Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique - Page 2
Répondre à la discussion
Page 2 sur 2 PremièrePremière 2
Affichage des résultats 31 à 55 sur 55

Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique



  1. #31
    obi76

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique


    ------

    J'ai bien dis famille pour montrer le ridicule du principe

    -----
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  2. #32
    Ludwig

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Qu'est ce que c'est que ce sectarisme élitiste pro école et anti tout le reste ? C'est bien ce genre de propos qui me font exécrer de plus en plus les écoles et les personnes qui pensent que si on ne sort pas de l'X, on n'est qu'une m****...

    Salut,

    Ferais-tu des complexes??

    Je plaisante,

    Pour ce qui est de l'aspect mathématique, je conseillerai d'étudier la théorie de la variable complexe, ça ratisse très très large. C'est un instrument qui me semble t'il est incontournable.

    Juste pour mémoire, Albert Einstein à fait ses études au Poly à Zürich, (école d'ingènieurs)


    Cordialement

    Ludwig


    PS:

    Alex-physiká, ce n'est pas l'école que tu vas fréquenter qui fera de toi un bonhomme doué ou non, mais ton travail personnel.

    Ensuite, sache que les mathématiques sont un language algorithmique, mais surtout ne leurs prètes pas des vertus qu'elles n'ont pas. Si tu veux faire de la physique, alors observe les systèmes et regarde bien comment l'énergie circule et surtout regarde bien ce qui se passe aux interfaces, car c'est la que souvent se passe la bataille.
    Dernière modification par Ludwig ; 05/12/2012 à 19h08.
    Le temps détruit tout ce qui est fait sans lui (Proverbe Chinois)

  3. #33
    obi76

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Je ne complexe pas, je bosse avec des gens de tous milieux, et jamais je n'ai jugé de leurs "antécédents" professionels. C'est une chose dont j'ai horreur car je pense que ça peut poser des barrières là il n'y a pas lieu d'être. Il y a assez de barrière et de jugement superficiels comme ça sans en rajouter.
    Dernière modification par obi76 ; 05/12/2012 à 19h43.
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  4. #34
    pesdecoa

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Heu dénigrer systématiquement en méconnaissance de cause une catégorie de personne (et à priori serieusement), je n'appelle pas ça "rigoler". Mais laissez Alex-physikà faire ce qu'il veut, merde à la fin ! Pour info je connais plus de chercheurs sortant de la fac que de grandes écoles. Et alors ? Je vais crier sur tous les toits que faire une école, c'est foncer à coup sur dans un mur ou de finir ingé ?

    Je n'ai vraiment pas l'impression que vous fréquentiez assiduement le milieu de la recherche pour sortir des trucs comme ça.
    Obi, obi, obi ...

    Alex-physika a besoin d'etre coaché, pas de le laisser faire ce qu'il veut, car justement il ne sait pas vaiment ce qu'il veut.
    Ainsi lui conseiller de lire du Feynman à son age, c'est un très mauvais conseil.

    Effectivement, je ne connais aucun chercheur et ne cherche pas à en connaitre. Mais je ne les dénigre pas, d'autant plus que je n'ai aucune autorité ou connaissance suffisante pour le faire.

  5. #35
    obi76

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par pesdecoa Voir le message
    Effectivement, je ne connais aucun chercheur et ne cherche pas à en connaitre. Mais je ne les dénigre pas, d'autant plus que je n'ai aucune autorité ou connaissance suffisante pour le faire.
    dans ce cas abstenez vous de la ramener là dessus...
    Dernière modification par obi76 ; 05/12/2012 à 20h12.
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  6. #36
    LAZAR

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Bonsoir,
    Alex-physika a besoin d'etre coaché, pas de le laisser faire ce qu'il veut
    Vous feriez un bon (dictateur) président de la république !


    @Lazar : ca fait plaisir d'avoir l'avis d'un Clermontois (c'est pas par chauvinisme auvergnat hein même si on est assez connus pour ca ^^), je m'écarte un peu du sujet mais alors la fac de Clermont est vraiment bien pour les études de physique (parce que c'est vrai qu'elle est pas très connue) ?
    Comme toute les facs, ça dépend du domaine
    La réponse d'Obi est la bonne. Les facs françaises ne sont pas aussi grosses que les fac américaines dont on entend plus parlé, donc en terme de recherche elles se concentrent et se spécialisent sur certains sujets plus que d'autres.
    Pour les études en licence, l'enseignement est a peu près le même quelque soit la fac en France. Après si vous continuez au niveau master je vous conseil de bien regarder les labos "supports" des masters proposés, et les sujets de recherches qu'ils affectionnent.

    En tout cas, et quoi qu'en dise certain, j'ai trouvé que l'enseignement était de très bonne qualité a Clermont, et je pense sans chauvinisme aucun (ou presque !) que le cadre de cette ville est très agréable pour faire ses études.

    Lazar

  7. #37
    pesdecoa

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    J'ai quand meme un doctorat mais cela fait 20 ans que j'ai quitté le monde universitaire.
    Je dois avouer que lorsque j'ai vu certains chercheurs d'un age certain, je n'ai pas voulu finir comme eux et j'ai préféré bifurquer dans l'industrie.

  8. #38
    Alex-physiká

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    @albanxiii : Merci pour toutes ces réponses, elles m'aident beaucoup ! J'ai trouvé ce livre : http://www.amazon.fr/Cours-math%C3%A...4737778&sr=8-2 qu'un étudiant cède pour une dizaine d'euros, ca vaudrait le coup non ?

    Sinon évidemment je n’accorde que peu d'importance aux propos provocateurs, et aussi, pour avoir vu 2 ou 3 lectures de Feynman et lu ses livres (certes vulgarisés) je trouve son approche géniale et sa façon de voir les choses simple (tout en étant terriblement efficace) et fascinante à la fois.

    @obi76 : merci de me permettre de ne pas déprimer en voyant ces messages x)

    @Ludwig : Je travaille aussi bien le côté mathématique que le sens physique, c'est juste que dans un cas je le travaille presque tous les jours en me posant des questions toutes bêtes, et l'autre je le vois tartiné sur les pages d'un livre et je comprends presque seulement que "dans le supérieur on enlève vraiment les derniers chiffres qui restaient dans les formules au lycée" x) [j'exagère un peu quand même]

  9. #39
    lucas.gautheron

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par pesdecoa Voir le message
    Obi, obi, obi ...

    Alex-physika a besoin d'etre coaché, pas de le laisser faire ce qu'il veut, car justement il ne sait pas vaiment ce qu'il veut.
    Ainsi lui conseiller de lire du Feynman à son age, c'est un très mauvais conseil.

    Effectivement, je ne connais aucun chercheur et ne cherche pas à en connaitre. Mais je ne les dénigre pas, d'autant plus que je n'ai aucune autorité ou connaissance suffisante pour le faire.
    Ca, c'est n'importe quoi. Je les lis, ils sont excellents pour qui aime la physique. Je ne regrette absolument pas. C'est un très bon conseil au contraire.

    Pour ce qui est des choix d'orientations qui mènent le mieux vers la recherche, je n'en sais rien - à vrai dire j'aimerais bien savoir -, je suis en plein dedans. Mais je ne crois pas du tout qu'il faille absolument passer par une "grande école".

    A+
    Étonnant, non ?

  10. #40
    obi76

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par pesdecoa Voir le message
    J'ai quand meme un doctorat mais cela fait 20 ans que j'ai quitté le monde universitaire.
    Je dois avouer que lorsque j'ai vu certains chercheurs d'un age certain, je n'ai pas voulu finir comme eux et j'ai préféré bifurquer dans l'industrie.
    Et puis, avoir un doctorat vous permet de juger des chercheurs qui sortent de la fac, qui ont un doctorat aussi, une HDR et qui sont prof des universités (surement pas comme vous) ?

    Des personnes ayant des propos comme les votres, j'en ai déjà vu ("ouais j'ai fais une (grande ?) école, ouais j'ai une thèse, donc je sais tout ce qu'il faut faire pour être chercheur ou avoir un bon niveau, et puis tous ceux qui sortent de la fac c'est des branleurs qui fument le bédo et qui savent rien faire"), et je peux vous garantir que ceux qui ont continué dans la recherche ont vite ravalé leur suffisance.

    PS : ce n'est pas moi qui lui ai conseillé le Feynman, même si je soutiens ce conseil...
    Dernière modification par obi76 ; 05/12/2012 à 20h27.
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  11. #41
    stefjm

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Re,
    De toute façon, le seule façon de ne pas devenir fou ou malheureux comme une pierre, c'est de faire quelque chose qu'on aime.
    C'est malheureux une pierre? Que de poncif...
    ca roule, fait du feu, fait briller les yeux des femmes, fait le demi tour, etc...
    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    J'ai bien dis famille pour montrer le ridicule du principe
    Faire un mariage d'argent ou toucher le RSA, choix cruel...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  12. #42
    Nicophil

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par pesdecoa Voir le message
    Ainsi lui conseiller de lire du Feynman à son âge, c'est un très mauvais conseil.
    Pourquoi "à son âge", et quel rapport avec les prépas aux Concours ?

  13. #43
    pesdecoa

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par Nicophil Voir le message
    Bonsoir,

    Pourquoi "à son âge", et quel rapport avec les prépas aux Concours ?
    Si tu veux savoir jouer du chopin, tu commences par faire des gammes et apprendre le solfège.
    C'est comme cela, il y a des règles, c'est ce qu'on appelle l'apprentissage.

    Je sais que l'on vit une époque propice à l'immédiateté. Mais la Physique ne fonctionne pas sur ce registre là de l'immédiateté. Il faut de la patience et du temps.

    Les prépas ne doivent pas etre vues comme une préparation aux concours mais comme un moyen de connaitre les bases de la physique et des mathématiques à partir desquelles tu peux commencer à appréhender le monde de la Physique.
    De meme que le conservatoire permet à un musicien de se faire un répertoire.

    J'espère que ce message passera auprès des deux autres jeunes de ce fil alex et lucas.

  14. #44
    Rincevent

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Bonsoir,
    Citation Envoyé par pesdecoa Voir le message
    Les prépas ne doivent pas etre vues comme une préparation aux concours
    c'est pourtant tout ce qu'elles sont.
    mais comme un moyen de connaitre les bases de la physique et des mathématiques à partir desquelles tu peux commencer à appréhender le monde de la Physique.
    absurde. Comme s'il y avait besoin de faire du par coeur comme la très grande majorité des taupins pour faire de la physique. La physique, ça se comprend, ça s'apprend pas. C'est tout l'inverse du fonctionnement de la prépa.
    J'espère que ce message passera auprès des deux autres jeunes de ce fil alex et lucas.
    et moi j'espère qui ne prendront pas pour comptant un avis très subjectif et provenant de quelqu'un qui ne connaît apparemment rien à la recherche et à l'enseignement universitaire. Cordialement,
    Dernière modification par Rincevent ; 06/12/2012 à 00h28.
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  15. #45
    pesdecoa

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    Bonsoir, c'est pourtant tout ce qu'elles sont. absurde. Comme s'il y avait besoin de faire du par coeur comme la très grande majorité des taupins pour faire de la physique. La physique, ça se comprend, ça s'apprend pas. C'est tout l'inverse du fonctionnement de la prépa. et moi j'espère qui ne prendront pas pour comptant un avis très subjectif et provenant de quelqu'un qui ne connaît apparemment rien à la recherche et à l'enseignement universitaire. Cordialement,
    J'ai le sentiment, rincevent, que vous occultez la manière dont fonctionne le système éducatif francais..
    Est un bon prof celui qui finit son programme dans l'année.
    Est un bon élève celui qui réussit ses examens et concours.
    Même si l'application de cette norme engendre un certain dégout des étudiants pour les sciences.
    Il faut obliger à apprendre et non pas aimer à apprendre.

    A moins que vous refusiez ce paradigme, que vous vouliez changer le système.

  16. #46
    obi76

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Rien à changer, ce que vous dites n'est qu'une partie de la vérité, vous occultez le reste aussi. Inutile de discuter plus longtemps.

    Vous avez réussi vos concours, tant mieux pour vous, mais on peut aussi faire de la physique sans les passer. C'est plus "sans filet" mais c'est tout à fait possible, et ce n'est pas pour ça que les facards sont moins bons.

    Bref, restez sur votre piédestal à juger des choses que vous ne comprenez même pas, ça en fait que confirmer ce que plusieurs d'entre nous avons dit dès le départ : Alex et Lucas, ignorez pesdecoa, à part cracher du venin sans savoir, il n'apporte rien ici.

    PS : je confirme que vous ne faites pas de recherche, avec des propos comme ceux là vous n'auriez pas tenu une semaine avant que quelqu'un ne vous apprenne la vie...
    Dernière modification par obi76 ; 06/12/2012 à 08h21.
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  17. #47
    invite76543456789
    Invité

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Bonjour,
    Je ne suis pas d'accord avec les propos de pesdecoa, mais faut quand meme reconnaitre que dans certains domaines de recherche (je pense a la physique mathématique, où je "sévis", du moins j'essaie ^^) y a pas beaucoup de non-normaliens ou non polytechniciens.
    Mais c'est pas une question de formation c'est une question de niveau de départ.
    Pour faire de la recherche, il est sans doute vrai, que le meilleur endroit pour se former ca reste l'ens. Apres y a d'excellents chercheurs qui viennent de la fac aussi (et qui auraient tres bien pu passer par l'ens s'ils l'avaient voulu).

    Pour répondre a l'auteur de la premiere question, pourquoi ne pas lire un poly de maths de premiere années. Comme celui ci par exemple qui est tres bien fait.

  18. #48
    obi76

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Bof c'est comme tout, ça dépend du domaine...
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  19. #49
    pesdecoa

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par MissPacMan Voir le message
    Bonjour,
    Je ne suis pas d'accord avec les propos de pesdecoa, mais faut quand meme reconnaitre que dans certains domaines de recherche (je pense a la physique mathématique, où je "sévis", du moins j'essaie ^^) y a pas beaucoup de non-normaliens ou non polytechniciens.
    Mais c'est pas une question de formation c'est une question de niveau de départ.
    Pour faire de la recherche, il est sans doute vrai, que le meilleur endroit pour se former ca reste l'ens. Apres y a d'excellents chercheurs qui viennent de la fac aussi (et qui auraient tres bien pu passer par l'ens s'ils l'aaient voulu)..
    En gros tu n'es pas d'accord avec moi ( comme cela tu te fais bien voir de la communauté FS) et d'un autre tu nous dis que la seule recherche qui vaille ne peut être fait que par des normaliens ou polytechniciens.
    La première qualité d'un chercheur est d'être un esprit libre. Tu ne possèdes pas cette qualité.

  20. #50
    obi76

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par pesdecoa Voir le message
    En gros tu n'es pas d'accord avec moi ( comme cela tu te fais bien voir de la communauté FS)
    ha bah oui, si on n'est pas d'accord avec vous, vos arguments sont tellement valables que la seule raison d'avoir l'outrecuidance de vous contredire, c'est pour "bien se faire voir par FS"... Ca ne peut pas vous passer ne serai-ce qu'une milliseconde dans ce qui vous sert de matière grise que peut être, des gens ne sont pas d'accord avec vous, et qu'ils ont des arguments peut être aussi bon que les vôtres, voire meilleures (puisqu'eux connaissent le domaine dont ils parlent : ils sont dedans).

    Citation Envoyé par pesdecoa Voir le message
    et d'un autre tu nous dis que la seule recherche qui vaille ne peut être fait que par des normaliens ou polytechniciens.
    Relisez attentivement ce qui a été dit. Ce n'est pas ça.

    Citation Envoyé par pesdecoa Voir le message
    La première qualité d'un chercheur est d'être un esprit libre. Tu ne possèdes pas cette qualité.
    Et vous vous n'avez absolument rien d'un chercheur, vous ne connaissez absolument rien au domaine, et vous vous permettez de juger. Vous avez tout d'une personne vaniteuse, imbue d'elle même, à la limite de la mégalo. Je ne sais pas si c'est beaucoup mieux.

    A tout hasard comme ça, vous avez fait quelle école ? Je n'en connais que 2 qui arrive à pondre des gens aussi détestables...

    Je doute que vous ayez quelconques leçons d'"esprit libre" à donner à qui que ce soit ici. Je vous suggère très vivement d'aller voir comment ça se passe là dedans, à moins que vous ouvrir les yeux sur la réalité de votre niveau et des gens en face ne vous fasse trop peur....
    Dernière modification par obi76 ; 06/12/2012 à 15h40.
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  21. #51
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Re,

    Citation Envoyé par Alex-physiká Voir le message
    @albanxiii : Merci pour toutes ces réponses, elles m'aident beaucoup ! J'ai trouvé ce livre : http://www.amazon.fr/Cours-math%C3%A...4737778&sr=8-2 qu'un étudiant cède pour une dizaine d'euros, ca vaudrait le coup non ?
    L'auteur a une bonne réputation, mais il faudrait voir au moins la table des matières pour vous conseiller.

    Sinon, sur http://plateforme.sillages.info/ cliquez sur "cours" (à gauche), puis choississez "mathématiques" dans le menu déroulant en haut de la page, vous trouverez un livre intitulé "Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE scientifique, voies MPSI PCSI PTSI TSI" qui est ce que son nom indique Son avantage à mon sens, c'est qu'il contient beaucoup d'exercices corrigés ! Mais c'est un cours de maths pures et dures, si vous voulez justes les maths pour avancer en physique, c'est immensément trop.

    Au sujet du cours de physique de Feynman, c'est effectivement une bonne approche. C'est de la physique avec les maths juste quand on en a besoin pour être quantitatif.

    @+

    ps : je rajoute : avec le Feynman, si vous le lisez et que vous appréciez cela, vous serez évidemment plus l'aise sur les concepts et la physique lorsque vous verrez ça en classe. Et du coup, si ce sont les aspects techniques (calculs) qui vous bloquent, vous pourrez vous y consacrer sans sacrifier la compréhension de ce qu'il y a derrière.
    Dernière modification par albanxiii ; 06/12/2012 à 18h19.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  22. #52
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Bonjour stefjm,

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    C'est malheureux une pierre? Que de poncif...
    ca roule, fait du feu, fait briller les yeux des femmes, fait le demi tour, etc...
    Effectivement, je vous présente mes excuses si j'ai pu vous ennuyer par cette formule, vous ainsi que les géologues et autres gemmologues amateurs

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  23. #53
    Alex-physiká

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Je ne comprends pas vraiment comment vous pouvez vous permettre de juger des gens qui sont sans aucun doute des chercheurs ou au moins des personnes bien plus immergées que vous dans le milieu de la recherche pesdecoa. Je trouve que la vision "100% prépa et 100% grandes écoles" est une erreur : je ne pense pas qu'il y a la "voie de l'excellence" et la "poubelle" : je pense qu'il y a juste deux parcours qui n'ont pas été crées avec les mêmes façons de séléctionner/travailler et si la prépa via ENS ou X peut mener à des cursus très, très brillants on ne peut pas dire que tous les "vrais/bons" chercheurs sortent des ENS ou X, loin de là.



    @ Albanxiii : Voici le Sommaire :

    Algèbre. Ensembles. Lois de composition. Groupes. Anneaux. Polynômes à une variable. Fractions rationnelles à une variable. Polynômes à plusieurs variables. Espaces vectoriels. Matrices. Déterminants. Systèmes d'équations linéaires. Notions affines.
    Analyse. Construction des nombres réels. Limites. Dérivées. Intégrales. Fonction logarithmique et fonctions associées. Calculs des primitives. Formule de Taylor. Développements limites. Normes. Distances. Dérivées des fonctions vectorielles. Dérivées partielles. Différentielles. Fonctions implicites. Equations différentielles du premier ordre.
    Géométrie. Courbes paramétrées dans le plan. Courbes paramétrées dans l'espace. Surfaces paramétrées dans l'espace. Equations des courbes et des surfaces. Coordonnées polaires.

    @MissPacMan : J'ai téléchargé ce cours, dès la première page je trouve que l'approche et la façon de traiter la chose choisies par l'auteur sont géniales ! Merci beaucoup pour ce pdf, il va beaucoup me servir je sens

  24. #54
    vaincent

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Citation Envoyé par pesdecoa Voir le message
    Il faut obliger à apprendre et non pas aimer à apprendre.
    Comme quoi un doctorat, n'est pas un gage d'intelligence. Tes professeurs t'ont vraiment formaté en dictateur de la méthode d'apprentissage. Tu n'es même pas capable de te rendre compte que ce que tu dis est totalement affligeant et idiot. Aller, dehors!

  25. #55
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Mathématiques pour l'entrée en L1 de physique

    Re-bonjour,

    Alex : bon, c'est un livre de maths visiblement, pas spécialement orienté physique. Vous pouvez trouver des choses équivalentes en ligne. En particulier celui que j'ai indiqué plus haut.

    Essayez de regarder http://www.phys.ens.fr/~jacobsen/LP206/ et les sujets d'examens proposés (avec les corrigés !), en complément du doc de MissPacMan.

    Vaincent: vous devenez aggressif mais je suis d'accord avec vous.

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!

Page 2 sur 2 PremièrePremière 2

Discussions similaires

  1. Mathématiques pour la physique supérieur
    Par VauRDeC dans le forum Physique
    Réponses: 11
    Dernier message: 29/08/2009, 17h24
  2. mathématiques pour la physique
    Par bashad dans le forum Lectures scientifiques
    Réponses: 8
    Dernier message: 25/08/2008, 22h22
  3. Mathématiques pour la physique
    Par nainshilling dans le forum Lectures scientifiques
    Réponses: 10
    Dernier message: 31/05/2008, 13h44
  4. Les mathématiques pour la physique
    Par Seirios dans le forum Physique
    Réponses: 4
    Dernier message: 06/10/2007, 15h55
  5. Mathématiques pour la physique
    Par Seirios dans le forum Lectures scientifiques
    Réponses: 3
    Dernier message: 31/08/2007, 08h31