Equation de Vlasov

[invite778a547f]

Bonjour à tous,
Dans ce message j'essaye de réinventer l'eau chaude, ce que d'aucun pourrait considérer comme inutile...mais en ce qui me concerne ça me permet toujours de bien comprendre les équations...

Bref, l'équation de Vlasov je peux la retrouver de deux façons :
1) Manière mathématique :
Soit dN=f(q,p,t)dqdp le nombre de particules de masses m ayant pour position q et pour moment p définis à dq, respectivement dp près.
(ne connaissant pas les commandes TeX adéquates, je vais noter D la différentielle totale et d les dérivées partielles dans ce §...)
On a Df = (df/dq)Dq + (df/dp)Dp + (df/dt)Dt, d'où
Df/Dt = (df/dq)(Dq/Dt) + (df/dp)(Dp/Dt) + df/dt, or Dq/Dt = p/m et Dp/Dt = F d'où :
Df/Dt = (df/dq)(p/m) + (df/dp)F + df/dt

2) Manière "avec les mains" :
Soit dN=f(q,p,t)dqdp le nombre de particules de masses m ayant pour position q et pour moment p définis à dq, respectivement dp près.
A l'instant t+dt les particules ayant la position q et le moment p sont exactement celles qui à l'instant t avaient la position q-vdt et le moment p-Fdt.
Donc f(q,p,t+dt) = f(q-vdt,p-Fdt,t), soit encore, en prennant les différentielles :
df/dt + (df/dq)v + (df/dp)F = 0, or v = p/m donc
df/dt + (df/dq)(p/m) + (df/dp)F = 0

Les expressions sont semblables au Df/Dt près...d'où ma question, quel est le sens physique de ce Df/Dt ? La seconde façon d'obtenir l'équation semble indiquer que Df/Dt = 0...pourquoi ? et comment le démontrer mathématiquement ?

Une fois que j'aurais résolu ce problème avec votre aide, je soumettrai un autre problème du même ordre à votre sagacité...mais une chose à la fois .

Je vous remercie par avance de toute remarque ou suggestion que vous pourriez me faire.
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[invite778a547f]

Bon, devant l'enthousiame soulevé par ma précédente question je vais poser la seconde, un peu plus physique et un peu moins technique...
Je reprends l'équation de Vlasov telle qu'obtenue par la seconde méthode :
df/dt + (df/dq)(p/m) + (df/dp)F = 0 (eq. 1)
En supposant que le système soit Hamiltonien on peut introduire un hamiltonien "local" H(q,p,t), fonction de 3 variables qui représente l'énergie mécanique d'une particule ayant pour position q et pour moment p au temps t.
En utilisant les équations canoniques il est facile de voir que l'équation 1 se transforme en :
df/dt + {f,H} = 0 (eq. 2) où {,} est le crochet de Poisson.
Si l'on veut étudier le cas stationnaire on annule df/dt dans l'équation 2 et on trouve {f,H} = 0 (eq. 3)...

Voilà le soucis : l'équation 3 est équivalente à l'équation de Vlasov dans le cas d'un système hamiltonien et stationnaire et l'équation de Vlasov contient le second principe de la dynamique F = dp/dt. On s'attendrait donc à ce que les solutions de l'équation 3 soient physiquement pertinentes.
Or il est aisé de voir que toute fonction de la forme f(q,p) = g(H(p,q)) satisfait l'équation 3...quelles sont les contraites que l'on doit appliquer sur f pour retrouver les solutions pertinentes ?
Par exemple, dans le cas d'un gaz parfait isolé on a H(p,q) = p²/2m, quelles sont les contraintes dont on doit tenir compte pour "obliger" g à avoir la forme g(x) = A*exp(B*x) ?

En espérant que cette question suscite plus d'enthousiasme que la première