Equations de Lagrange

[invite06a166f3]

Bonjour, je viens de voir les équations de Lagrange en mécanique et j'aurais aimé avoir quelques précisions.
Tout d'abord, qu'est-ce que l'on appelle "fonction de force" ? C'est une force qui dérive d'un énergie potentielle ?
Et dans l'expression des équations de Lagrange, le second membre, celui des efforts généralisés fait intervenir la dérivée d'un potentiel par rapport à un paramètre qi, mais qu'est-ce que ce potentiel ? C'est l'énergie potentielle ( de pesanteur par exemple) ? Ou bien son opposé ?
Et aussi, pourquoi n'applique-t-on pas le théorème de l'énergie mécanique ? Il est pourtant bien plus simple !
Merci pour vos réponses.
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[albanxiii]

Bonjour,

Tout d'abord, qu'est-ce que l'on appelle "fonction de force" ? C'est une force qui dérive d'un énergie potentielle ?

Oui, exprimée en fonction des coordonnées généralisées.

Et dans l'expression des équations de Lagrange, le second membre, celui des efforts généralisés fait intervenir la dérivée d'un potentiel par rapport à un paramètre qi, mais qu'est-ce que ce potentiel ? C'est l'énergie potentielle ( de pesanteur par exemple) ? Ou bien son opposé ?

C'est l'énergie potentielle si la force dérive d'un potentiel. Si la force ne dérive pas d'un potentiel, on peut quand même dans certains cas exprimer une fonction de force, mais c'est moins habituel et plus compliqué.

Et aussi, pourquoi n'applique-t-on pas le théorème de l'énergie mécanique ? Il est pourtant bien plus simple !

Il est plus simple pour un point matériel dans un potentiel pas trop compliqué.
Mais quand vous avez, ne serait-ce qu'un pendule double, la mécanique analytique est beaucoup plus efficace et facile à mettre en oeuvre. On n'a besoin que de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle en fonction des coordonnées généralisées (les angles pour un pendule double par exemple).
Et pour un solide, l'intérêt de l'aporoche lagrangienne est encore plus flagrante.

Et enfin, la mécanique lagrangienne peut s'exprimer à partir du principe de moindre action d'Hamilton (on peut aussi l'exprimer à partir des lois de Newton, mais ça n'a pas le même intérêt), et il se trouve que ce principe est à la base des théories de la physique moderne. Le principe de moindre action et le lagrangien permettent de prendre en compte toutes les symétries que satisfait un système et de trouver des équations du mouvement qui vérifient automatiquement ces symétries. Et il se trouve qu'il est beaucoup plus facile d'imposer des symétries au lagrangien qu'aux équations du mouvement.

Une autre raison de l'utlité du formalisme lagrangien, en rapport avec ce qui précède juste, est le théorème de (Emmy) Noether. Ce théorème (en fait, il y en a deux, mais passons) dit que si un système satifsfait une symétrie continue, alors il existe une quantité conservée, et il donne même l'expression de cette quantitié. Par exemple, la physique d'un système isolé ne dépend pas de la date à laquelle on effectue une expérience avec. Cela implique une symétrie : la symétrie par translation dans le temps. Et le théorème de Noether nous dit que la quantité conservée assiociée est l'énergie (et elle donne l'expression de cette énergie). De même l'invariance par translation dans l'espace => conservation de l'impulsion, et invariance par rotation dans l'espace => conservation du moment cinétique.

Vous pourrez trouver facilement énormément de cours de mécanique analytique de niveaux variés sur Internet.

@+

[invite06a166f3]

Merci pour tes réponses !
Et l'équation de Lagrange fait intervenir l'énergie cinétique et comme tu l'as précisé, l'énergie potentielle dans le second membre. Et l'énergie mécanique d'un système est la somme de ses énergies cinétique et potentielle, mais mon prof a parfois écrit l'énergie mécanique dans le premier terme ( celui qui est dérivé par rapport au temps et au paramètre qi) égale aux efforts généralisés qui ne dérivaient pas d'une fonction de force ( qui était nulle dans le cas étudié).
Ce que je ne comprends pas parfaitement, c'est que l'on devrait avoir Ec - Ep dans le premier terme, qui n'est pas l'énergie mécanique...