Equations de Yang-Mills et géométrie non-commutative

[Gabriel]

Bonjour.

Extrait du livre de Keith DEVLIN, Les énigmes mathématiques du 3ième millénaire.
Le Clay Mathematics Institute offre une récompense de 1 million de dollars pour chaque résolution des 7 problèmes du 3 ième millénaire.
Parmi ces 7 problèmes, la résolution des équations de Yang-Mills : Pour tout groupe de jauge simple, compact, les équations de Yang-Mills dans un espace euclidien à 4 dimensions, possèdent une solution qui prédit une hiérarchie de masse.

Autre formulation : Prouver l'existence et la hiérarchie de masse d'une théorie de Yang-Mills quantique sur Re4, avec comme comme groupe de jauge un groupe de Lie G compact, simple et non abélien.

A mon avis, ces équations ne pourront être résolues que dans le cadre de la géométrie non-commutative d'Alain CONNES, puisque notre espace est discret et non-commutatif.

Qu'en pensrez-vous ?
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[Deedee81]

Salut,

A mon avis, ces équations ne pourront être résolues que dans le cadre de la géométrie non-commutative d'Alain CONNES, puisque notre espace est discret et non-commutatif.

Ces équations sont définies (et leur solution demandée) pour un espace "normal". Pas pour un espace discret. Mais parfois la solution d'un problème difficile est trouvée en généralisant le problème à des situations plus larges, alors pourquoi pas.

P.S. : on n'a aucune preuve que notre espace soit discret et non commutatif. Juste des arguments dans ce sens.

[Gabriel]

Ma question était faite pour relancer la discussion au sujet de la théorie d'Alain CONNES qui prédit un boson de higgs à 146 Gev/c² avec sa géométrie non-commutative (Futura-sciences, rubrique Nouvelles brèves)

[invite58a61433]

Bonsoir,

on n'a aucune preuve que notre espace soit discret et non commutatif. Juste des arguments dans ce sens.

Et encore, "argument" est un bien grand mot. Disons que c'est une piste qui mérite d'être étudiée (je précise que de mon point de vue la piste "discrète" est de loin la plus intéressante et naturelle de toutes celles dont j'ai eu connaissance, mais bon il faut savoir raison garder).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

relancer la discussion au sujet de la théorie d'Alain CONNES

D'accord,

Je connais assez mal ses travaux (je ne connais que les bases et quelques modèles de gnc lu dans ArXiv). Donc, je vais laisser d'autres plus compétent que moi prolonger la discussion s'il y a lieu.

[Gabriel]

Correction erreur : Masse du boson de higgs = 146 Mev/c²

[Gabriel]

Correction de la correction : boson de higgs = 126 Gev/c²

Alain CONNES a interprété les paliers de l'effet hall quantique grâce à sa géométrie non-commutative.

A partir de là, il me semble évident que les masses des diverses particules doivent aussi s'interpréter comme des "paliers", des niveaux d'excitation du vide quantique qui est le plus bas niveau d'énergie ?

[azizovsky]

Bonsoir , un résumé : http://science.thilucmic.fr/TELECHAR...2004-06-15.pdf.

[doul11]

Bonsoir,

Et encore, "argument" est un bien grand mot. Disons que c'est une piste qui mérite d'être étudiée (je précise que de mon point de vue la piste "discrète" est de loin la plus intéressante et naturelle de toutes celles dont j'ai eu connaissance, mais bon il faut savoir raison garder).

Ça serait bien de donner des arguments, je ne vois pas du tout en quoi ça serait plus "naturel" un modèle discret ? Toutes les théories actuelles sont continues, j'ai l'impression étrange de voir planer le fantôme du paradoxe de Zénon sur ce genre de questions qui reviennent souvent sur le forum.

[invite58a61433]

Ben c'est mon avis, c'est tout.
Toutes les théories actuelles sont effectivement continues, mais ça ne veut rien dire, étant donné que l'on ne peut sonder expérimentalement les échelles d'énergie pertinentes (en fait même les modèles "discret" dont parle Deedee sont continues -au sens topologique du terme-, par contre ce qui est moins évident c'est que les structures différentielles elles peuvent être absentes, et ne réapparaître que approximativement, dans la limite de basse énergie).

Enfin, ce que j'aime dans les modèles "discrets" que je connais c'est :

• (pour tous) l'indépendance de fond, qui est de loin ce qu'il y a de plus naturel de mon point de vue car ça permet de décrire la génèse de l'espace(-temps), de plus ça permet de s'éloigner de ce point de vue purement perturbatif qui pour moi est l'incarnation du mal (pour des raisons conceptuelles, physiques et mathématiques que je ne veux pas détailler ici, ce serait vraiment trop long)

• pour les premiers le fait qu'ils surgissent d'une compréhension profonde (et non juste une recette qu'on applique parce que ça marche) de ce qu'est la quantification et aussi de ce qu'est la relativité générale.

• Et pour les seconds (qui ne sont qu'une sorte de seconde quantification des premiers) leur éventuelle capacité à expliquer l'apparition d'une dimension temporelle (mais bon là on est encore loin du compte). C'est en particulier très naturel quand on s'intéresse à ce qu'il peut se passer sous l'action du groupe de renormalisation.

Je sais que ce n'est pas très clair, mais honnêtement sans entrer dans les détails techniques et ne connaissant pas votre niveau en physique et mathématique (probablement moins que le niveau master cependant) je ne préfère pas faire le coup de l'arnaque intellectuelle qui consiste à donner de vagues images intuitives pour vulgariser un sujet qui ne peut l'être (étant donné qu'il n'est pleinement compris par personne, surtout pas moi).

j'ai l'impression étrange de voir planer le fantôme du paradoxe de Zénon sur ce genre de questions qui reviennent souvent sur le forum

Quant à ça, je ne sais pas trop comment prendre la réflexion, j'espère juste que ce n'est pas la version qui me vexerait Mais pour mettre les choses au point, le paradoxe de Zénon n'existe pas (dans le sens où ce n'est pas un véritable paradoxe). Ce "paradoxe" ne résulte que d'une mauvaise compréhension de la notion de convergence. Bref, point de fantômes ici, toutes façons, moi, je n'y crois pas aux fantômes, ben oui, s'ils peuvent traverser les murs, pourquoi est-ce qu'ils ne traversent pas le plancher ?

Et encore, "argument" est un bien grand mot. Disons que c'est une piste qui mérite d'être étudiée (je précise que de mon point de vue la piste "discrète" est de loin la plus intéressante et naturelle de toutes celles dont j'ai eu connaissance, mais bon il faut savoir raison garder).

Je précise que si j'ai écrit cela dans mon précédent post c'est pour faire comprendre que je ne tape pas spécialement sur les modèles "non-commutatifs" en disant qu'il n'y a pas de réel argument pour. Au contraire ce sont parmi les approches que je préfère. Mais cependant l'honnêteté intellectuelle m'oblige à faire remarquer que les arguments "physiques" usuellement donnés (Doplicher-Fredenhagen-Roberts) ne sont pas super convaincant (vu que l'on peut donner une interprétation toute différente. En effet, pour tenir l'argument il faut extrapoler une théorie -la RG- en dehors de son domaine de validité... ).

Bref, voilà pour la mise au point.

[invite58a61433]

A partir de là, il me semble évident que les masses des diverses particules doivent aussi s'interpréter comme des "paliers", des niveaux d'excitation du vide quantique qui est le plus bas niveau d'énergie ?

Point besoin de non commutativité de l'espace pour ça, les modèles à dimensions supplémentaires font ça très bien. De plus en ce qui concerne l'effet hall quantique, les différents paliers correspondent plutôt à différentes phases (topologiques) du système et non à de simples niveaux d'excitation.

[invite6754323456711]

Ça serait bien de donner des arguments, je ne vois pas du tout en quoi ça serait plus "naturel" un modèle discret ?

En mon sens la question devrait porter plutôt de chercher a savoir ce qui nous est le plus commode pour unifier les deux représentations que nous avons construite et qui sont basées sur la RG et la MQ. Y rajouter une dimension lié à nos grilles sensorielles ne ferait que rajouter de la confusion.

Patrick

[invite58a61433]

Je pense que de toutes façon le qualificatif "discret" ici induit en erreur plus qu'autre autre chose. L'espace dans les modèles "discrets" (qui devraient être plutôt qualifiés de combinatoire) n'est en rien discontinue.

En mon sens la question devrait porter plutôt de chercher a savoir ce qui nous est le plus commode pour unifier les deux représentations que nous avons construite et qui sont basées sur la RG et la MQ. Y rajouter une dimension lié à nos grilles sensorielles ne ferait que rajouter de la confusion.

Malheureusement ça ne marcherait pas car nous n'en sommes pas à un stade où nous avons plusieurs modèles viables et qui décrivent une physique équivalente de différentes manières (si c'était le cas, alors effectivement nous devrions choisir le plus commode), mais nous avons plusieurs possibilités, non complètement viables, non équivalentes entre elles, et qui n'ont pas les mêmes bases et implications conceptuelles.
De plus le qualificatif naturel ne fait pas forcément référence à l'intuition ou a nos sens (je dirai que ça peut même être le contraire).

[invite6754323456711]

De plus le qualificatif naturel ne fait pas forcément référence à l'intuition ou a nos sens (je dirai que ça peut même être le contraire).

Pourquoi vouloir attribuer aux autres cette interprétation ?

La vison de Masson

On peut résumer brièvement ce qui a été appris sur cette géométrie non commutative, en disant qu’elle constitue un outil idéal pour le physicien désireux de considérer des modèles de type Yang-Mills-Higgs. En effet, la géométrie différentielle des théories de jauge sur des fibrés SU(n) est une sous géométrie d’une géométrie non commutative de l’algèbre des endomorphismes de E. Cette caractérisation des théories de jauge permet de mieux comprendre l’origine et la place des champs de Higgs vis-à-vis de la géométrie ordinaire, puisqu’ils s’interprètent, de façon tout à fait naturelle, comme les degrés de liberté dans les directions purement non commutatives de la géométrie de cette algèbre d’endomorphismes.

Patrick

[invite58a61433]

Je serai heureux de continuer la discussion mais je ne comprends pas le point de votre dernier message.

[invite6754323456711]

Je serai heureux de continuer la discussion mais je ne comprends pas le point de votre dernier message.

Pour moi le signifié naturel dans un contexte scientifique s'inscrit dans un mode de raisonnement et non dans un cadre de sens commun.

Il faut faire, auparavant, un choix d'axiomatique.

Patrick

[invite58a61433]

Ok ce qui me va parfaitement. Cependant ce ne semble pas être le cas pour doul11 (cf. sa réflexion sur toutes les théories actuelles).

[Gabriel]

Doul11 : "Ça serait bien de donner des arguments, je ne vois pas du tout en quoi ça serait plus "naturel" un modèle discret ? "


Les échanges d'énergie sont discrets : Max Planck (catastrophe ultraviolette)
La lumière est discrète : Albert Einstein (photons)

[doul11]

Bonsoir,


Naturel je le comprends comme dans la continuité (sans jeux de mot ) des théories qui fonctionnent, mais visiblement c'est pas ça

Je suis sur qu'au début personne de trouvais la théorie quantique naturelle, et pourtant ...

Les échanges d'énergie sont discrets : Max Planck (catastrophe ultraviolette)

L'énergie est certes échangée de façon discrète mais le spectre des valeurs possible est lui bien continus, pas comme pour le spin par exemple. Ce n'est en rien un argument pour dire que l’espace dont être discret. Quand on quantifie l’oscillateur harmonique on obtient bien des étages discret pour l'énergie, mais qu'est-ce qui indique que ce modèle doit être applicable a l'espace et au temps ? Dans l’oscillateur harmonique quand il y a énormément de niveaux ceux-ci ce trouvent confondus, (encore plus avec les levés de dégénérescence) la question serait de savoir ce que l'on observerais a très petite échelle dans un spectre continus ? Pas grand chose dans le flou quantique

La lumière est discrète : Albert Einstein (photons)

La lumière n'est rien, on peut la modéliser par plusieurs théories, le modèle quantique ne ce résume pas a discret et surtout pas pour l'espace et le temps.

[invite58a61433]

Naturel je le comprends comme dans la continuité (sans jeux de mot ) des théories qui fonctionnent

Le problème c'est que avec cette notion de "naturel", c'est difficile de s'aventurer en terres inconnues, c'est à dire quand les théories connues ne fonctionnent plus.
Pour faire ça avec le RG ce qui serait génial pour établir une théorie plus profonde ce serait de faire le truc impossible suivant : remonter le flot du groupe de renormalisation. Manque de bol, malgré son nom, le groupe de renormalisation n'en est pas un, de groupe (c'est un monoïde régulier). Et c'est bien notre expérience du GR qui nous dit que la théorie donnant la RG (GR = groupe de renormalisation, RG = relativité générale) à basse énergie peut très bien être très différente de la RG à son échelle naturelle (i.e l'échelle à laquelle les effets de cette autre théorie sont importants).
Des exemples simples de systèmes fondamentalement "discrets" qui à plus basse énergie semblent être "continus" foisonnent en matière condensée par exemple, en physique statistique il y a même une méthode systématique pour passer d'une modélisation "discrète" à une modélisation "continue" valable à assez basse énergie (dont je dois avouer avoir oublié le nom...).
Bref, c'est tout. De toutes façons, tout ce que l'on peut dire à notre niveau c'est que toutes ces tentatives ne sont que spéculations. On est tellement loin de l'expérience, que tout ça est condamné à rester dans le tiroir physique mathématique pendant très longtemps encore.

[Gabriel]

DOUL11 : "le modèle quantique ne ce résume pas a discret et surtout pas pour l'espace et le temps. "


Mon opinion de physicien amateur : à l'époque de Newton, l'espace et le temps étaient une toile de fond rigide et totalement insensibles aux phénomènes physiques qui s'y passaient.

Avec Einstein, RG, l'espace et le temps sont sensibles, se déforment sous l'influence des masses-énergie.

La suite logique du feuilleton scientifique, c'est d'imaginer que l'espace et le temps sont strictement équivalents à de la masse-énergie.
Et du fait que l'énergie est quantifiée ainsi que la masse (atomes, particules), l'espace et le temps devraient logiquement être aussi quantifiés.
De plus, la mécanique quantique est non-commutative (incertitude de heisenberg), donc la géométrie non-commutative d'Alain CONNES est le cadre idéal pour décrire les phénomènes physiques dans l'espace et le temps ??? ...

[Deedee81]

Bonjour,

Petite intervention pour préciser deux choses :
- l'espace-temps et la masse/énergie ne peuvent être totalement équivalent car l'équation d'Einstein ne relie qu'une partie de la courbure à la masse/énergie
- au niveau des coordonnées espace-temps, la mécanique quantique "habituelle" est commutative

MAIS tes conclusions restent vraies (bien que ce soit pour d'autres arguments, par exemple Alain Connes dans son gros article sur l'introduction à la géométrie non commutative dans ArXiv discute longtemps de cet aspect. Et pour la quantification de l'espace-temps, le simple fait qu'il y ait un lien, même partiel, suffit à le justifier).

EDIT rectif : "restent vraie" devrait plutôt être "probablement vraie" car rien n'est validé dans ce domaine

[Gabriel]

Merci à tous pour vos réponses très riches.

[invite76543456789]

Bonjour,

- au niveau des coordonnées espace-temps, la mécanique quantique "habituelle" est commutative

Tu pourrais preciser ceci, parce que justement ca va un peu a l'encontre de ma vision de la MQ (mais je ne connais pas la theorie quantique des champs, donc pas d'espace temps dans "ma" meca Q). Il me semble justement que le point de depart fondamental de Connes c'est de dire, les observables quantiques, sont les algèbre de coordonnées de l'espace temps quantique et celles ci sont donc non commutatives.

[invite54165721]

En TQC l'espace temps est classique (pas des opérateurs) donc commutatif.
Et en MQ si les coordonnées de commutent pas avec les impulsions, elles
commutent entre elles.

[invite76543456789]

Annulé question débile.

[invite58a61433]

Bonsoir,

Il me semble justement que le point de depart fondamental de Connes c'est de dire, les observables quantiques, sont les algèbre de coordonnées de l'espace temps quantique et celles ci sont donc non commutatives.

Il me semble que Deedee a raison. Dans la MQ habituel ce serait plutôt une algèbre d'opérateur sur L²(R³) qui elle serait non commutative. Cependant l'espace (ici R³) est décrit à l'aide d'une algèbre de fonction commutative (typiquement , un triplet de fonction permettant d'avoir les 3 coordonnées). Ou alors je m'embrouille complètement ?

[Deedee81]

Salut,

Ou alors je m'embrouille complètement ?

Non, tu as raison. On peut même travailler avec l'espace-temps de Minkowski (MQ relativiste, théorie quantique des champs) ou même des variétés riemanniennes (tqc en espace-temps courbe), tous commutatifs.

Toutefois MissPacMan n'a pas tort car en effet Connes postule que les coordonnées de l'espace-temps doivent obéir à des règles de commutation (il donne une série d'arguments pour ça, faudrait retrouver ses articles d'intro où il en parle). Mais ce n'est évidemment plus de la "MQ traditionnelle".