaire à l'équation de Maxwell qui relie la divergence de E à la densité d'électron.
Elle s'exprime ainsi :
div j=-dp/dt.Du coup, en utilisant le théorème d'ostrogradski, tu obtiens une relation entre le flux de j à travers la surface et alpha. Tu en déduis j, puis ensuite, il suffit de connaitre la relation entre j et p, et tour est joué. (j est ici la densité de courant, et p la densité de charge).

[A voir en vidéo sur Futura]

[jules345]

Merci de ta réponse Aristark, c'est très intéressant en effet je n'avais pas pensé à utiliser l"équation de conservation de la charge mais le problème est que étant donné qu'il n'y a pas de courant j est nul donc p=constante non ? Et plus généralement j'aurais aimé savoir si l'équation de conservation de la charge est valable dans ce cas là ?

[invitef73a730a]

Le courant n'est pas nul du moment où il y a émission de charges (un courant est un déplacement de charges ; or, c'est bien ce qui se produit autour de la source). Mais dans ce cas précis, p est bien constant, sauf à la source (cela rejoint la remarque de ton prof sur le fait que la source se charge positivement au cours du temps ; la raison en est que la source perd des charges négatives car elle émet des électrons (par définition, un corps initialement neutre qui perd des charges négatives se charge positivement).

La conservation de la charge est une loi fondamentale de la physique, et est donc toujours valable.

[narakphysics]

Bonsoir

Re,

merci de ta réponse je vois bien comment appliquer le théorème de Gauss mais ça c'est pas avant la deuxième question pour déterminer le champ électrique ? Car pour la première question je bloque j'ai écrit mais après je bloque... Un indice ?

La réponse est déjà dans l'énoncé:

Soit le nombre d'électrons émis par unité de temps et leur vitesse dont la valeur est considérée comme constante en tout point.

donc:
il reste ,c'est le volume de la sphère , comme vous avez déjà dit, on va utiliser les coordonnées sphériques donc appliquez la définition pour calculer le volume:
A+

[jules345]

Merci de vos réponses,

Le problème pour l'élément de volume c'est que j'ai je ne sais pas si je dois intégrer... mon prof nous a donné un indice pour cette question : "regardez ce qu'il se passe au delà de vo.dt et avant" cette première question me pose bien des problèmes...

[narakphysics]

Re

Merci de vos réponses,
Le problème pour l'élément de volume c'est que j'ai je ne sais pas si je dois intégrer... mon prof nous a donné un indice pour cette question : "regardez ce qu'il se passe au delà de vo.dt et avant" cette première question me pose bien des problèmes...

oui, il a raison:
c'est la distance parcourue par un électron entre deux instants, donc au déla de cette distance il n'y a aucune charge, par conséquent \rho est nulle. En revanche si le rayon est inférieure à alors .
A+

[LPFR]

Bonjour.
Pour relier la densité de courant à la densité de charges et à leur vitesse faites comme ça:
Dessinez un petit parallélépipède avec 4 faces parallèles à la vitesse et les deux autres perpendiculaires. Vous connaissez la densité de charges, donc le nombre de charges dans le parallélépipède. Calculez le temps que met une charge au niveau de la paroi "arrière", pour sortir par la paroi "devant". Dans ce temps, toute la charge à l'intérieur du parallélépipède aura sorti de celui-ci. Donc, vous pouvez écrire que la densité de courant est égale à la charge totale sortie, divisée par le temps de sortie et divisée par la surface de la face de "devant".
Pas besoin de faire des intégrales.

Et pour faire des intégrales dans un volume sphérique, quand on a une symétrie sphérique, on n'a pas besoin de prendre un différentiel de volume de troisième ordre, ce qui donne l'intégrale triple du post #7 de Narakphysics. Il vaut mieux choisir un différentiel de volume de premier ordre. Ce différentiel de volume est celui "d'une fine couche de peinture": la surface d'une sphère par son épaisseur: . Ceci donne une intégrale de volume simple.
Le résultat est évidement le même. Car dans le résultat de l'intégration sur thêta et Phi dans l'intégrale du post #7, n'est autre que la surface de la sphère.
Il faut toujours "voir" la forme du différentiel choisi.

Dernier conseil sur Gauss. Au lieu d'écrire le terme de droite comme une intégrale (ce qui ne fonctionne pas dans tous le cas), écrivez Gauss comme ça:


Où TLCALIDV veut dire "Toute La Charge à L'Intérieur Du Volume". Cela veut dire que suivant les situations, il faut calculer cette charge différemment. Ce peut être une charge ponctuelle (ce qui donnerait un rhô infini et une intégrale problématique), ou une charge de surface ou de volume. Ou un cas mélangé.

Au revoir.

[invitef73a730a]

Bonjour,
Juste pour préciser : la façon que j'ai indiquée (se servir de la loi de conservation de la charge) n'est qu'une façon d'y arriver. Une autre façon, peut-être plus conforme avec l'ordre des questions (calculer la densité, puis le courant) consiste à constater que les charges émises par la source pendant un temps dt se répartiront à l'intérieur d'une coquille centrée sur la source et d'épaisseur vdt. Donc pour n'importe quelle coquille de rayon r (à condition bien sûr que les premiers électrons émis aient eu le temps de l'atteindre) et d'épaisseur vdt, le nombre d'électron contenus est égale à alpha dt. Il suffit ensuite de multiplier par la charge de l'électron et de divisé par le volume de la coquille pour obtenir la densité (inutile de faire une intégration pour calculer le volume de la coquille puisque son épaisseur est infinitésimale). Ensuite, la relation entre la densité et le courant, que tu peux dériver selon la méthode proposée par LFPR si tu ne la connais pas, te permets de connaitre le courant.

Cette méthode aboutit bien sûr au même résultat que la méthode précédente.

[LPFR]

Re.
Je suis complètement d'accord.
A+

[jules345]

Bonsoir,

En lisant vos posts et en parlant avec mon prof il m'a dit que si on appliquer la première méthode il fallait détailler il m'a dit de considérer un électron à v0 entre t et t+dt qui parcourt la distance dr=v0.dt Puis je dois ensuite considérer t0 tel que 0<t0<t tel que l'on retrouve les électrons émis entre t0 et t0+dt dans une sphère creuse de rayon iné"rieur r=v0(t-(t0+dt)) et de rayon extérieur r+v0.dt et donc en écrivant dr=v0.dt le volume s'écrit tel que l'a dit LPFR mais personnellement je trouve cette méthode pas du tout naturelle tout comme l'exercice enfin je parle pour moi car je ne me verrais pas du tout refaire une telle démonstration si vous avez des trucs pour mieux rentrer dans un exercice comme celui-ci je suis preneur

Sinon pour ce qui concerne la deuxième méthode j'ai utilisé comma l'a dit Aristark le théorème de Green-Ostrogradski mais cela devient assez compliqué car j'obtiens
4.Pi.r².j(r)+int_(dp/dt).dV=0 mais après je ne vois pas trop comment me sortir de cela...

Merci encore

[narakphysics]

Re
je vous conseil de lire attentivement ce pdf surtout le § 4.2.2 Courants volumiques (il y a la réponse de la première question si vous appliquez la définition).
A+

[invitef73a730a]

Sinon pour ce qui concerne la deuxième méthode j'ai utilisé comma l'a dit Aristark le théorème de Green-Ostrogradski mais cela devient assez compliqué car j'obtiens
4.Pi.r².j(r)+int_(dp/dt).dV=0 mais après je ne vois pas trop comment me sortir de cela...

Merci encore

Tout simplement en remarquant que int_(dp/dt).dV est égale à -alpha.q. Tu obtiens ainsi j, puis tu en déduis p.

Mais l'autre méthode est également assez directe. Je n'ai par contre pas compris à quoi servait d'introduire le temps t0 dont tu parles ? J'obtiens le résultat tout simplement en considérant une coquille d'épaisseur vdt.

[jules345]

Merci de vos réponses,

@narakphysics: Je ne comprends pas très bien le delta minuscule expliqué dans le document ?

@Aristark: Je pense que ça sert à définir un rayon intérieur et un rayon extérieur. Pour ce qui est de int_(dp/dt).dV je ne suis pas trop d'accord j'aurais dit alpha.dq non ?

[invitef73a730a]

@Aristark: Je pense que ça sert à définir un rayon intérieur et un rayon extérieur. Pour ce qui est de int_(dp/dt).dV je ne suis pas trop d'accord j'aurais dit alpha.dq non ?

J'ai oublié de préciser que q était la charge de l'électron.
int_(dp/dt).dV va être égale à la variation de la charge de la source par unité de temps (car à l’extérieure de la source, nous sommes en régime permanent, et donc dp/dt=0). Or, la variation de la charge de la source par unité de temps est égale au nombre d'électron émis par unité de temps multiplié par la charge de chaque électron.

Pour le rayon intérieur, il suffit de prendre r, et pour le rayon extérieur, r+vdt. Ainsi, tu as le volume de la coquille qui est égale à 4Pir²vdt et la charge contenue dedans qui est égale à alpha q dt. La densité étant la charge par le volume...

Bien entendu, ce raisonnement présuppose que r< vt où t est le temps écoulé depuis l'émission des premiers électrons ; sinon, pour r>vt, p est bien entendu nulle.

[invitef73a730a]

si vous avez des trucs pour mieux rentrer dans un exercice comme celui-ci je suis preneur

Lire le cours de physique de Feynman (électromagnétisme 1 pour commencer)

Ce cours permet d'acquérir une approche très intuitive des problèmes électromagnétiques.

[narakphysics]

Re.

Merci de vos réponses,

@narakphysics: Je ne comprends pas très bien le delta minuscule expliqué dans le document ?

c'est une variation infinitésimale (infiniment petit).
A+

[jules345]

Ok merci narakphysics,

Par contre je ne comprends pas très bien la sphère creuse et le rayon intérieur et le rayon exterieur je ne vois pas trop pourquoi on envisagerait que la sphère soit creuse ?

merci encore

[jules345]

C'est bon j'ai compris , j'ai répondu à la question 3 en disant que le champ magnétique est nul car (M, Ur, U(theta) ) et (M, Ur, U(phi) ) sont des plans de symétrie pour la distribution de courant or le champ magnétique est orthogonal à ces plans donc B est nul. Par contre pour la question 2 j'ai un peu plus de problème, j'ai dit que le champ électrique est nul pour r>Vo.t car il n'y a aucune charge à l’extérieure du volume délimité par S or la shère est initialement neutre donc E est nul par contre je ne vois pas comment calculer la charge intérieur pour r<Vo.t ?

Merci encore à vous

[invitef73a730a]

C'est bon j'ai compris , j'ai répondu à la question 3 en disant que le champ magnétique est nul

Exacte.

Par contre pour la question 2 j'ai un peu plus de problème, j'ai dit que le champ électrique est nul pour r>Vo.t car il n'y a aucune charge à l’extérieure du volume délimité par S or la shère est initialement neutre donc E est nul par contre je ne vois pas comment calculer la charge intérieur pour r<Vo.t ?

Merci encore à vous

Tu remarqueras que la charge contenue à l'intérieure d'une sphère de rayon r quelconque centrée sur la source est égale à

Q(t)=-H(t-r/v)alpha.q.[t-r/v], où H(t-r/v) est la fonction d'Heaviside (H=0 pour t<r/v et 1 pour t>r/v) puisqu'à partir de l'instant t=r/v, alpha q charges par seconde sortent de la sphère en question.

Il ne reste alors plus qu'à appliquer le théorème de Gauss.

[jules345]

C'est bon j'ai enfin compris le reste ne pas poser de difficultés majeures. Merci à vous en tout cas