Stabilité d'une trajectoire circulaire

[nasalunch]

Bonjour,
il y a un exercice dont j'ai pas compris comment ils ont procédés pour obtenir cette réponse :

une particule M est soumise a une accélération constamment dirigée vers le point 0 du plan (0xy) et de norme a = k(b/r)^n, ou k,b et n sont des constantes positives.

1)comment faut il choisir la vitesse Vo pour que M décrive dans le plan (Oxy) un cercle de centre O et de rayon b ?

Rep: si on utilise la base polaire, l’accélération s’écrit, en tenant compte de ordonnées et de l'énoncé, . Dans le cas d'une trajectoire circulaire de rayon r=b=cste, donc ces expression entrainent . On en deduit donc
La vitesse initiale doit donc avoir la valeur pour norme, mais cette condition n'est pas suffisante, il faut également qu'elle soit orthogonale au vecteur position initial

2) Cette condition étant remplie, exprimer la fréquence associée a ce mouvement.



1) Moi ce que j'ai pas compris pourquoi a t on utilisé la base polaire et de même l’accélération de celle ci alors que c'est la vitesse qui est demander ?
comment a t-on fait pour faire apparaitre Vo ?

2) cette fois ci je n'ai pas du tout compris comment ils ont aboutie a cette reponse, je revois ce genre de question pour la deuxième fois, ya pas d'explication que la réponse directement...


merci de votre aide ;(
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[LPFR]

Bonjour.
Je n'ai que faire de la base polaire.
Pour que la masse tourne dans un cercle il faut que la force d'attraction soir égale à l'accélération centripète:

Et la vitesse dépend du 'n'.
Pour la 2, la période est 2.pi.r/V et la fréquence sera l'inverse de la période.
Au revoir.

[phys4]

Et la vitesse dépend du 'n'.
Pour la 2, la période est 2.pi.r/V et la fréquence sera l'inverse de la période.

Bonjour à vous,
L'énoncé impose que r = b, ce qui explique que le "n" disparaisse dans le résultat donné.

Il est impossible d'interpréter le problème autrement : au vu du titre, il serait possible que la fréquence demandée soit la période d'oscillation autour du cercle et non la fréquence de rotation.
Nous aurions alors une fréquence des petites oscillations qui dépend de "n", exemple : 2 périodes par tour pour n = -1, une période par tour pour n = 2,
et une limite de stabilité à trouver ?

[nasalunch]

waa je n'ai pas compris du tout de quoi vous parlez

euh non il n'y a pas de limite demandé il s 'agit d'un exo de l1, enfaite j'ai pas compris leur raisonnement, pourquoi ils ont procedés ainsi quoi...

merci a vous de m'eclaircir

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

euh non il n'y a pas de limite demandé il s 'agit d'un exo de l1, enfaite j'ai pas compris leur raisonnement, pourquoi ils ont procedés ainsi quoi...

Je voulais dire qu'il était "possible" d'avoir une autre interprétation : pourquoi le titre est-il : Stabilité ?
et pourquoi mettre un exposant n qui ne sert à rien ?
La question pourrait être la stabilité de petites oscillations par rapport au cercle, dans ce cas il y aurait une fréquence d'oscillation autour du cercle qui dépendrait de n.

Pensez vous que c'est complétement hors du niveau demandé ?
Je voudrais bien avoir l'avis de LPFR également.

[LPFR]

Bonjour Phys4.
Je n'avais pas vu que r = b.
Ça me laisse aussi perplexe. Car le 'n' pourrait jouer sur la stabilité d'une orbite, même si on part d'une orbite circulaire avec r = b.
Mais ça me surprend que l'on étudie la stabilité de cette orbite en l1.
Intuitivement, je ne pense pas qu'une bille tournant dans un cône soit plus ou moins stable que dans un cornet ou un bol. Mais l'intuition peut être trompeuse.
Cordialement,

[phys4]

Pour en finir avec ce problème, je pense que l'énoncé à été pris dans un exercice de plus haut niveau et donc qu'il y a des données qui ne servent à rien.

Je vais proposer les étapes de la solution complète, ensuite l'utilisateur pourra essayer de remplir les étapes intermédiaires, si elles correspondent à son niveau.
Il faut d'abord supposer une oscillation autour de cercle moyen b de la forme r = b + a(t)
Nous avons donc r' = a' et r" = a"

De l'intégrale première suivant soit
l'on tire au premier ordre la variation de en fonction de a(t)
Puis en remplaçant dan l'équation en r, les termes au premier ordre donnent l'équation différentielle
a" + ak/b (3-n) = 0
ou en faisant apparaitre la vitesse de rotation :


L'on en déduit que la fréquence d'oscillation par rapport au cercle vaut :



Pour quelques valeurs de n, nous retrouvons des propriétés connues.